xp(F6)03第三章 时域分析2 PPT课件

线性和非线性系统稳定性的定义和类型：输入输出稳定、 李雅普诺夫稳定、渐近稳定、超稳定、大范围渐近稳定、 一致收敛稳定、大范围渐近一致收敛稳定等十多种。
2
稳定性的基本概念
设一线性定常系统原处于某一平衡状态， 若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的 平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到 原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反 之，系统为不稳定。
b1
b2
b3
a4

b1

a1a2
a0a3 a1
b2

a1a4
a0a5 a1
S n3
c1
c2
c3


b3

a1a6
a0a7 a1


S2
d1
d2
d3
c1

b1a3
a1b2 b1
c2

b1a5 a1b3 b1
S1
e1
e2
S0
f1
c3

b1a7
a1b4 b1
7
劳斯稳定判据
不稳定系统： 有一个或一个以上的正实部根。
临界稳定： 有一个或一个以上的零实部根或一对纯虚根，而其余 的特种根都有负实部。
注意：在经典控制理论中，只有渐进稳定的系统(动态过程衰减趋 于零)才是稳定系统；否则称为不稳定系统。 在工程中，临界稳定为不稳定系统系统。
5
3.5.3 代数稳定性判据
一种间接判断系统特征根是否具有全部负实部的方法
注：计算时，劳斯表第一列一旦出现零或负值，就说明该系 统不稳定
8
例3.1 已知一系统的特征方程式为
s3 41.5s2 517s 2.3104 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解：列劳斯表
S3
1
517
0
S2
41.5 2.3104 0
S1
38.5
S0
2.3 10 4
该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两 次(+到－，－到＋)，所以该方程中有二个根在S的右半平面。
由劳斯判据可知，若系统稳定， 则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。因此可得：
517 40.2(1 K) 0 1670(1 K) 0
1 K 11.9
0<K<11.9
10
劳斯判据特殊情况
（1）劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没 有其余项。
解决的办法： 以一个很小的正数
j 2 , j2
14
劳斯判据的应用
（1）稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分 布情况，而不能确定根的具体数据。 （2）实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一 定的距离。
s1

a 0
解决的办法
设 s s1 a z a 代入原方程式中，得到以 s1
为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是
1877年，劳斯（Routh）提出了判断n次代数方程所有根都具有负实 部的一般方法。
1895年，瑞士数学家赫尔维茨（Hurwitz）也独立提出了同样的结果， 只是形式不同。
系统特征方程： a0sn a1sn1 an1s an 0
(s s1)(s s2 )(s sn1)(s sn ) 0 sn (s1 s2 sn1 sn )sn1 (1)n s1s2 sn1sn 0
k 1
式中，q+2r=n
4
系统的脉冲响应为
q
r
c(t)
Ajesjt
B ekkt k
c os (k
j 1
k 1
1


2 k
)t

r k 1
Ck
k
Bkkk
1


2 k
e k k t
sin(kΒιβλιοθήκη 上式表明：1

2 k
)t
系统稳定 充要条件 闭环特征方程的根都位于S的左半平面
影响稳定性的因素 控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰。
外界干扰：负载的波动、能源的波动、环境条件的改变。
内部干扰：系统参数的变化：电器、电子元件的老化。
如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定或稳定裕 度小，这样的系统是不成功的（不能工作的），需要重新设计，或调整 某些参数或改变系统结构。

bm an
并设 si (i 1, 2, , n) 为系统的特征根，且彼此不等。
又由于 L (t) 1 则
m
Kr (s zi )
C(s) Lc(t) (s) q
i 1 r
(s s j ) (s2 2kk s k2 )
j 1

K p (s s
1)
时，闭环系统的稳定条件是什么？
R(s)
—
KGtcs(s)
20
C(s)
s(s 5（) s 10）
解： Gc (s) 1 时，闭环系统的特征方程为：
s(s 5)(s 10) 20 0
s3 15s2 50s 20 0
列劳斯表： S 3 S2 S1
21
3.6.1 误差和稳态误差
R(s)
误差有两种定义：
（1）从输入端定义： 误差E(s)（偏差或作用误差）等于系
统输入信号R(s)与主反馈B(s)之差。
E(s) R(s) H(s)C(s)
e(t) r(t) b(t)
（2）从输出端定义：
R(s) 1 R(s) H (s)
误差 E (s)等于系统希望输出量的希望值
G(s)H(s)
20
3.6 稳态误差及其计算
控制系统稳定是前提条件 （先分析）
控制系统的性能
动态性能 稳态性能
稳态误差 ess
摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素 稳态误差的不可避免性
输入函数的形式不同 (阶跃、斜坡、或加速度)
控制系统的稳态误差是表征系统稳态性能的一项重要指标，它表示 系统对某种典型输入信号响应（跟踪、伺服）的准确程度。稳态误差小， 说明系统稳态时的实际输出与希望输出之间的差别小，系统的稳态性能 好。
3
3.5.2 线性系统稳定的充要条件
如果单位冲击响应函数是收敛的，即有
limc(t) 0
t
系统仍能回到原有的平衡状态
表示系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。
由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。
设闭环传递函数
(s)

b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
R(s) 与实际值C(s)之差。
E (s) R(s) C(s) 1 R(s) C(s) H (S )
e(t) r(t) c(t)
两种误差关系： E(s) H (s)E (s)
E (s)

