六年级秋季班-第18讲：圆和扇形章节复习-教师版

第十四讲 圆和扇形章节复习
圆和扇形是初中数学六年级第四章的内容，同学们需要学会用圆的周长、面积、弧长和扇形面积公式进行简单的计算，并体会近似与精确的数学思想．难点是圆的组合图形的面积计算，同学们需要灵活运用各个基本图形面积的计算方法，并能看出组合图形是由哪些基本图形组成，从而进行相关的计算．
基本内容 注意点 4.1 圆的周长
1、圆的周长公式及应用． 4.2 弧长
1、弧长公式及应用． 4.3 圆的面积
1、圆的面积公式及应用． 4.4 扇形的面积
1、扇形的面积公式及应用；
2、*圆的组合图形的面积计算．
【例1】 圆的周长是这个圆半径的（ ）倍
A ．6
B ．2π
C ．3.14
D ．6.28 【难度】★
【答案】B
【解析】圆的周长公式2l r π=，所以周长是半径的2π倍．
【总结】考查圆的周长与半径的关系．
【例2】 同一个圆里，直径与半径的比是______．
【难度】★
【答案】2:1．
【解析】直径是半径的两倍，所以比是2:1．
【总结】考查同一个圆的直径与半径的关系．
【例3】 要画一个周长为18.84厘米的圆，它的半径应取______厘米．
【难度】★
例题解析
内容分析
知识精讲
【答案】3．
【解析】18.84 3.1423÷÷=厘米．
【总结】考查圆的周长公式的应用．
【例4】 如果圆的半径缩小到它的13
，那么圆的周长缩小到原来的______． 【难度】★ 【答案】13
． 【解析】由2l r π=可知圆的周长与半径成正比，所以周长也缩小到原来的13
． 【总结】考查圆的周长的计算．
【例5】 如果圆上一条弧长占圆周长的15
，那么这条弧所对的圆心角占圆的周角的______． 【难度】★
【答案】72︒． 【解析】由180n r l π=可知，弧长与圆心角成正比，故圆心角为：1360725
⨯=． 【总结】考查弧长公式的运用．
【例6】 圆心角为45°的扇形，如果拼成一个圆，需要这样的扇形至少____个．
【难度】★
【答案】8．
【解析】360458÷=．
【总结】考查扇形与圆的关系．
【例7】 下列叙述中正确的个数是（ ）
（1）弧的长度只取决于弧所在圆的半径大小；
（2）两条弧的长度相等，则它们所对的圆心角相等；
（3）圆心角扩大3倍，而圆的半径缩小13，那么原来的弧长不变． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【难度】★
【答案】B 【解析】由180
n r l π=，可知弧长取决于圆心角和半径，所以（1）、（2）都错，弧长与半径 和圆心角都成正比，所以（3）对．
【总结】考查对弧长公式的理解及决定弧长的量．
【例8】 一个扇形的面积是它所在圆面积的
79，这个扇形的圆心角是______度． 【难度】★
【答案】280． 【解析】因为213602n S r lr π==扇形，所以°°73602809
n =⨯=． 【总结】考查扇形的面积与圆心角的关系．
【例9】 一个圆的周长为9.42厘米，那么这个圆的面积是______平方厘米．
【难度】★★
【答案】27.065cm ．
【解析】9.42 3.142 1.5r cm =÷÷=半径，所以面积为：23.14 1.5 1.57.065cm ⨯⨯=．
【总结】考查圆的周长与面积的计算．
【例10】 把一根长314厘米的细钢丝绕在一个圆筒上，正好绕10周，这个圆筒的半径是
（ ）
A ．5
B ．10
C ．20
D ．3.14
【难度】★★
【答案】A
【解析】31410 3.1425÷÷÷=．
【总结】考查圆的周长在实际问题中的应用．
【例11】 在一个边长为8厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是______厘米．
【难度】★★
【答案】8π．
【解析】圆的直径等于正方形的边长，所以周长是8d ππ=．
【总结】考查圆的周长的计算．
【例12】 有一个直径是8厘米的半圆形铁片，这个铁片的周长是______厘米．
【难度】★★
【答案】20.56cm ．
【解析】28 3.1482820.56d cm π÷+=⨯÷+=．
【总结】考查半圆的周长，半圆的周长等于半圆加上直径的长．．
【例13】 一个环形纸板，内圆半径是3厘米，外圆直径是10厘米，这个环形纸板的面积是
