第五章角动量Angularmomentum
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5.1 质点的角动量
Angular momentum of a particle
5.1.1 质点的角动量 5.1.2 力对参考点的力矩 5.1.3 对参考点的角动量定理 5.1.4 对轴的角动量定理 5.1.5 角动量守恒定律
2010年11月23日 8:00-9:50
第五章 角动量
5
5.1.1 质点的角动量
the moment of force
单位: N·m 量刚: dim[M] = L2MT-2
注意: 力矩依赖于参考点O的选择
2010年11月23日 8:00-9:50
第五章 角动量
14
5.1.2 力对参考点的力矩
2. 合力的力矩
若有n 个力作用在质点上
合力: F Fi
合力 F对参考点O的力矩：
第五章 角动量
18
5.1.3 对参考点的角动量定理
2. 角冲量-角动量定理
角冲量(Angular impulse or moment of impulse):
t1 到 t2时间间隔内作用在质点上的合力F 对参考点O 的角冲量：
( AO )12
t2 r Fdt
t1
t2 Mdt
第五章 角动量
26
5.1.4 对轴的角动量定理 对于固定参考点O：
角动量定理：
M dL dt
mg
第五章 角动量
24
力学(Mechanics)
第五章 角动量
Angular momentum
5.1 质点的角动量
Angular momentum of a particle
5.1.1 质点的角动量 5.1.2 力对参考点的力矩 5.1.3 对参考点的角动量定理 5.1.4 对轴的角动量定理 5.1.5 角动量守恒定律
1. 角动量的定义
考虑质量为m的质点：
L
O: r:
惯性系中的一个参考点； 质点相对于O点的位置矢量;
p mv : 质点的动量
O
p mv
m r
D
定义：质点对参考点O的角动量(angular momentum)
L r p r mv
单位: kg·m2/s 量刚:dim[L] = L2MT-1
dt
dt
如果质点对参考点O的角动量守恒，则掠面速度为恒量：
质点作平面运动，且它相对参考点O的位置矢量 在相等的时间内扫过相等的面积。
开普勒第二定律：行星对太阳中心的掠面速度为恒量
v
r
O
r
行星绕太阳公转 对太 阳中心O的角动量守恒
vdt
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第五章 角动量
m r
D
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第五章 角动量
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5.1.1 质点的角动量
2. 角动量的物理意义
开普勒(Kepler)行星运动三定律:
1. 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点 上；
2. 对任一行星，它的位置矢量(以太阳中心为参考点)在相 等的时间内扫过相等的面积；
t1
由角动量定理： 两边从 t1 到 t2 积分
M dL Mdt dL dt
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
L
( Ao )12 L2 L1 L
角冲量-角动量定理：
作用在质点上的合力的角冲量等于质点角动量的增量
2010年11月23日 8:00-9:50
12
力学(Mechanics)
第五章 角动量
Angular momentum
5.1 质点的角动量
Angular momentum of a particle
5.1.1 质点的角动量 5.1.2 力对参考点的力矩 5.1.3 对参考点的角动量定理 5.1.4 对轴的角动量定理 5.1.5 角动量守恒定律
第五章 角动量
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力学(Mechanics)
第五章 角动量
Angular momentum
5.1 质点的角动量
Angular momentum of a particle
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第五章 角动量
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力学(Mechanics)
第五章 角动量
Angular momentum
动量矩(the moment of momentum)
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第五章 角动量
6
5.1.1 质点的角动量
注意(Caution):
• 作L 依图赖时于将参L考矢点量O的的矢选尾择置于
L
参考点上；
•
由于
p 与参考系有关，故
L
也
O
依赖于参考系的选择。
p mv
• 动量不守恒 行星的速度矢量在不断地变化。
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第五章 角动量
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5.1.1 质点的角动量
是什么量在行星运动中守恒?
