江苏省盐城市响水中学2014-2015学年高二上学期第三次段考数学试卷(Word版含解析)

江苏省盐城市响水中学2014-2015学年高二上学期第三次段考数学试卷
一、填空题（本大题共70分，每小题5分）
1．（5分）如图所示的平面区域（阴影部分）满足的不等式为．
2．（5分）阅读如图所示的伪代码：若输入x的值为12，则p=．
3．（5分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h 的汽车数量为
辆．
4．（5分）已知点F为抛物线y=x2的焦点，点A坐标为（0，﹣2），O为坐标原点，则在线段AF上随机取一点P，则点P落在线段FO上的概率为．
5．（5分）命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是．
6．（5分）常用逻辑用语“x＞2”是“”的（填“必要不充分”、“充分不必要”或“充要”）条件．
7．（5分）若m＜n，p＜q，且（p﹣m）（p﹣n）＜0，（q﹣m）（q﹣n）＜0，则m、n、p、q 的大小顺序是．
8．（5分）不等式≥1的解集为．
9．（5分）双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为．
10．（5分）若AB为经过抛物线y2=4x焦点的弦，且AB=4，O为坐标原点，则△OAB的面积等于．
11．（5分）椭圆（a＞b＞0）且满足a≤，若离心率为e，则e2+的最小值为．
12．（5分）如图是一个方程为+y2=1的椭圆，则由过上、下顶点和两焦点的四条直线围成图形的面积为．
13．（5分）代数式+的最小值为．．
14．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则AF+4BF 的最小值为．
二、解答题（本大题共90分）
15．（14分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且¬p是¬q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
16．（14分）如图是校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图．
（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；
（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？
17．（14分）两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的实验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体出现的点数．
（1）求事件“出现点数之和小于5的概率；
（2）求事件“出现点数相等”的概率．
18．（16分）已知抛物线C1的顶点是双曲线C2：x2﹣4ky2=4的中心，而焦点是双曲线的左顶点，
（1）当k=1时，求抛物线C1的方程；
（2）若双曲线的离心率e=，求双曲线的渐近线方程和准线的方程．
19．（16分）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为
x1=3，x2=4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞1，解关于x的不等式；．
20．（16分）已知椭圆+=1经过点P（，），离心率是，动点M（2，t）（t＞0）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且别直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F做OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON长是定值，并求出定值．
江苏省盐城市响水中学2014-2015学年高二上学期第三次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共70分，每小题5分）
1．（5分）如图所示的平面区域（阴影部分）满足的不等式为3x+2y﹣3＞0．
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
专题：不等式的解法及应用．
分析：求出直线方程，结合二元一次不等式与平面之间的关系即可得到结论．
解答：解：直线方程为，
即3x+2y﹣3=0，
当x=y=0时，0﹣3＜0，
即原点在3x+2y﹣3＜0的区域内，
则阴影部分的满足不等式为3x+2y﹣3＞0，
故答案为：3x+2y﹣3＞0
点评：本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，根据原点来定域是解决本题的关键．
2．（5分）阅读如图所示的伪代码：若输入x的值为12，则p=4.9．
考点：选择结构．
专题：计算题；算法和程序框图．
分析：由已知中伪代码，可知该程序的功能是计算并输出分段函数
p=的函数值，将x=12代入可得答案．
解答：解：由已知中伪代码，可知：
该程序的功能是计算并输出分段函数p=的函数值，
当x=12时，p=3.5+0.7（12﹣10）=4.9，
故答案为：4.9
点评：本题考查的知识点是选择结构，伪代码，分段函数求函数值，其中根据已知中伪代码，分析出该程序的功能，是解答的关键．
3．（5分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h 的汽车数量为
76辆．
考点：频率分布直方图．
专题：计算题．
分析：先根据“频率=×组距”求出时速不低于60km/h的汽车的频率，然后根据“频数=
频率×样本容量”进行求解．
解答：解：时速不低于60km/h的汽车的频率为（0.028+0.01）×10=0.38
∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76
故答案为：76
点评：本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，频数=频率×样本容量，属于基础题．
4．（5分）已知点F为抛物线y=x2的焦点，点A坐标为（0，﹣2），O为坐标原点，则在
线段AF上随机取一点P，则点P落在线段FO上的概率为．
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用抛物线的标准方程及其性质、几何概型计算公式即可得出．
解答：解：由抛物线y=x2，可得焦点F（0，1），∴|OF|=1，|AF|=3．
∴|FO|=|AF|．
由几何概型计算公式可得：点P落在线段FO上的概率为．
故答案为：．
点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、几何概型计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）命题“∃x∈R，e x＞x”的否定是∀x∈R，e x≤x．
考点：命题的否定．
专题：阅读型．
分析：本题要求出命题的否定，由于命题是一个特称命题，故其否定是不念旧恶全称命题，特称命题的否定的书写格式书写即可
解答：解：∵p：“∃x∈R，e x＞x
∴￢p：∀x∈R，e x≤x
故答案为∀x∈R，e x≤x
点评：本题考点是命题的否定，考查命题否定的定义及命题否定的书写格式，属于基本题，在书写命题的否定时要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的书写形式是全称命题，解答此类题时要正确书写．
6．（5分）常用逻辑用语“x＞2”是“”的充分不必要（填“必要不充分”、“充分不必要”
或“充要”）条件．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答：解：若x＞2，则成立，
若x=﹣1，满足，则x＞2不成立，
即“x＞2”是“”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
