2019-2020学年邢台市八年级第二学期期末考试数学试题含解析

2019-2020学年邢台市八年级第二学期期末考试数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知正比例函数y ＝（m ﹣1）x 的图象上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是（ ）
A ．m ＜1
B ．m ＞1
C ．m ＜2
D ．m ＞0
2．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3，4），D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为（ ）
A ．（3，1）
B ．（3，）
C ．（3，）
D ．（3，2）
3．平南县某小区5月份随机抽取了15户家庭，对其用电情况进行了统计，统计情况如下（单位：度）：78，62，95，108，87，103，99，74，87，105，88，76，76，94，79.则用电量在71~80的家庭有（ ） A ．4户 B ．5户 C ．6户 D ．7户
4．若一个等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则底边上的高为（ ）
A ．4
B ．3
C ．5
D ．6
5．平面直角坐标系中的四个点：()()111,4,4,2,,16,8,22A B C D ⎛⎫⎛⎫---
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中在同一个反比例函数图象上的是（ ）
A ．点A 和点B
B ．点B 和点
C C ．点C 和点
D D ．点A 和点D
6．如图,函数y ax =和2y kx =-的图象相交于点()2,3A -,则不等式2ax kx ≥-的解集为（ ）
A ．2x ≤
B ．3x ≤-
C ．2x ≥
D ．3x ≥-
7．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )
A ．k<5
B ．k<5，且k≠1
C ．k≤5，且k≠1
D ．k>5
8．下列二次根式，最简二次根式是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知某一次函数的图象与直线2y x =平行，且过点（3, 7）,那么此一次函数为（ ）
A ．21y x =-
B ．21y x =+
C ．23y x =+
D ．37y x =+
10．下列说法中，不正确的有( )
①一组数据的方差越大，这组数据的波动反而越小
②一组数据的中位数就是这组数据最中间的数
③在一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③
二、填空题
11．请写出一个比2小的无理数是___．
12．如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第2019个三角形的面积为_______.
13．如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中AB 、CD 分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线，∠ABC ＝150°，BC 的长约为12米，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 约为________米．
14．不等式组-1231x x >⎧⎨+≥⎩
的解集是________． 151
x -在实数内范围有意义，则 x 的取值范围是_________. 16．如图，在△ABC 中，点E 、D 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA ，下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②如果∠BAC ＝90°，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分∠BAC ，那么
四边形AEDF 是菱形；④如果AD ⊥BC 且AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是菱形，其中，正确的有__________．
(填序号)
17．如图，正方形A1B1C1O,A2B2C2C1，A3B3C3C2, ……，按如图的方式放置．点A1,A2，A3，……和点C1,C2，C3……分别在直线y＝x +1和x轴上，则点A6的坐标是____________．
三、解答题
18．如图，△ABC中，A（﹣1，1），B（﹣4，2），C（﹣3，4）．
（1）在网格中画出△ABC向右平移5个单位后的图形△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC关于原点O成中心对称后的图形△A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P使PA+PB的值最小请直接写出点P的坐标．
19．（6分）某商店计划购进A，B两种型号的电机，其中每台B型电机的进价比A型多400元，且用50000元购进A型电机的数量与用60000元购进B型电机的数量相等．
（1）求A，B两种型号电机的进价；
（2）该商店打算用不超过70000元的资金购进A，B两种型号的电机共30台，至少需要购进多少台A型电机？
20．（6分）正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
21．（6分）如图①，在△ABC 中，AB=AC ，过AB 上一点D 作DE∥AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF 交AC 于点F ．
（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；
（2）当点D 为AB 中点时，判断▱ADEF 的形状；
（3）延长图①中的DE 到点G ，使EG=DE ，连接AE ，AG ，FG ，得到图②，若AD=AG ，判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
22．（8分）计算： (1)0(3)(6)|21|(52)π⨯++-; (2)11(318504)3252
. 23．（8分）平面直角坐标系中，设一次函数(23)5y a x b =-+-的图象是直线l .
（1）如果把l 向下平移2个单位后得到直线51y x =+，求,a b 的值；
（2）当直线l 过点(),6m b -和点()3,47m a +-时，且38b -<<，求a 的取值范围；
（3）若坐标平面内有点()35,21P n n -+-，不论n 取何值，点P 均不在直线l 上，求a b 、所需满足的条件.
