湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第11章计数原理、概率、随机变量及其分布 第2节排列与组合
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馆安排3名,乙场馆安排1名,丙场馆安排2名,则不同的安排方法共有( D )
A.120种
B.90种
C.80种
D.60种
解析 首先安排甲场馆的 3 名同学,即C63 =20;再从剩下的 3 名同学中来安排乙
场馆的 1 名同学,即C31 =3;最后安排 2 名同学到丙场馆,即C22 =1.所以不同的安
排方法有 20×3×1=60(种).
由分步乘法计数原理可得,不同的排列方式共有 12C21 =24(种).故选 B.
9.(2021·全国乙,理6)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、
冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少
分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( C )
A.60种
B.120种
C.240种
物学、思想政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求,结合自身特长兴
趣,首先在物理、历史2门科目中选择1门,再从思想政治、地理、化学、生
物学4门科目中选择2门,考试成绩计入考生总分,作为高考招生录取的依据.
某学生想在物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理这6门课程中选
三门作为选考科目,下列说法正确的是( BD )
(1)过每两点画一条向量,一共可以画多少个不同的向量?
(2)过每三点画一个圆内接三角形,一共可以画多少个圆内接三角形?
解 (1)从10个点中任选2个点形成向量是有顺序的,故有 A210=10×9=90(个)
不同的向量.
(2)因为不共线的三点确定一个三角形,故从10个点中任选3个点即可,故有
3
C10
=120(个)圆内接三角形.
再从剩下的 5 人中选 3 人排到中间,有A35 种方法,最后把甲、乙及中间 3 人看
作一个整体,与剩余 2 人排列,有A33 种方法,故共有A22 × A35 × A33 =720(种).
[对点训练1](多选题)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计
划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续
共有 2C84 + C83 =196(种)选派方法.
5
(方法二 间接法)从 10 人中任选 5 人有C10
种选派方法,其中不选队长的选派
5
方法有C85 种.所以“至少有 1 名队长”的选派方法有C10
− C85 =196(种).
(4)当有女队长时,其他人任意选,共有C94 种选派方法;当不选女队长时,必选男
合格品,3件次品,现要从这100件产品中随机抽取5件进行检查,问:
(1)抽取的5件都是合格品的抽法有多少种?
(2)抽取的5件中恰好有2件是次品的抽法有多少种?
(3)抽取的5件中,至少有2件是次品的抽法有多少种?
(注意:本题只需要列出式子,不用算出最后结果)
5
解 (1)因为共有 97 件合格品,“抽取的 5 件都是合格品”的抽法有C97
C63 =20(种)选法,故 A 错误;对于 B,课程“射”“御”排在不相邻两周,先排好其他
的 4 门课程,有 5 个空位可选,在其中任选 2 个,安排“射”“御”,共有
A44 A25 =480(种)排法,故 B 错误;对于 C,课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,利用捆
绑法:将“礼”“书”“数”看成一个整体,与其他 3 门课程全排列,共有
+1
常用此性质计算组合数
微点拨正确理解组合数的性质
(1)m
=
-m
:从
n 个不同元素中取出 m 个元素的方法数等于取出剩余 n-m
个元素的方法数.
m-1
(2)m +
m
= +1
:从 n+1 个不同元素中取出 m 个元素可分以下两种情况:
①不含特殊元素 A
有m 种方法;②含特殊元素
队长,从 8 人中选 4 人,共有C84 种选派方法,其中不含女运动员的选派方法有C54
种,所以不选女队长时的选派方法共有(C84 − C54 )种.所以既要有队长又要有女
运动员的选派方法共有C94 + C84 − C54 =191(种).
[对点训练2](多选题)在新高考方案中,选择性考试科目有:物理、化学、生
1.所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )
2.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
3.若组合式 = m ,则 x=m 成立.( × )
4.(n+1)!-n!=n·n!.( √ )
题组二回源教材
2
2
5.(．
湘教版选择性必修第一册习题
4
.
3
第
10
题改编
)
+
3 +
种.
3
(2)“抽取的 5 件中恰好有 2 件是次品”的抽法有C32 C97
种.
(3)“抽取的 5 件中,至少有 2 件是次品”可能“2 件次品 3 件合格品”或“3 件次
3
2
品 2 件合格品”,故共有C32 C97
+ C33 C97
种抽法.