考虑
L/m
:
在经典力学中, m = 常量
L r v r dr
m
dt
dr : 质点的位移
o
r dr : 以 r和dr为邻边的平行四边形的面积
O
r
dLo
dt
Lo
Lo
sin(
2
)
LO
ml2 sin cos
r
m2l2 sin cos
mv
方向：沿圆周切线，与小球运动方向相同
1 2
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第五章 角动量
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5.1.3 对参考点的角动量定理 3. 小球所受合力对于参考点O的力矩
Angular momentum
5.1 质点的角动量
Angular momentum of a particle
5.1.1 质点的角动量 5.1.2 力对参考点的力矩 5.1.3 对参考点的角动量定理 5.1.4 对轴的角动量定理 5.1.5 角动量守恒定律
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• 力矩和角动量必须是对同一个参考点；
• 参考点O 相对于惯性系是固定的. 如果O 是运动的，则
质点相对于 O的速度
dr v dt
质点相对于参 考系的速度
dL d r mv dr mv M
dt dt
dt
M dL dr mv dL
dt dt
dt
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M
p mvv
F
a
rm
O
M
dL dt
质点对固定点O 的角动量定理
作用在质点上的合力对固定参考 点O的力矩等于质点对O点的角 动量对时间的变化率
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第五章 角动量
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5.1.3 对参考点பைடு நூலகம்角动量定理
Note:
• 角动量定理只适用于惯性系，在非惯性系中需加上惯性 力的力矩；
Mo r (T mg) r mg sin mg m 2l cos
mgl sin m2l cos l sin m2l2 cos sin
O l
方向：沿圆周切线，与小球运动方向相同 T
dLo m2l2 sin cos
dt
MO
dLo
dt
r
MO
rˆ mg
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第五章 角动量
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5.1.3 对参考点的角动量定理
4. 小球相对于参考点O'的角动量
LO r mv
rmr ml 2 sin2 LO 的方向垂直向上， 恒矢量
dLO 0
dt
O
LO
r O'
mv
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第五章 角动量
13
5.1.2 力对参考点的力矩
1. 力矩的定义
考虑一个质量为m的质点
F
O : 惯性系中的一个参考点；
M
r : 质点相对于O点的位置矢量;
F : 作用在质点上的力
定义：力 F 对参考点O的力矩(torque)
O
r
D
m
M rF
力学(Mechanics)
第五章 角动量
Angular momentum
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第五章 角动量
1
第五章 角动量(Angular momentum) 为描述质点的动力学，已引入了如下物理量：
• 动量(Momentum) ；
• 能量(Energy)；
守恒定律
动量和能量不能反映运动的全部特点： 行星围绕太阳运转： 开普勒第二定律：
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第五章 角动量
25
5.1.4 对轴的角动量定理 对参考点O的角动量定理 描述质点绕空间点O的转动 某些物体绕轴转动：
为描述物体对轴的转动，需引入对轴的角动量定理(angular momentum theory about an axis).