24．（10分）若关于x 的分式方程1x x -=322
a x -﹣2的解是非负数，求a 的取值范围． 25．（10分）（课题研究）旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90︒的角）与旋转角的关系． （问题初探）线段AB 绕点O 顺时针旋转得线段CD ，其中点A 与点C 对应，点B 与点D 对应，旋转角的度数为α，且0180α︒<<︒．
（1）如图（1）当90α=︒时，线段AB 、CD 所在直线夹角为______．
（2）如图（2）当60α=︒时，线段AB 、CD 所在直线夹角为_____．
（3）如图（3），当90180α︒<<︒时，直线AB 与直线CD 夹角与旋转角α存在着怎样的数量关系？请说明理由；
（形成结论）旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角_____．
（运用拓广）运用所形成的结论求解下面的问题：
（4）如图（4），四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，30ADC ∠=︒，AB BC =，2AD =，3CD =试求BD 的长度．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．A
【解析】
【分析】
据正比例函数的增减性可得出（m-1）的范围，继而可得出m 的取值范围．
【详解】
解：根据题意，知：y 随x 的增大而减小，则m ﹣1＜0，即m ＜1．
故选：A ．
【点睛】
能够根据两点坐标之间的大小关系，判断变化规律，再进一步根据正比例函数图象的性质：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．列不等式求解集．
2．B
【解析】
试题分析：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，当x=3时，y=，∴点E坐标（3，）
故选B．
考点：1矩形；2轴对称；3平面直角坐标系.
3．B
【解析】
【分析】
根据题意找出用电量在71～80的家庭即可．
【详解】
解：用电量在71～80的家庭有：78，74，76，76，79共5户．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了数据的收集与整理，理清题意是解题的关键．
4．A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形底边高线和中线重合的性质，则BD=DC=3，可以根据勾股定理计算底边的高
AD=22
．
AB BD
【详解】
解：如图，在△ABC中，AB=AC=5，AD⊥BC，
则AD为BC边上的中线，即D为BC中点，
∴BD=DC=3，
在直角△ABD 中．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，考查了等腰三角形底边高线、中线重合的性质，本题中根据勾股定理正确计算AD 是解题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
分别将每个点的横、纵坐标相乘，得数相同的两个点在同一反比例函数图象上．
【详解】 解：∵111(4)4,4(2)8,()168,8422⨯-=-⨯-=--⨯=-⨯
= ∴点B 和点C 两个点在同一反比例函数图象上．
故选：B ．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标特征，属于基础题目，掌握反比例函数解析式是解此题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
以交点为分界，结合图象写出不等式2ax kx ≥-的解集即可．
【详解】
因为点A 的坐标为()2,3-，
看函数图象，当y ax =的图象在2y kx =-的图像上方时，2ax kx ≥-，此时2x ≤
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出A 点坐标以及利用数形结合的思想．
7．B
【解析】
试题解析：∵关于x 的一元二次方程方程()21410k x x -++=有两个不相等的实数根，∴100
k -≠⎧⎨∆>⎩，
即()2104410k k -≠⎧⎨-->⎩
，解得：k ＜5且k ≠1．故选B ． 8．C
【解析】
【分析】
检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】
A 、被开方数含开的尽的因数，故A 不符合题意；
B 、被开方数含分母，故B 不符合题意；
C 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C 符合题意；
D 、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D 不符合题意.
故选C ．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
9．B
【解析】
【分析】
一次函数的图象与直线y=2x 平行，所以k 值相等，即k=2，又因该直线过点（3, 7），所以就有7=6+b ，从而可求出b 的值，进而解决问题．
【详解】
∵一次函数y=kx+b 的图象与直线2y x =平行，
∴k=2，
则即一次函数的解析式为y=2x+b.
∵直线过点（3, 7），
∴7=6+b ，
∴b=1.
∴直线l 的解析式为y=2x+1.
故选B.
【点睛】
此题考查一次函数中的直线位置关系，解题关键在于利用待定系数法求解.