E(s) H (s)
E(s) B(s)
G(s) C(s) H (s)
E (s)
C(s)
S1
S0
2
13
10
4
130 8 12.2 10
4
第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。
16
令 S Z 1 代入原特征方程： 2s3 10s2 13s 4 0
2(Z 1)3 10(Z 1)2 3(Z 1) 4 0
2Z 3 4Z 2 Z 1 0
列劳斯表：
S 4 15S 3 50S 2 20K pS 20K p 0
s4
1
50 20Kp
s3
15
20K p 0
s2
750 20K p 15
20K p
s1
750 20K p 15
20K p
15 20K9
(750 20K p ) /15
s0
20K p
19
欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值
系统稳定的必要条件（否则不稳定）：
⑴ 系统特征方程次数不缺项
⑵ 系统特征方程系数符号一致（全为正或负）
6
劳斯稳定判据
系统的闭环特征方程为 a0sn a1sn1 an1s an 0
将各项系数，按下面的格式排成劳斯表
Sn
a0
a2
a4
a6

S n1
a1
a3
a5
a7

S n2
S0
1
50
15
20
750 20 15
20
第一列均为正值， S全部位于左半平面， 所以系统稳定。
18

Gc (s)

K p (s s
1)
系统开环传递函数为
Gc
(s)G(s)

S
20K p (S 1) 2 (S 5)(S 10)
闭环特征方程为 S 2 (S 5)(S 10) 20K p (S 1) 0
这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得 到，而且其根的数目总是偶数的。相应方程中含有一些大小相等符 号相反的实根或共轭虚根。相应的系统为不稳定。
13
例3.4
一个控制系统的特征方程为
s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
试判别相应系统的稳定性。
Kp 0
750 20 K p 0
K p 37.5
750 20 K p (
20 K p 15
15)

0

750 20 K p 15 0
750 20 K p
15
15
K p 26.5
525 20 K p 0
0 K p 26.5
小结：利用劳斯稳定判据可确定系统可调参数对系统稳定性的影响。
3.5 线性控制系统的稳定性
自动控制系统的基本性能（要求）之一：稳定性 分析系统动态和稳态指标必须在系统稳定的前提下进行。 稳定是自动控制系统能够工作的首要条件，控制系统的基本
问题。
本节讲授内容： 稳定性的概念 线性系统稳定的充要条件 代数稳定性判据
1
3.5.1 稳定性的概念
否有根位于垂线 s a 右侧。
此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴 有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
15
例3.5 用劳斯判据检验下列特征方程
2s3 10s2 13s 4 0
是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线
S 1 的右方。
解：列劳斯表
S3
S2
解：列劳斯表
S6
1
8
20
S5
2
12
16
S4
2
12
16
S3
0
0
0
8
24
S2
6
16
S1
8
0
3
S0
16
显然这个系统处于临界(不) 稳定状态。
16 0
F (s) 2s4 12s2 16
dF(s) 8s3 24s ds
F (s) 2s4 12s2 16 2(s4 6s2 8) 2(s2 2)(s2 4) 0
来代替为零的这项
据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就 等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定
如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同， 则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属 不稳定
11
例3.3
已知系统的特征方程式为:
线性系统的稳定性取决于系统的固有特征 （结构、参数），与系统的输入信号（外 部扰动量）无关。
图 3-1稳 定 性 分 析 示 意 图
基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统 的输入信号无关，是系统本身固有的特性，因而可用系统的脉冲响应 函数来描述：
c(t) g (t) L1[G(s)]
系统特征方程： a0sn a1sn1 an1s an 0
首先检验：系统特征方程次数是否缺项 系统特征方程系数符号是否全为正
如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的 根都在S的左半平面，系统是稳定的。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等 于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，系统为不稳定。
s3 2s2 s 2 0
试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表
S3
1
1
S2
2
2
S1
0( )
S0
2
由于表中第一列
上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭 虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。
12
（2）劳斯表中出现全零行
解决的办法： 用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅 助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的 排列。
式中有负号，显然有根在 S 1 的右方。
列劳斯表： S 3 S2 S1 S0
2
1
4
1
1 2
1
第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直
线 S 1 的右方。
17
例3.6
已知一单位反馈控制系统下图所示，试回答
Gc (s) 1 时，闭环系统是否稳定？

Gc (s)
9
例3.2 已知某调速系统的特征方程式为
s3 41.5s2 517 s 1670 (1 K ) 0
求该系统稳定的K值范围。
解：列劳斯表
S3
S2
1
517
0
41.5 1670(1 K ) 0
S1
41.5 517 1670(1 K ) 0
41.5
S0
1670(1 K )