7.(湘教版选择性必修第一册习题4.3第3题改编)圆上有10个不同的点.
变式探究
(变条件)本例若改为“三个场馆分别安排1名、2名、3名志愿者”,其余条件
不变,则不同的安排方法共有多少种?
解 因为没有指明哪个场馆安排几名,所以不同的安排方法有
C63 C32 C11 A33 =360(种).
考向2整体均分问题
例4甲、乙、丙3家公司承包了6项工程,每家公司承包2项,则不同的承包方
有2名女老师,则不同的分配方法有( B )
A.1 880种
B.2 940种
C.3 740种
D.5 640种
解析 5 名女老师分配到三个社区,分配的方案有 1∶1∶3 型与 1∶2∶2 型,
．．．．．．．．．．．．．．
．
．．．
．．．．．2
2
42 +…+10
= 165
.
2
解析 根据组合数的性质,可知C22 + C32 + C42 +…+C10
= C33 + C32 +
2
2
2
3
C42 +…+C10
= C43 + C42 +…+C10
= C53 +…+C10
= C11
=165.
6.(湘教版选择性必修第一册习题4.3第14题改编)有100件产品,其中有97件
不论次序地构成一组
微思考排列问题与组合问题的区别是什么?
提示 元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合.
2.排列数与组合数
是符合条件的排列的总数,是一个实数
名称
定义
公式
性质
排列数
从 n 个不同元素中取出 m
(m≤n)个元素的所有
的个数
不同排列
m
(n-2)…(n-m+1)
=n(n-1)·
A33 A44 =144(种)排法,故 C 正确;对于 D,课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在
最后一周,分 2 种情况讨论,若课程“乐”排在最后一周,有A55 种排法,若课程“乐”
不排在最后一周,有C41 C41 A44 种排法,所以共有A55 + C41 C41 A44 =504(种)排法,故 D
案有
种.
90
解析 甲、乙、丙3家公司承包了6项工程,每家公司承包2项,则不同的承
C26 C24 C22
包方案种数为
A33
× A33 =90.
考向3部分均分问题
例5(2024·湖南株洲模拟)将5名女老师和5名男老师分配到三个社区,每名
老师只去一个社区,若每个社区都必须要有女老师,且有男老师的社区至少
确;若思想政治和地理至少选一门,选法总数为C21 (C21 C21 +1),C 错误;若物理必
选,化学、生物学至少选一门,选法总数为C21 C21 +1,D 正确.故选 BD.
考点三 分组、分配问题(多考向探究预测)
考向1不等分问题
例36名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场
!
=(-m)!
= n!
0!= 1
,
组合数
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元
素的所有 不同组合 的个数
m =
=
(-1)(-2)…(- + 1)
m
=____________________
m
!
m
!
m!(-m)!
m
m-1
m = -m C,m
C+
C
=
=246(种).
5
(方法二 间接法)从 10 人中任选 5 人有C10
种选派方法,其中全是男运动员
5
的选派方法有C65 种.所以“至少有 1 名女运动员”的选派方法有C10
− C65
=246(种).
(3)(方法一 直接法)可分类求解:“只有男队长”的选派方法种数为C84 ;“只有
女队长”的选派方法种数为C84 ;“男、女队长都入选”的选派方法种数为C83 .所以
A
m-1
有 种方法.
常用结论
m-1
1.m
=(n-m+1) .
m-1
2.m
=n-1 .
3.(n+1)!-n!=n·n!.
k-1
k
4.k =n-1 .
5.m
=
m
m-1
-1
=
m
m
6.m
=
·
m.
-m
m
-1
=
-m+1 m-1
.
m
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
开设六周,则( CD )
A.某学生从中选3门,共有30种选法
B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法
C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法
D.课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有504种排法
解析 根据题意,依次分析选项:对于 A,某学生从中选 3 门,6 门中选 3 门共有
正确.故选 CD.
考点二 组合问题
例2男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加
比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)队长中至少有1人参加;
(4)既要有队长,又要有女运动员.
解 (1)分两步完成:第 1 步,选 3 名男运动员,有C63 种选派方法;第 2 步,选 2 名女
A.若任意选科,选法总数为42
B.若化学必选,选法总数为21 31
C.若思想政治和地理至少选一门,选法总数为21 21 31
D.若物理必选,化学、生物学至少选一门,选法总数为21 21 +1
解析 若任意选科,选法总数为C21 C42 ,A 错误;若化学必选,选法总数为C21 C31 ,B 正
(4)全体排成一排,男生互不相邻;
(5)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人.