10．A
【解析】
【分析】
根据方差的性质、中位数和众数的定义即可判断.
【详解】
解：一组数据的方差越小，这组数据的波动反而越小，①不正确；一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后最中间的数为中位数，②不正确；一组数据中，出现次数最多的数为众数，③正确.所以不正确的为①②.
故选：A
【点睛】
本题考查了方差、中位数和众数，掌握三者的定义是解题的关键.
二、填空题
11（答案不唯一）．
【解析】
【分析】
根据无理数的定义写出一个即可．
【详解】
解：比2，
（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，能熟记无理数是指无限不循环小数是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
12 【解析】
【分析】
根据勾股定理逐一进行计算，从中找到规律，即可得到答案.
【详解】
第一个三角形中，
211111,112
OA S =+=⨯⨯ 第二个三角形中，
22212111111,1122
OA OA S =+=++== 第三个三角形中，
223231111111,111
13122
OA OA S =+=+++=⨯++⨯=⨯⨯ …
第n 个三角形中，
112
n S n =⨯⨯ 当2019n =时，2019120192019122
S =⨯⨯= 故答案为：
2019. 【点睛】 本题主要考查勾股定理及三角形面积公式，掌握勾股定理，找到规律是解题的关键.
13．1
【解析】
过点C 作CE ⊥AB ，交AB 的延长线于E ，
∵∠ABC =150°，
∴∠CBE =30°，
在Rt △BCE 中，∵BC =12，∠CBE =30°，
∴CE=BC=1．
故答案是1．
点睛：本题考查了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 14．x >1
【解析】
【分析】
根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集．
【详解】
-1231x x >⎧⎨+≥⎩
①②， 解不等式①，得x ＞1，
解不等式②，得x≥-2，
所以不等式组的解集为：x＞1．
故答案为：x＞1.
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
15．x＞1
【解析】
【分析】
根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.
【详解】
在实数范围内有意义，
∴10
故答案为：x＞1．
【点睛】
本题考查二次根式及分式有意义的条件，掌握二次根式及分式有意义的条件是解答此题的关键．
16．①②③④
【解析】
①∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；
②若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确；
③若AD平分∠BAC，则DE=DF；所以平行四边形是菱形；故③正确；
④若AD⊥BC，AB=AC；根据等腰三角形三线合一的性质知：DA平分∠BAC，由③知：此时平行四边形AEDF是菱形；故④正确；所以正确的结论是①②③④．
17．（31，32）
【解析】
分析：
由题意结合图形可知，从左至右的第1个正方形的边长是1，第2个正方形的边长是2，第3个正方形的边长是4，……，第n个正方形的边长是1
2n-，根据点A n在直线y=x+1
2n-，由此可得点A n的纵坐标是1
n--，由此即可求得A6的坐标了.
上可得点A n的横坐标为1
21
详解：
由题意结合图形可知：从左至右的第1个正方形的边长是1，第2个正方形的边长是2，第3个正方形的边长是4，……，第n个正方形的边长是1
2n-，
∵点A n的纵坐标是第n个正方形的边长，
∴点A n 的纵坐标为12n -，
又∵点A n 在直线y=x+1上，
∴点A n 的横坐标为121n --，
∴点A 6的横坐标为：612131--=，点A 6的纵坐标为：61232-=，
即点A 6的坐标为（31，32）.
故答案为：（31，32）.
点睛：读懂题意，“弄清第n 个正方形的边长是12n -，点A n 的纵坐标与第n 个正方形边长间的关系”是解答本题的关键.