______平方厘米．
【难度】★★
【答案】16π．
【解析】外圆半径是5厘米，故圆环面积为：225316ππ-=（）平方厘米．
【总结】考查圆环的面积的计算，大圆面积减去小圆面积．
【例14】 下列说法正确的是（ ）
A ．扇形是圆的一部分，圆的一部分是扇形
B ．圆中任意画两条半径，一定能构成两个扇形
C ．如果圆的面积扩大9倍，那么圆的直径扩大9倍
D ．在所有扇形中，圆半径大的面积大
【难度】★★
【答案】B
【解析】圆的一部分不一定是扇形；圆的面积扩大9倍，直径扩大3倍；
扇形的面积与圆心角和半径都有关．
【总结】考查圆和扇形的关系及圆的面积与直径的关系．
【例15】 已知大扇形的面积是小扇形面积的
94
倍，如果它们的圆心角相等，那么小扇形的半径是大扇形半径的______．
【难度】★★ 【答案】23
． 【解析】扇形的面积与半径的平方成正比，所以小扇形的半径是大扇形半径的
23． 【总结】考查扇形的面积与半径的关系．
【例16】 已知扇形的弧长是9.42厘米，圆心角是270°，那么这个扇形的面积是______平方
厘米
【难度】★★
【答案】237.68cm ．
【解析】扇形的半径为：9.42180270 3.142cm ⨯÷÷=，
故扇形的面积为：2270 3.1429.42360
⨯⨯=2cm ． 【总结】考查扇形的弧长与扇形的面积的计算，注意公式的准确运用．
【例17】 图中的三角形是等边三角形，阴影部分是一个扇形，平方厘米．
【难度】★★ 【答案】152
π平方厘米． 【解析】23001533602S ππ=⨯⨯=阴影平方厘米． 【总结】考查扇形的面积，注意本题中圆心角度数为300°．
【例18】 ．下面两个图形中，其中正方形的面积相等，那么阴影部分面积大小关系是（ ）
A ．甲 > 乙
B ．甲 < 乙
C ．甲 = 乙
D ．无法比较
【难度】★★
【答案】C
【解析】乙的四个扇形恰好组成一个圆．
【总结】本题主要考查对阴影部分的面积的计算．
【例19】 要画一个面积是3.14平方厘米的圆，圆规两脚之间的距离要取______厘米．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】圆规两脚间的距离就是圆的半径，2 3.14 3.1411r r =÷==，所以厘米．
【总结】考查利用圆的面积求圆的半径．
【例20】 在周长为24厘米的正方形纸片上剪去一个最大的圆，则剩余部分的周长是______
厘米，面积是______平方厘米．（结果保留π）．
【难度】★★
【答案】42.84；7.74．
【解析】剩余部分的周长是正方形的周长加上圆的周长，剩余部分的面积是正方形面积减去
圆的面积，而最大圆的直径为正方形的边长，因为正方形的周长为24厘米，故边长
为6厘米，即636d r C d ππ====圆，，
故厘米，24C =正方形厘米， 所以剩余部分周长为：62418.842442.84π+=+=厘米，
面积为226633697.74r πππ=⨯-⨯=-=平方厘米．
【总结】考查圆的周长与面积的计算，注意正方形中剪出的最大圆的直径即为正方形的边长．
【例21】 如图，阴影部分周长相同的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【难度】★★
【答案】D
【解析】阴影部分的周长都等于大半圆的长加小半圆的长，每个图中都只有一个大半圆， 所有的小半圆周长也相等，所以四个阴影部分周长都相等，故选D ．
【总结】考查阴影部分的周长的计算．
【例22】 如图，正方形中，分别以两个对角顶点为圆心，以正方形的边长6为半径画弧，
形成树叶形的图案（阴影部分），求树叶形图案的周长．
【难度】★★
A A
B
C
D 【答案】18.84．
【解析】树叶形的周长是半径为6的半圆的周长，
所以618.84C r ππ===．
【总结】考查阴影部分的周长的计算，注意认真分析图形的特征．
【例23】 扇形的面积是314平方厘米，扇形所在的圆的面积是1256平方厘米，这个扇形的
圆心角是多少度？
【难度】★★
【答案】90︒． 【解析】扇形的面积与圆心角成正比，所以314360901256
⨯=︒． 【总结】考查扇形的面积与圆心角的关系．
【例24】 如图，AB = BC = CD = 2厘米，分别求出大、中、小圆的周长和面积．
【难度】★★