7．（5分）若m＜n，p＜q，且（p﹣m）（p﹣n）＜0，（q﹣m）（q﹣n）＜0，则m、n、p、q 的大小顺序是m＜p＜q＜n．
考点：一元二次不等式的应用．
专题：计算题；压轴题．
分析：把p、q看成变量，则由（q﹣m）（q﹣n）＜0，知m，n一个大于q，一个小于q．由m＜n，知m＜q＜n；由（p﹣m）（p﹣n）＜0，知m，n一个大于p，一个小于p，由m＜n，知m＜p＜n．由p＜q，知m＜p＜q＜n．
解答：解：∵（q﹣m）（q﹣n）＜0，
∴m，n一个大于q，一个小于q．
∵m＜n，
∴m＜q＜n．
∵（p﹣m）（p﹣n）＞0，
∴m，n一个大于p，一个小于p．
∵m＜n，
∴m＜p＜n．
∵p＜q，∴m＜p＜q＜n．
故答案为：m＜p＜q＜n
点评：本题考查不等式大小的比较，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式的性质的合理运用．
8．（5分）不等式≥1的解集为（﹣，1]．
考点：指、对数不等式的解法．
专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：运用指数函数的单调性，可得≤0，再由分式不等式的解法即可得到解集．
解答：解：不等式≥1=（）0，
即为≤0，
即有（x﹣1）（2x+1）≤0，且2x+1≠0，
解得﹣＜x≤1．
则解集为（﹣，1]．
故答案为：（﹣，1]．
点评：本题考查指数和分式不等式的解法，考查指数函数的单调性的运用，考查转化思想的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．
9．（5分）双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设出双曲线的方程，得到两条准线间的距离为，根据题意可得，由此进行化简整理即可求出该双曲线的离心率大小．
解答：解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），半焦距为c=．
∵双曲线的准线方程为x=±，∴两条准线间的距离为．
又∵双曲线的两准线间的距离是焦距的，
∴，化简得，
因此该双曲线的离心率e=．
故答案为：
点评：本题给出双曲线满足的条件，求它的离心率大小．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
10．（5分）若AB为经过抛物线y2=4x焦点的弦，且AB=4，O为坐标原点，则△OAB的面积等于2．
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由于AB为经过抛物线y2=4x焦点的弦，且|AB|=4=2p，可得AB⊥x轴，即可得出△OAB的面积．
解答：解：∵AB为经过抛物线y2=4x焦点的弦，且|AB|=4=2p，
∴AB⊥x轴，
∴S△OAB===2，
故答案为：2．
点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、焦点弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5分）椭圆（a＞b＞0）且满足a≤，若离心率为e，则e2+的最小值为．
考点：椭圆的简单性质；基本不等式．
专题：计算题．
分析：先根据e=，c=对e2+进行整理得2+，再根据a≤进而求得e2+的范围，求得最小值．
解答：解：∵a≤，
e2+=+
=+
=2+
∵a≤，，∴a2≤3b2，
∴≥，且≥=
∴≥×=
∴e2+≥
故答案为：
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
12．（5分）如图是一个方程为+y2=1的椭圆，则由过上、下顶点和两焦点的四条直线围成图形的面积为2．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出椭圆的a=2，b=1，由a，b，c的关系可得c，再由四条直线围成图形的面积为
•2c•2b=2bc，计算即可得到．
解答：解：椭圆+y2=1的a=2，b=1，
c==，
即有椭圆的两焦点的距离为2c=2，
上下顶点的距离为2b=2，
即有四条直线围成图形的面积为•2c•2b=2bc=2．
故答案为：2．
点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的焦点和顶点，同时考查四边形的面积，属于基础题．
13．（5分）代数式+的最小值为．．
考点：三角函数的化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：通过三角函数间的平方关系将代数式+转化为
+，再分离常数，利用基本不等式即可求得答案．
解答：解：
+=+=3++≥3+2
=3+2，
故答案为：3+2．
点评：本题考查三角函数的化简求值，将代数式+转化为
+是关键，考查基本不等式的应用，属于中档题．
14．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则AF+4BF 的最小值为．
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为
y=，（k≠0）．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用
|AF|+4|BF|=及其基本不等式的性质即可得出，当直线AB的斜率不存在时，直接求出即可．
解答：解：F，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=，（k≠0）．
联立，化为，
x1x2=．
∴|AF|+4|BF|==x
1+4x2++=，当且仅当x1=4x2=1时取
等号．
当直线AB的斜率不存在时，|AF|+4|BF|=5p=5．
综上可得：|AF|+4|BF|的最小值为．
故答案为：．
点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦长公式、基本不等式的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、解答题（本大题共90分）
15．（14分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且¬p是¬q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：分别求出p，q，由p是q的充分不必要条件，解不等式从而求出m的范围．
解答：解：由题意知：命题：若非p是非q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件．
p：|x﹣3|≤2，﹣1≤x≤7．
q：x2﹣2x+1﹣m2≤0⇒[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0（*）．
又∵m＞0，∴不等式（*）的解集为1﹣m≤x≤1+m．
∵p是q的充分不必要条件，
∴m≥6．
∴实数m的取值范围是[6，+∞）．
点评：题主要考查不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
16．（14分）如图是校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图．
（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；
（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？
考点：极差、方差与标准差；茎叶图；众数、中位数、平均数．
专题：计算题；概率与统计．
分析：（1）由茎叶图可知由茎叶图可知，乙选手得分为79，84，84，84，86，87，93，即可写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；
（2）求出甲、乙两位选手，去掉最高分和最低分的平均数与方差，即可得出结论．
解答：解：（1）由茎叶图可知，乙选手得分为79，84，84，84，86，87，93，