三、解答题
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）（-1，0），图见解析
【解析】
【分析】
（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．
（2）分别作出A ，B ，C 的对应点A 2，B 2，C 2即可．
（3）作点关于x 轴的对称点A′，连接BA′交X 轴于点P ，点P 即为所求．
【详解】
（1）△A 1B 1C 1如图所示．
（2）△A 2B 2C 2如图所示．
（3）点P 即为所求．
【点睛】
本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 19．（1）A 进价2000元，B 进价2400元；（2）购进A 型至少5台
【解析】
【分析】
(1) 设A 进价为x 元，则B 进价为()400x +元，根据50000元购进A 型电机的数量与用60000元购进B 型电机的数量相等，即可得出关于x 的分式方程，解分式方程经检验后即可得出结论；
(2) 设购进A 型a 台，则购进B 型()30a -台，根据用不超过70000元的资金购进A ，B 两种型号的电机共30台，即可得出关于y 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】
（1）解：设A 进价为x 元，则B 进价为()400x +元， 5000060000400
x x =+ 解得：2000x =
经检验2000x =是原分式方程的解
4002400x ∴+=
∴A 进价2000元，B 进价2400元．
（2）设购进A 型a 台，则购进B 型()30a -台．
()200024003070000a a ∴+-≤
5a ∴≥
∴购进A 型至少5台．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 20．（1）AP=EF ，AP ⊥EF ，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）仍成立，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）正方形中容易证明∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，利用AAS 证明△AMO ≌△FOE.(2) （3）按照（1）中的证明方法证明△AMP ≌△FPE （SAS ），结论依然成立.
【详解】
解：（1）AP=EF ，AP ⊥EF ，理由如下：
连接AC ，则AC 必过点O ，延长FO 交AB 于M ；
∵OF ⊥CD ，OE ⊥BC ，且四边形ABCD 是正方形，
∴四边形OECF是正方形，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，∴四边形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF,
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．
【点睛】
利用正方形，等腰三角形，菱形等含等边的特殊图形，不管其他条件如何变化，等边作为证明等边三角形的隐含条件，证明三角形的全等，是证明此类问题的关键.
21．（1）证明见解析；（2）▱ADEF的形状为菱形，理由见解析；（3）四边形AEGF是矩形，理由见解析. 【解析】
【分析】
(1)根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根据平行线的判定定理得到
AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；
(2)根据三角形中位线定理得到DE=1
2
AC，得到AD=DE，根据菱形的判定定理证明；
(3)根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．【详解】
(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，
∵∠DEF=∠A，
∴∠DEF=∠BDE，
∴AD∥EF，又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
(2)解：□ADEF的形状为菱形，
理由如下：∵点D为AB中点，
∴AD=1
2 AB，
∵DE∥AC，点D为AB中点，
∴DE=1
2 AC，
∵AB=AC，∴AD=DE，
∴平行四边形ADEF 为菱形，
(3)四边形AEGF 是矩形，
理由如下：由(1)得，四边形ADEF 为平行四边形，
∴AF ∥DE ，AF=DE ，
∵EG=DE ，
∴AF ∥DE ，AF=GE ，
∴四边形AEGF 是平行四边形，
∵AD=AG ，EG=DE ，
∴AE ⊥EG ，
∴四边形AEGF 是矩形．
故答案为：(1)证明见解析；(2)菱形；(3)矩形.
【点睛】
本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
22．（1）（2）2.
【解析】
【分析】
（1）分别计算二次根式的乘法、去绝对值符号以及零指数幂，然后再进行加减运算即可；
（2）先把括号里的二次根式进行化简合并后，再根据二次根式的除法法则进行计算即可得解.
【详解】
(1)0((|1|(52)π⨯++-;
=11+，
；
(2)
=÷
=,
=2.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
23．（1）42a b =⎧⎨=⎩；（2） 3.52a -＜＜且 1.5a ≠；（3）7683a b ⎧=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数平移的规律列方程组求解；
（2）将两点的坐标代入解析式得出方程组，根据方程组可得出a,b 的等量关系式，然后根据b 的取值范围，可求出a 的取值范围，另外注意一次函数中二次项系数2a-3≠0的限制条件；
（3）先根据点P 的坐标求出动点P 所表示的直线表达式2733y x =-+，再根据直线2733y x =-+与(23)5y a x b =-+-平行得出结果.
【详解】
解：（1）依题意得
235521
a b -=⎧⎨--=⎩， 42a b =⎧∴⎨=⎩
. （2）()235y a x b =-+-过点(),6m b -和点()3,47m a +-
()(
)()2356233547a m b b a m b a ⎧-+-=-⎪∴⎨-++-=-⎪⎩， 两式相减得24a b -=； 解法一：122
a b =-， 当3b =-时， 3.5a =-；
当8b =时，2a =. 102
>，a 随b 的增大而增大 且38b -<<，
3.52a ∴-<<.