【答案】642C C C πππ===小大中厘米，厘米，厘米；
94S S S πππ===小大中平方厘米，平方厘米，平方厘米．
【解析】64C d C d ππππ====大大中中厘米，厘米，
2C d ππ==小小厘米，2r S ππ==小小平方厘米， 22r 9r 4S S ππππ====大大中中平方厘米，平方厘米．
【总结】考查圆的周长和面积的计算．
【例25】 如图，四边形ABCD 是长方形，AB = 12 cm ，求图中阴影部分的面积．
【难度】★★
【答案】28.26cm 2．
【解析】6AD BC cm ==，
212672cm S S =⨯==长半圆，226218cm ππ⨯÷=， ()()211367218928.26cm 22
ABD S S S S ππ=--=--==△阴影长半圆． 【总结】考查阴影部分面积的计算，注意用规则图形的面积去表示不规则图形的面积．
【例26】 一辆自行车轮胎的外直径是0.7米，如果车轮每分钟转90周，40分钟能行多远？
通过一座567米的大桥需要多少分钟？（π取3）
【难度】★★
【答案】76503米，分．
【解析】40分钟能行：30.790407560⨯⨯⨯=米，需要时间：5671893÷=分．
【总结】考查圆的周长的在实际问题中的应用．
【例27】 在长19厘米，宽9厘米的长方形纸片中，剪半径都是1.5厘米的小圆，共可剪出
小圆多少个？剪去这些小圆后，剩下的边角料的总面积是多少？．
【难度】★★
【答案】43.83平方厘米．
【解析】9 1.523÷⨯=（）， 19 1.5261÷⨯=（），所以可剪出3618⨯=个圆，
剩下的面积是：219918 1.517140.543.83ππ⨯-⨯⨯=-=平方厘米．
【总结】考查长方形中剪出圆的问题，注意认真分析．
【例28】 四个半径为2厘米的圆围成的图形中，求阴影部分的面积和周长．
【难度】★★
【答案】3.44平方厘米，12.56厘米．
【解析】面积：2442164 3.44ππ⨯-⨯=-=平方厘米；
周长：222412.56r πππ=⨯⨯==厘米．
【总结】考查阴影部分的周长与面积的计算，注意观察阴影部分图形的特征．
【作业1】 若一弧的长是它所在圆的周长的15
，则此弧所对的圆心角是______度． 【难度】★
【答案】72． 【解析】弧长与圆心角成正比，1360725
⨯=． 【总结】考查弧长与圆心角的关系．
【作业2】 如果一条弧所对的圆心角缩小为原来的14
，所在圆的半径扩大为原来的3倍，那么所得的新弧长与原来的弧长之比是______．
【难度】★
【答案】3:4． 【解析】180
n l r π=，弧长与圆心角、半径成正比，所以比为3:4． 【总结】考查弧长与圆心角和半径的关系．
【作业3】 甲圆与乙圆的半径之比是 2 : 3，则甲与乙的直径之比是______，周长之比是
______，面积之比是______．
【难度】★
【答案】2：3，2：3，4：9．
【解析】半径比等于直径比等于周长比，面积比等于半径比的平方．
【总结】考查圆中各个基本量之间的关系．
【作业4】 下列说法正确的个数是（ ）
（1）半径越大，圆的面积越大；
（2）半径越大，所对的弧越长；
（3）弧是圆上两点间的一条线段；
（4）圆心角相等，它们所对的弧长也相等． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【难度】★★
【答案】A
【解析】2S r π=，圆的面积只与半径有关，（1）√；180
n l r π=弧长与半径和圆心角都有关系；（2）×； （3）×； （4）×，弧长与半径和圆心角都有关．
【总结】考查弧长的影响因素．
【作业5】 求下列各圆的周长和面积：
（1）r = 3，C =______，S =______；
（2）d = 8，C =______，S =______； （3）l = 5，n = 72°，S =______．
【难度】★★
【答案】（1）C = 9.42，S = 28.26；（2）C = 25.12，S = 50.24； （3）S = 49.76． 【解析】222360
n C r S r S r πππ===，，． 【总结】考查圆的周长与面积的计算．
【作业6】 求下列弧的弧长：
（1）r = 4，n = 90°，l =______；
（2）d = 9，n = 120°l =______； （3）C = 20，n = 175°l =______．
