苏州大学高等数学(上)课程(一)卷参考答案

苏州大学 高等数学（上）课程（一）卷参考答案 共 4 页 院系
专业
一． 1．解：2
,1y x
=
- （2分） 2
2(1)y x '=
- （3分）
2．解：原式=2211dx x ⎛⎫
+
⎪+⎝
⎭
⎰ （2分） =2arctan x x C ++ （3分） 3．解：原式=3sin sin xdx x +⎰ （1分） =2(1cos )(cos )sin x d x x --+⎰ （2分） =31
cos cos sin 3
x x x C -+++ （2分）
4．解：原式
=0x → （3分）
=x →=1 （2分） 5
．解：()()cos ()()g x f x f x f x ''= （4分）
()f x ' （1分）
6．解：原式
3310(6))++-
（4分）
= （1分） 二．
1． 解：220
1020x x x x ≠⎧⎪
-≥⎨⎪->⎩
（3分）
011(21)0x x x x ≠⎧⎪
⇒-≤≤⎨⎪->⎩
10
011
2x or x x or
x -≤<<≤⎧⎪⇒⎨><⎪⎩
1(,1]
[1,0)2
x or
x ⇒∈∈- （2分）
2．解：222
1
1122
1dy dy t t dt t dx t dt t -+====+ （3分） 222
2112241d y t
t dx t t
+==+ （2分） 3． 解：原式=420
4
(cos sin )(sin cos )x x dx x x dx ππ
π-+-⎰⎰ （3分）
=[][]2404
sin cos cos sin x x x x π
π
π
++--
=2- （2分）
4．解：()cos ,(0)1x f x e x f -''== （3分）
()cos sin ,(0)1x x f x e x e x f --''''=--=- （2分）
5． 解：原式=221
ln(1)221
x x x dx x +-+⎰
（3分） =211
ln(1)(1)221
x x x dx x +--+
+⎰ =22
1ln(1)(ln(1))222
x x x x x C +--+++ （2分） 6． 解：原式=34
25232(4)(3)lim
76x x x x →∞
-
-⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭ （4分）
=345432
63
= （1分） 三．证明：设曲线()y f x =与,,0x a x t y ===所围曲边梯形面积为()s t ， 则()()t
a s t f x dx =⎰，在[,]a
b 上连续，()0s a =，()0s b ≥。

（3分） 若()0s b =，则()0s t ≡，[],a b 上任一点均能满足结论。

否则()0s b >，由介值定理知：
(),a b ξ∃∈ 使1
()()2
s s b ξ= （3分） 四．证明：令()(1)x f x e x =-+， ()1x f x e '∴=-，
令()0f x '=得0x =， （4分） (,0)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,0]-∞上严格单调减少， (0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在[0,)+∞上严格单调增加， 0x ∴≠时()(0)0f x f >=，
即0x ≠时1x e x >+。

（4分） 五．解：()(3)(2)x x x f x e x e e x '=--=-，
令()0f x '=得2x =， （4分） ()(2)(1)x x x f x e x e e x ''=--=-， 2(2)0f e ''=-<，
2x ∴=处取极大值，为2e 。

（4分）
六．解：22
2200()()1(1)x
v dx dx x x ξ
ξξππ==++⎰⎰
=
22
22220
0(1)1()2(1)212(1)
d x x x ξ
ξ
π
ππξξ+=-=
+++⎰ （6分） lim ()2
v ξπ
ξ→+∞
∴= 令()4v a π=得：2222
1
121412
a a a a a ππ
=⇒=⇒=±++（负舍） 1a ∴= （4分） 七．解：当x Z ∈时，()f x 间断，
211122
lim lim sin cos x x x x x x ππππ→→-==-， 同理：2112
lim
sin x x x ππ
→--=， ,(1)x k Z k →∈≠±时，()f x →∞， （6分） 故1x =±处为第一类间断点，（且是可去间断点。

）
1x k =≠±处为第二类间断点，其中k Z ∈。

（2分）。