解 (1)(直接法)从 7 个人中选 5 个人来排列,有A57 =2 520(种).
(2)(优先法)甲为特殊元素.先排甲,有 5 种方法,其余 6 人有A66 种方法,故共有
5× A66 =3 600(种).
(3)(捆绑法)将女生看成一个整体,与 3 名男生在一起进行全排列,有A44 种方法,
运动员,有C42 种选派方法.由分步乘法计数原理可得,共有C63 × C42 =120(种)选
派方法.
(2)(方法一
直接法)“至少有 1 名女运动员”包括以下四种情况:1 女 4 男,2 女
3 男,3 女 2 男,4 女 1 男.
由分类加法计数原理可得选派方法共有C41 C64 + C42 C63 + C43 C62 + C44 C61
D.480种
解析 先分组有C52 =10 种方案,再分配有 10× A44 =240 种方案.
2 研考点 精准突破
考点一 排列问题
例1有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数:
(1)选其中5人排成一排;
(2)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾;
(3)全体排成一排,女生必须站在一起;
题组三连线高考
8.(2022·新高考Ⅱ,5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,
若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有( B )
A.12种
B.24种
C.36种
D.48种
解析 把丙、丁看成一个元素,则(丙、丁)、乙、戊的排列共有A33 A22 =12(种)
不同的排法.又由于甲不站在两端,利用“插空法”可得甲只有C21 种不同的排法.
再将 4 名女生进行全排列,也有A44 种方法,故共有A44 × A44 =576(种).
(4)(插空法)男生互不相邻,而女生不作要求,所以应先排女生,有A44 种方法,再
在女生之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空位排男生,有A35 种方法,故共
有A44 × A35 =1 440(种).
(5)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体,第一步先排甲、乙两人有A22 种方法,
第2节 排列与组合
课标解读
1.理解排列、组合的概念.
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
3.能利用排列数和组合数公式解决一些简单的实际问题.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
一般地,从n个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列
组合
m(m≤n)个元素
A.120种
B.90种
C.80种
D.60种
解析 首先安排甲场馆的 3 名同学,即C63 =20;再从剩下的 3 名同学中来安排乙
场馆的 1 名同学,即C31 =3;最后安排 2 名同学到丙场馆,即C22 =1.所以不同的安
排方法有 20×3×1=60(种).
由分步乘法计数原理可得,不同的排列方式共有 12C21 =24(种).故选 B.
9.(2021·全国乙,理6)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、
冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少
分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( C )
A.60种
B.120种
C.240种
物学、思想政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求,结合自身特长兴
趣,首先在物理、历史2门科目中选择1门,再从思想政治、地理、化学、生
物学4门科目中选择2门,考试成绩计入考生总分,作为高考招生录取的依据.
某学生想在物理、化学、生物学、思想政治、历史、地理这6门课程中选
三门作为选考科目,下列说法正确的是( BD )
(1)过每两点画一条向量,一共可以画多少个不同的向量?
(2)过每三点画一个圆内接三角形,一共可以画多少个圆内接三角形?
解 (1)从10个点中任选2个点形成向量是有顺序的,故有 A210=10×9=90(个)
不同的向量.
(2)因为不共线的三点确定一个三角形,故从10个点中任选3个点即可,故有
3
C10
=120(个)圆内接三角形.
再从剩下的 5 人中选 3 人排到中间,有A35 种方法,最后把甲、乙及中间 3 人看
作一个整体,与剩余 2 人排列,有A33 种方法,故共有A22 × A35 × A33 =720(种).
[对点训练1](多选题)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计
划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续
共有 2C84 + C83 =196(种)选派方法.
5
(方法二 间接法)从 10 人中任选 5 人有C10
种选派方法,其中不选队长的选派
5
方法有C85 种.所以“至少有 1 名队长”的选派方法有C10
− C85 =196(种).
(4)当有女队长时,其他人任意选,共有C94 种选派方法;当不选女队长时,必选男
合格品,3件次品,现要从这100件产品中随机抽取5件进行检查,问:
(1)抽取的5件都是合格品的抽法有多少种?