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r
dr
r
t+dt dr t
d
:
位置矢量
r
在dt
时间间隔内扫过的面积=以r和
dr为邻边
的三角形的面积
r dr = 2d
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第五章 角动量
10
5.1.1 质点的角动量
引入矢量dσ:
与右r手 和定d则r构:成r、的d平r 和面d垂σ构直成；右手螺旋系统
在本章中:
• 角动量(angular momentum)和力矩(torque)的概念; • 角动量定理(Angular momentum theorem); • 角动量守恒定律(The principle of angular momentum
conservation)
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r dr 2d
dσ
两边同除以dt:
o
r v 2 dσ L 2m dσ
dt
dt
dσ :掠面速度(areal velocity) dt
r
dr
r
t+dt dr t
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第五章 角动量
11
5.1.1 质点的角动量
r v 2 dσ L 2m dσ
3. 行星绕太阳运动周期T的平方和椭圆轨道的半长轴a的立 方成正比，即：T2/a3 = 常量
第二定律表明：在行星的运动过程 中，有一个物理量是守恒的！
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第五章 角动量
8
5.1.1 质点的角动量
在行星的运动中: • 行星的机械能是守恒的 作用在行星上的力是万有引力，是保守力； 但能量守恒不能描述开普勒第二定律所表述的现象。
m2l sin
x
O Tsin
mg m2l cos
mg
O l
T
r
mg
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第五章 角动量
20
5.1.3 对参考点的角动量定理 2. 小球相对于参考点O的角动量
Lo r mv
mlr ml2 sin Lo 随质点运动扫过一个圆锥面
第五章 角动量
16
5.1.3 对参考点的角动量定理
1. 角动量定理
O: 参考点，相对于惯性系静止； r : 质点相对于参考点O的位置矢量
L r p r mv
方程两边对时间求导
dL d r mv dr mv r d mv
F
dt dt
dt
dt
v mv 0
第五章 角动量
23
5.1.3 对参考点的角动量定理 5. 小球所受合力对于参考点O'的力矩
MO r (T mg)
r
T
sin(
2
)
r
mg
rT cos rmg 0
T cos mg
O l
T
MO
dLO
dt
0
1 2
r O'
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第五章 角动量
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5.1.3 对参考点的角动量定理
例：圆锥摆。质量为 m 的小球用长度为 l 的轻绳悬起（图）， 绳的另一端系在天花板上。小球经推动后，在一水平面内作匀 速圆周运动，角速度为。设绳与铅直方向的夹角为
1. 与重力mg间的关系
T cos mg
y
Tcos
T
T sin ma mr2
在描述物体的转动(rotation)问题时，需要引进一个新的 物理量—角动量(angular momentum).
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第五章 角动量
2
第五章 角动量(Angular momentum)
牛顿力学体系： • 牛顿运动定律 动量、能量和角动量的规律； • 作用力的规律。 可解决各种力学问题
M r F r Fi r F1 F2... Fn r Fi Mi
矢量积的分配率
合力对参考点O 的力矩等于所有分力对O 点的力矩的矢量和。
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第五章 角动量
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力学(Mechanics)
第五章 角动量
Angular momentum of a particle
5.1.1 质点的角动量 5.1.2 力对参考点的力矩 5.1.3 对参考点的角动量定理 5.1.4 对轴的角动量定理 5.1.5 角动量守恒定律
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第五章 角动量
5
5.1.1 质点的角动量
the moment of force
单位: N·m 量刚: dim[M] = L2MT-2
注意: 力矩依赖于参考点O的选择
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第五章 角动量
14
5.1.2 力对参考点的力矩
2. 合力的力矩
若有n 个力作用在质点上
合力: F Fi
合力 F对参考点O的力矩：
第五章 角动量
18
5.1.3 对参考点的角动量定理
2. 角冲量-角动量定理
角冲量(Angular impulse or moment of impulse):
t1 到 t2时间间隔内作用在质点上的合力F 对参考点O 的角冲量：
( AO )12
t2 r Fdt
t1
t2 Mdt
第五章 角动量
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5.1.4 对轴的角动量定理 对于固定参考点O：
角动量定理：
M dL dt
mg
第五章 角动量
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力学(Mechanics)
第五章 角动量
Angular momentum
5.1 质点的角动量
Angular momentum of a particle
5.1.1 质点的角动量 5.1.2 力对参考点的力矩 5.1.3 对参考点的角动量定理 5.1.4 对轴的角动量定理 5.1.5 角动量守恒定律
1. 角动量的定义
考虑质量为m的质点：
L
O: r:
惯性系中的一个参考点； 质点相对于O点的位置矢量;
p mv : 质点的动量
O
p mv
m r
D
定义：质点对参考点O的角动量(angular momentum)
L r p r mv
单位: kg·m2/s 量刚:dim[L] = L2MT-1
dt
dt
如果质点对参考点O的角动量守恒，则掠面速度为恒量：
质点作平面运动，且它相对参考点O的位置矢量 在相等的时间内扫过相等的面积。
开普勒第二定律：行星对太阳中心的掠面速度为恒量
v
r
O
r
行星绕太阳公转 对太 阳中心O的角动量守恒