【难度】★★
【答案】（1）6.28；（2）9.42；（3）9.72．
【解析】（1）9042180180n l r πππ==⨯==6.28，（2）91209239.4221802
r d l ππ=÷==⨯==，； （3）10175101759.72218018
C r l ππππ===⨯=≈，． 【总结】考查弧长的计算．
【作业7】 在长是6厘米，宽是4厘米的长方形内剪一个最大的圆，则圆的面积是______
平方厘米
【难度】★★
【答案】12.56．
【解析】圆的直径等于4厘米，2412.56S r ππ===平方厘米．
【总结】考查圆的面积的计算．
【作业8】 用一根长为37.68厘米的铅丝围成一个圆，圆的面积是______平方厘米．
【难度】★★
【答案】113.04平方厘米．
【解析】237.68 3.142636113.04r S r ππ=÷÷====厘米，平方厘米．
【总结】本题中铁丝的总长度就是所围成的圆的周长，从而算出半径和面积．
【作业9】 一个圆环形纸片，外环半径6厘米，内环半径5厘米，这个圆环的面积是______
平方厘米，周长是______厘米．
【难度】★★
【答案】34.54；69.08．
【解析】221236251134.54S r r πππππ=-=-==圆环平方厘米；
()1222269.08C r r ππ=+==圆环厘米．
【总结】考查圆环的面积与周长的计算．
【作业10】 已知一个扇形的半径是6厘米，圆心角是120°，则此扇形的周长是______厘
米．
【难度】★★
【答案】24.56厘米． 【解析】1202261241224.56180180
n C l r r r πππ=+=+=⨯+=+=扇厘米． 【总结】考查扇形周长的计算，注意扇形的周长还要包含两条半径的长．
【作业11】 扇形的半径是6分米，扇形的弧长是4π分米，这段弧所对的圆心角是______
度，这个扇形的面积是______平方分米．（结果保留π）
【难度】★★
【答案】120，12π． 【解析】180********l n r πππ⨯===，212012360
S r ππ==平方分米． 【总结】考查扇形的圆心角和面积的计算．
【作业12】 一个时钟的时针长5厘米，它从上午8点到下午4点，时针针尖走过的距离是
（ ）．
A B O
A ．203π
B ．103π
C ．60π
D ．30π
【难度】★★ 【答案】203
π． 【解析】2402051801803
n l r πππ==⨯=． 【总结】考查弧长在计算时针所走过的路程中的计算．
【作业13】 已知一条弧长等于1，它的半径为R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧
长增加（ ）
A ．1n
B ．180R
π C ．180R π D ．1360
【难度】★★
【答案】B 【解析】由弧长公式1800n R l π=可知，当圆心角增加1°时，弧长则增加180
R π． 【总结】考查对弧长公式中每个量的理解．
【作业14】 如图，半径r = 12，60AOB ∠=︒，求这个图形的周长．
【难度】★★
【答案】86.8厘米． 【解析】30012122202486.8180
C ππ=⨯+⨯=+=厘米． 【总结】此图的周长包含了弧长和两条半径的长．
【作业15】 如图，正方形ABCD 的边长为4，求阴影部分的面积和周长．
【难度】★★
【答案】面积为16，周长为18.84．
【解析】阴影部分的面积是正方形的面积加上圆的面积，再
减去扇形的面积；阴影部分的周长则是三段弧的长的和．
故2244441624S ππ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭阴影，
A B
C
D 12242618.844
C r R πππππ=+⨯=+==阴影． 【总结】考查阴影部分的面积和周长的计算，认真分析阴影图形的特征．
【作业16】 如图，四边形ABCD 是长方形，AB = 10 cm ，BC = 6 cm ，求阴影部分的周长．
【难度】★★
【答案】33.12厘米． 【解析】()121026448833.124C πππ=⨯+⨯++=+=厘米． 【总结】考查阴影部分周长的计算，注意包含了每一段弧和线段的长．。