(2)抽取的5件中恰好有2件是次品的抽法有多少种?
(3)抽取的5件中,至少有2件是次品的抽法有多少种?
(注意:本题只需要列出式子,不用算出最后结果)
5
解 (1)因为共有 97 件合格品,“抽取的 5 件都是合格品”的抽法有C97
C63 =20(种)选法,故 A 错误;对于 B,课程“射”“御”排在不相邻两周,先排好其他
的 4 门课程,有 5 个空位可选,在其中任选 2 个,安排“射”“御”,共有
A44 A25 =480(种)排法,故 B 错误;对于 C,课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,利用捆
绑法:将“礼”“书”“数”看成一个整体,与其他 3 门课程全排列,共有
+1
常用此性质计算组合数
微点拨正确理解组合数的性质
(1)m
=
-m
:从
n 个不同元素中取出 m 个元素的方法数等于取出剩余 n-m
个元素的方法数.
m-1
(2)m +
m
= +1
:从 n+1 个不同元素中取出 m 个元素可分以下两种情况:
①不含特殊元素 A
有m 种方法;②含特殊元素
队长,从 8 人中选 4 人,共有C84 种选派方法,其中不含女运动员的选派方法有C54
种,所以不选女队长时的选派方法共有(C84 − C54 )种.所以既要有队长又要有女
运动员的选派方法共有C94 + C84 − C54 =191(种).
[对点训练2](多选题)在新高考方案中,选择性考试科目有:物理、化学、生
1.所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )
2.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
3.若组合式 = m ,则 x=m 成立.( × )
4.(n+1)!-n!=n·n!.( √ )
题组二回源教材
2
2
5.(．
湘教版选择性必修第一册习题
4
.
3
第
10
题改编
)
+
3 +
种.
3
(2)“抽取的 5 件中恰好有 2 件是次品”的抽法有C32 C97
种.
(3)“抽取的 5 件中,至少有 2 件是次品”可能“2 件次品 3 件合格品”或“3 件次
3
2
品 2 件合格品”,故共有C32 C97
+ C33 C97
种抽法.
7.(湘教版选择性必修第一册习题4.3第3题改编)圆上有10个不同的点.
变式探究
(变条件)本例若改为“三个场馆分别安排1名、2名、3名志愿者”,其余条件
不变,则不同的安排方法共有多少种?
解 因为没有指明哪个场馆安排几名,所以不同的安排方法有
C63 C32 C11 A33 =360(种).
考向2整体均分问题
例4甲、乙、丙3家公司承包了6项工程,每家公司承包2项,则不同的承包方
有2名女老师,则不同的分配方法有( B )
A.1 880种
B.2 940种
C.3 740种
D.5 640种
解析 5 名女老师分配到三个社区,分配的方案有 1∶1∶3 型与 1∶2∶2 型,
．．．．．．．．．．．．．．
．
．．．
．．．．．2
2
42 +…+10
= 165
.
2
解析 根据组合数的性质,可知C22 + C32 + C42 +…+C10
= C33 + C32 +
2
2
2
3
C42 +…+C10
= C43 + C42 +…+C10
= C53 +…+C10
= C11
=165.
6.(湘教版选择性必修第一册习题4.3第14题改编)有100件产品,其中有97件
不论次序地构成一组
微思考排列问题与组合问题的区别是什么?
提示 元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合.
2.排列数与组合数
是符合条件的排列的总数,是一个实数
名称
定义
公式
性质
排列数
从 n 个不同元素中取出 m
(m≤n)个元素的所有
的个数
不同排列
m
(n-2)…(n-m+1)
=n(n-1)·
A33 A44 =144(种)排法,故 C 正确;对于 D,课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在
最后一周,分 2 种情况讨论,若课程“乐”排在最后一周,有A55 种排法,若课程“乐”
不排在最后一周,有C41 C41 A44 种排法,所以共有A55 + C41 C41 A44 =504(种)排法,故 D
案有
种.
90
解析 甲、乙、丙3家公司承包了6项工程,每家公司承包2项,则不同的承
C26 C24 C22
包方案种数为
A33
× A33 =90.