230a -≠， 1.5a ∴≠.
3.52a ∴-＜＜且 1.5a ≠.
解法二：24b a =+
38b -＜＜，
3248a ∴-+＜＜，解得 3.52a -＜＜.
230a -≠，
∴ 1.5a ≠.
3.52a ∴-＜＜且 1.5a ≠.
（3）设(),P x y ，
3521x n y n =-+⎧∴⎨=-⎩
. 消去n 得2733
y x =-+， ∴动点P 的图象是直线2733
y x =-+. P 不在()235y a x b =-+-上，
2733
y x ∴=-+与()235y a x b =-+-平行， 2233753a b ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-≠⎪⎩，7683a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪≠⎪⎩
. 【点睛】
本题考查一次函数的图像与性质，以及一次函数平移的规律，掌握基本的性质是解题的关键. 24．a≥﹣
43，且a≠23
． 【解析】
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x ，根据x 为非负数求出a 的范围即可．
本题解析：分式方程去分母得：2x=3a ﹣4x+4， 解得：x=
346
a +， 根据题意得：346a +≥0，且346
a +≠1， 解得：a≥﹣43，且a≠23． 25．（1）90°；（2）60°；（3）互补，理由见解析；相等或互补；（4
）BD =
【解析】
【分析】
（1）通过作辅助线如图1，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，可以通过旋转性质得到AB=CD ，
OA=OC ，BO=DO ，证明△AOB ≌△COD ，进而求得∠B=∠D 得∠BFE=∠EOD=90°
（2）通过作辅助线如图2，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，同（1）得∠BFE=∠EOD=60°
（3）通过作辅助线如图3，直线AB 与直线CD 所夹的锐角与旋转角α互补， 延长AB ，CD 交于点E 通过证明AOB COD ∆∆≌得A OCD ∠=∠，再通过平角的定义和四边形内角和定理，证得
180AEC AOC ∠+∠=︒；
形成结论：通过问题（1）（2）（3）可以总结出旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补；
（4）通过作辅助线如图：将BCD ∆绕点B 顺时针旋转，使得BC 与AB 重合，得到BAF △，连接DF ，延长FA ，DC 交于点E ，可得BCD BAF ∆∆≌，进一步得到△BDF 是等边三角形，
90FAD AED ADC ∠=∠+∠=︒，再利用勾股定理求得BD .
【详解】
（1）解：（1）如图1，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，
∵α=90°
∴∠BOD=90°
∵线段AB 绕点O 顺时针旋转得线段CD ，
∴AB=CD ，OA=OC ，BO=DO
∴△AOB ≌△COD （SSS ）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D ，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=90°
故答案为：90°
（2）如图2，延长DC 交AB 于F ，交BO 于E ，
∵α=60°
∴∠BOD=60°
∵线段AB 绕点O 顺时针旋转得线段CD ，
∴AB=CD ，OA=OC ，BO=DO
∴△AOB ≌△COD （SSS ）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D ，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=60°
故答案为：60°
（3）直线AB 与直线CD 所夹的锐角与旋转角α互补，
延长AB ，CD 交于点E
∵线段AB 绕点O 顺时针旋转得线段CD ，
∴AO CO =，BO DO =，AOC BOD α∠=∠=
∴AOB COD ∠=∠
∴AOB COD ∆∆≌
∴A OCD ∠=∠
∵180OCE OCD ∠+∠=︒
∴180A OCE ∠+∠=︒
∴()360180AEC AOC A OCE ∠+∠=︒-∠+∠=︒
∴直线AB 与直线CD 所夹的锐角与旋转角α互补；
形成结论：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补； （4）将BCD ∆绕点B 顺时针旋转，使得BC 与AB 重合，得到BAF △，连接DF ，延长FA ，DC 交于点E ，
∴旋转角为60ABC ∠=︒，BCD BAF ∆∆≌
∴60AED ABC ∠=∠=︒，AF CD ==，BD BF =，
∴△BDF 是等边三角形，
∵30ADC ∠=︒，2AD =，
∴90FAD AED ADC ∠=∠+∠=︒，
∴BD DF ==
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．。