vdt
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第五章 角动量
m r
D
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第五章 角动量
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5.1.1 质点的角动量
2. 角动量的物理意义
开普勒(Kepler)行星运动三定律:
1. 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点 上；
2. 对任一行星，它的位置矢量(以太阳中心为参考点)在相 等的时间内扫过相等的面积；
t1
由角动量定理： 两边从 t1 到 t2 积分
M dL Mdt dL dt
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
L
( Ao )12 L2 L1 L
角冲量-角动量定理：
作用在质点上的合力的角冲量等于质点角动量的增量
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力学(Mechanics)
第五章 角动量
Angular momentum
5.1 质点的角动量
Angular momentum of a particle
5.1.1 质点的角动量 5.1.2 力对参考点的力矩 5.1.3 对参考点的角动量定理 5.1.4 对轴的角动量定理 5.1.5 角动量守恒定律
第五章 角动量
3
力学(Mechanics)
第五章 角动量
Angular momentum
5.1 质点的角动量
Angular momentum of a particle
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第五章 角动量
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力学(Mechanics)
第五章 角动量
Angular momentum
动量矩(the moment of momentum)
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第五章 角动量
6
5.1.1 质点的角动量
注意(Caution):
• 作L 依图赖时于将参L考矢点量O的的矢选尾择置于
L
参考点上；
•
由于
p 与参考系有关，故
L
也
O
依赖于参考系的选择。
p mv
• 动量不守恒 行星的速度矢量在不断地变化。
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第五章 角动量
9
5.1.1 质点的角动量
是什么量在行星运动中守恒?
考虑
L/m
:
在经典力学中, m = 常量
L r v r dr
m
dt
dr : 质点的位移
o
r dr : 以 r和dr为邻边的平行四边形的面积
O
r
dLo
dt
Lo
Lo
sin(
2
)
LO
ml2 sin cos
r
m2l2 sin cos
mv
方向：沿圆周切线，与小球运动方向相同
1 2
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第五章 角动量
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5.1.3 对参考点的角动量定理 3. 小球所受合力对于参考点O的力矩
Angular momentum
5.1 质点的角动量
Angular momentum of a particle
5.1.1 质点的角动量 5.1.2 力对参考点的力矩 5.1.3 对参考点的角动量定理 5.1.4 对轴的角动量定理 5.1.5 角动量守恒定律
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• 力矩和角动量必须是对同一个参考点；
• 参考点O 相对于惯性系是固定的. 如果O 是运动的，则
质点相对于 O的速度
dr v dt
质点相对于参 考系的速度
dL d r mv dr mv M
dt dt
dt
M dL dr mv dL
dt dt
dt
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M
p mvv
F
a
rm
O
M
dL dt
质点对固定点O 的角动量定理
作用在质点上的合力对固定参考 点O的力矩等于质点对O点的角 动量对时间的变化率
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第五章 角动量
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5.1.3 对参考点பைடு நூலகம்角动量定理
Note:
• 角动量定理只适用于惯性系，在非惯性系中需加上惯性 力的力矩；
Mo r (T mg) r mg sin mg m 2l cos
mgl sin m2l cos l sin m2l2 cos sin
O l
方向：沿圆周切线，与小球运动方向相同 T
dLo m2l2 sin cos
dt
MO
dLo
dt
r
MO
rˆ mg
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第五章 角动量
22
5.1.3 对参考点的角动量定理
4. 小球相对于参考点O'的角动量
LO r mv
rmr ml 2 sin2 LO 的方向垂直向上， 恒矢量
dLO 0
dt
O
LO
r O'
mv
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第五章 角动量
13
5.1.2 力对参考点的力矩
1. 力矩的定义
考虑一个质量为m的质点
F
O : 惯性系中的一个参考点；
M
r : 质点相对于O点的位置矢量;
F : 作用在质点上的力
定义：力 F 对参考点O的力矩(torque)
O
r
D
m
M rF
力学(Mechanics)
第五章 角动量
Angular momentum
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第五章 角动量
1
第五章 角动量(Angular momentum) 为描述质点的动力学，已引入了如下物理量：
• 动量(Momentum) ；
• 能量(Energy)；
守恒定律
动量和能量不能反映运动的全部特点： 行星围绕太阳运转： 开普勒第二定律：
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第五章 角动量
25
5.1.4 对轴的角动量定理 对参考点O的角动量定理 描述质点绕空间点O的转动 某些物体绕轴转动：
为描述物体对轴的转动，需引入对轴的角动量定理(angular momentum theory about an axis).