考向3部分均分问题
例5(2024·湖南株洲模拟)将5名女老师和5名男老师分配到三个社区,每名
老师只去一个社区,若每个社区都必须要有女老师,且有男老师的社区至少
确;若思想政治和地理至少选一门,选法总数为C21 (C21 C21 +1),C 错误;若物理必
选,化学、生物学至少选一门,选法总数为C21 C21 +1,D 正确.故选 BD.
考点三 分组、分配问题(多考向探究预测)
考向1不等分问题
例36名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场
!
=(-m)!
= n!
0!= 1
,
组合数
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元
素的所有 不同组合 的个数
m =
=
(-1)(-2)…(- + 1)
m
=____________________
m
!
m
!
m!(-m)!
m
m-1
m = -m C,m
C+
C
=
=246(种).
5
(方法二 间接法)从 10 人中任选 5 人有C10
种选派方法,其中全是男运动员
5
的选派方法有C65 种.所以“至少有 1 名女运动员”的选派方法有C10
− C65
=246(种).
(3)(方法一 直接法)可分类求解:“只有男队长”的选派方法种数为C84 ;“只有
女队长”的选派方法种数为C84 ;“男、女队长都入选”的选派方法种数为C83 .所以
A
m-1
有 种方法.
常用结论
m-1
1.m
=(n-m+1) .
m-1
2.m
=n-1 .
3.(n+1)!-n!=n·n!.
k-1
k
4.k =n-1 .
5.m
=
m
m-1
-1
=
m
m
6.m
=
·
m.
-m
m
-1
=
-m+1 m-1
.
m
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
开设六周,则( CD )
A.某学生从中选3门,共有30种选法
B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法
C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法
D.课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有504种排法
解析 根据题意,依次分析选项:对于 A,某学生从中选 3 门,6 门中选 3 门共有
正确.故选 CD.
考点二 组合问题
例2男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加
比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)队长中至少有1人参加;
(4)既要有队长,又要有女运动员.
解 (1)分两步完成:第 1 步,选 3 名男运动员,有C63 种选派方法;第 2 步,选 2 名女
A.若任意选科,选法总数为42
B.若化学必选,选法总数为21 31
C.若思想政治和地理至少选一门,选法总数为21 21 31
D.若物理必选,化学、生物学至少选一门,选法总数为21 21 +1
解析 若任意选科,选法总数为C21 C42 ,A 错误;若化学必选,选法总数为C21 C31 ,B 正
(4)全体排成一排,男生互不相邻;
(5)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人.
解 (1)(直接法)从 7 个人中选 5 个人来排列,有A57 =2 520(种).
(2)(优先法)甲为特殊元素.先排甲,有 5 种方法,其余 6 人有A66 种方法,故共有
5× A66 =3 600(种).
(3)(捆绑法)将女生看成一个整体,与 3 名男生在一起进行全排列,有A44 种方法,
运动员,有C42 种选派方法.由分步乘法计数原理可得,共有C63 × C42 =120(种)选
派方法.
(2)(方法一
直接法)“至少有 1 名女运动员”包括以下四种情况:1 女 4 男,2 女
3 男,3 女 2 男,4 女 1 男.
由分类加法计数原理可得选派方法共有C41 C64 + C42 C63 + C43 C62 + C44 C61
D.480种
解析 先分组有C52 =10 种方案,再分配有 10× A44 =240 种方案.
2 研考点 精准突破
考点一 排列问题
例1有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数:
(1)选其中5人排成一排;
(2)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾;
(3)全体排成一排,女生必须站在一起;
题组三连线高考
8.(2022·新高考Ⅱ,5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,
若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有( B )
A.12种
B.24种
C.36种
D.48种
解析 把丙、丁看成一个元素,则(丙、丁)、乙、戊的排列共有A33 A22 =12(种)
不同的排法.又由于甲不站在两端,利用“插空法”可得甲只有C21 种不同的排法.
再将 4 名女生进行全排列,也有A44 种方法,故共有A44 × A44 =576(种).
(4)(插空法)男生互不相邻,而女生不作要求,所以应先排女生,有A44 种方法,再
在女生之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空位排男生,有A35 种方法,故共
有A44 × A35 =1 440(种).
(5)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体,第一步先排甲、乙两人有A22 种方法,
第2节 排列与组合
课标解读
1.理解排列、组合的概念.
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
3.能利用排列数和组合数公式解决一些简单的实际问题.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
一般地,从n个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列
组合
m(m≤n)个元素