所以众数为84，中位数为84；
（2）甲选手评委打出的最低分为84，最高分为93，去掉最高分和最低分，其余得分为86，86，87，89，92，
故平均分为（86+86+87+89+92）÷5=88，=5.2；
乙选手评委打出的最低分为79，最高分为93，去掉最高分和最低分，其余得分为84，84，84，86，87，
故平均分为（84+84+86+84+87）÷5=85，=1.6，
∴乙选手的数据波动小．
点评：本题考查茎叶图，考查一组数据的平均数与方差，考查处理一组数据的方法，是一个基础题．
17．（14分）两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的实验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体出现的点数．
（1）求事件“出现点数之和小于5的概率；
（2）求事件“出现点数相等”的概率．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：利用列举法分别写出对应的基本事件．
解答：解：（x，y）可能出现的结果有16种，分别为
y
x 1 2 3 4
1 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）
2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）
3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）
4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）
…
（1）设事件A为“出现点数之和小于5，则事件A包含的基本事件有6个，
分别为：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）…（2分）∴…
（4分）
（2）设事件B为“出现点数相等”，则事件B包含的基本事件有4个，
分别为：（1，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4）…（6分）∴…（8分）
点评：本题主要考查利用列举法写出基本事件，比较基础．
18．（16分）已知抛物线C1的顶点是双曲线C2：x2﹣4ky2=4的中心，而焦点是双曲线的左顶点，
（1）当k=1时，求抛物线C1的方程；
（2）若双曲线的离心率e=，求双曲线的渐近线方程和准线的方程．
考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）把双曲线的方程化为标准方程可得左顶点，即可得到抛物线的基焦点及其p，即可得出抛物线的方程；
（2）由，，利用离心率计算公式可得k，即可得出双曲线的标准方
程、渐近线方程与准线方程．
解答：解（1）k=1，
可得：，
∴a=2，
∴F1（﹣2，0）
设抛物线C1的方程为y2=﹣2px（p＞0），
则，∴p=4，
∴y2=﹣8x．
（2）由，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
∴渐近线方程为，
准线方程为．
点评：本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质、离心率渐近线及其准线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（16分）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为
x1=3，x2=4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞1，解关于x的不等式；．
考点：函数解析式的求解及常用方法．
专题：计算题；综合题．
分析：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程得出关于a，b的方程组，解之
即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．
（2）不等式即为：即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．下面对k进行分类讨论：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可．
解答：解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得
，所以f（x）=．
（2）不等式即为，可化为
即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．
①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．
②当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；
③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．
点评：本题主要是应用分类讨论思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：
1．要有明确的分类标准；
2．对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；
3．当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱．根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤﹣1解答此题．
20．（16分）已知椭圆+=1经过点P（，），离心率是，动点M（2，t）（t＞0）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且别直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F做OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON长是定值，并求出定值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：综合题．
分析：（1）由椭圆+=1离心率是，设椭圆方程设为，把点P（，
）代入，得，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）以OM为直径的圆的圆心是（1，），半径r=，方程为
，由以OM为直径圆直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，知，由此能求出所求圆的方程．
（3）设N（x0，y0），点N在以OM为直径的圆上，所以x02+y02=2x0+ty0，又N在过F垂直于OM的直线上，所以2x0+ty0=2，由此能求出ON．
解答：解：（1）∵椭圆+=1经过点P（，），
离心率是，
∴椭圆方程设为，
把点P（，）代入，
得，
解得4k2=2，
∴椭圆的标准方程是．
（2）以OM为直径的圆的圆心是（1，），
半径r=，
方程为，
∵以OM为直径圆直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2，
∴圆心（1，）到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d=，
∴，
解得t=4，
∴所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．
（3）设N（x0，y0），
点N在以OM为直径的圆上，
所以x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，
即：x02+y02=2x0+ty0，
又N在过F垂直于OM的直线上，
所以，
即2x0+ty0=2，
所以．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答．。