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r
dr
r
t+dt dr t
d
:
位置矢量
r
在dt
时间间隔内扫过的面积=以r和
dr为邻边
的三角形的面积
r dr = 2d
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第五章 角动量
10
5.1.1 质点的角动量
引入矢量dσ:
与右r手 和定d则r构:成r、的d平r 和面d垂σ构直成；右手螺旋系统
在本章中:
• 角动量(angular momentum)和力矩(torque)的概念; • 角动量定理(Angular momentum theorem); • 角动量守恒定律(The principle of angular momentum
conservation)
2010年11月23日 8:00-9:50
r dr 2d
dσ
两边同除以dt:
o
r v 2 dσ L 2m dσ
dt
dt
dσ :掠面速度(areal velocity) dt
r
dr
r
t+dt dr t
2010年11月23日 8:00-9:50
第五章 角动量
11
5.1.1 质点的角动量
r v 2 dσ L 2m dσ
3. 行星绕太阳运动周期T的平方和椭圆轨道的半长轴a的立 方成正比，即：T2/a3 = 常量
第二定律表明：在行星的运动过程 中，有一个物理量是守恒的！
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第五章 角动量
8
5.1.1 质点的角动量
在行星的运动中: • 行星的机械能是守恒的 作用在行星上的力是万有引力，是保守力； 但能量守恒不能描述开普勒第二定律所表述的现象。
m2l sin
x
O Tsin
mg m2l cos
mg
O l
T
r
mg
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第五章 角动量
20
5.1.3 对参考点的角动量定理 2. 小球相对于参考点O的角动量
Lo r mv
mlr ml2 sin Lo 随质点运动扫过一个圆锥面
第五章 角动量
16
5.1.3 对参考点的角动量定理
1. 角动量定理
O: 参考点，相对于惯性系静止； r : 质点相对于参考点O的位置矢量
L r p r mv
方程两边对时间求导
dL d r mv dr mv r d mv
F
dt dt
dt
dt
v mv 0
第五章 角动量
23
5.1.3 对参考点的角动量定理 5. 小球所受合力对于参考点O'的力矩
MO r (T mg)
r
T
sin(
2
)
r
mg
rT cos rmg 0
T cos mg
O l
T
MO
dLO
dt
0
1 2
r O'
2010年11月23日 8:00-9:50
第五章 角动量
19
5.1.3 对参考点的角动量定理
例：圆锥摆。质量为 m 的小球用长度为 l 的轻绳悬起（图）， 绳的另一端系在天花板上。小球经推动后，在一水平面内作匀 速圆周运动，角速度为。设绳与铅直方向的夹角为
1. 与重力mg间的关系
T cos mg
y
Tcos
T
T sin ma mr2
在描述物体的转动(rotation)问题时，需要引进一个新的 物理量—角动量(angular momentum).
2010年11月23日 8:00-9:50
第五章 角动量
2
第五章 角动量(Angular momentum)
牛顿力学体系： • 牛顿运动定律 动量、能量和角动量的规律； • 作用力的规律。 可解决各种力学问题
M r F r Fi r F1 F2... Fn r Fi Mi
矢量积的分配率
合力对参考点O 的力矩等于所有分力对O 点的力矩的矢量和。
2010年11月23日 8:00-9:50
第五章 角动量
15
力学(Mechanics)
第五章 角动量