北师大高中数学必修二课时跟踪检测：第二章 解析几何初步 §1 含解析

第二章解析几何初步
§1直线与直线的方程
1.5平面直角坐标系中的距离公式
课时跟踪检测
一、选择题
1．已知两点A(0，m)，B(8，－5)之间的距离是17，则实数m的值为() A．m＝10B．m＝－10
C．m＝10或m＝－20 D．以上都不对
解析：(0－8)2＋[m－(－5)]2＝17，整理得m2＋10m－200＝0，解得m＝－20或m＝10.
答案：C
2．点(2,1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为()
A.2
5B．
25
5
C.65
5D．0
解析：d＝
|2－2×1＋2|
12＋(－2)2＝2
5
＝25
5.
答案：B
3．若直线x＋y－1＝0和ax＋2y＋1＝0互相平行，则两平行线之间的距离为()
A.
2
2B． 2
C.32
2D．
32
4
解析：由题意知，a＝2，则两直线分别为x＋y－1＝0，x＋y＋1
2
＝0，∴d＝
1
2－(－1)
12＋12＝3
22＝324.
答案：D
4．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的
值为( )
A ．－7
9 B ．－13 C ．－79或－13 D ．－7
9或1
解析：由题意知
|－3a －4＋1|
a 2＋1
＝|6a ＋3＋1|a 2
＋1
，即|3a ＋3|＝|6a ＋4|3a ＋3＝6a ＋4
或3a ＋3＝－(6a ＋4)，
解得a ＝－13或a ＝－7
9. 答案：C
5．点P (2,3)到直线：y ＋1＝a (x －10)的距离d 最大时，a 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．5
D ．2
解析：直线y ＋1＝a (x －10)恒过点(10，－1)，当(10，－1)和P (2,3)两点连线与y ＋1＝a (x －10)垂直时d 最大，所以a ·3－(－1)
2－10
＝－1，解得a ＝2.
答案：D
6．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C. 2
D ．4
解析：(x －1)2＋(y －1)2的最小值即为点A (1,1)到直线x ＋y －4＝0的距离的平方．
d 2＝⎝ ⎛⎭⎪
⎪⎫
|1＋1－4|12＋122＝2. 答案：A 二、填空题
7．点P 与x 轴及点A (－4,2)的距离都是10，则P 的坐标为________． 解析：设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
|y |＝10，(x ＋4)2＋(y －2)2＝100.
当y ＝10时，x ＝2或－10；当y ＝－10时，无解． 则P (2,10)或P (－10,10)． 答案：(2,10)或(－10,10)
8．过点(3,2)且与直线2x －y ＋3＝0平行的直线l 被两坐标轴截得的线段长为__________．
解析：设直线l 的方程为2x －y ＋m ＝0，把点(3,2)代入，求得m ＝－4，∴直线l ：2x －y －4＝0，它与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0，－4)，这两点间的距离为
(2－0)2＋[0－(－4)]2＝2 5.
答案：2 5
9．若两条平行线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为213
13，则c ＋2a 的值为________．
解析：∵两直线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0平行， ∴36＝－2a ≠－1
c ，∴a ＝－4，c ≠－2. 由两平行线间的距离公式得 |c ＋2|
62＋(－4)2＝213
13，∴|c ＋2|＝4.
∴c ＋2a ＝±4－4＝±1.
答案：±1 三、解答题
10．正方形的中心在(－1,0)，一条边所在直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三条边所在的直线方程．
解：正方形中心到边的距离d ＝3105.
设与x ＋3y －5＝0平行的一边为x ＋3y ＋C 1＝0. 则
|－1＋3×0＋C 1|12＋3
2
＝310
5， ∴C 1＝－5(舍)或C 1＝7， ∴x ＋3y ＋7＝0.
设与x ＋3y －5＝0垂直的一边为3x －y ＋C 2＝0. 则|－1×3＋C 2|12＋32＝3105.
∴C 2＝－3或C 2＝9.
∴则另外两边所在直线方程为3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0.
11．已知在△ABC 中，A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)．求△ABC 的面积． 解：设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝1
2|AB |·h . |AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝2 2. AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离． AB 边所在直线的方程为y －31－3＝x －13－1，
即x ＋y －4＝0.
点C (－1,0)到x ＋y －4＝0的距离 h ＝
|－1＋0－4|12＋12
＝5
2.
因此，S △ABC ＝12×22×5
2
＝5.
12．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使点到A (1,7)和B (0,4)的距离之和最小．
解：设点B 关于直线l 的对称点B ′(m ，n )， 则k BB ′·k l ＝－1，即n －4
m ·3＝－1， ∴m ＋3n －12＝0.
又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
m 2，
n ＋42，且在直线l 上， ∴3×m 2－n ＋4
2－1＝0，即3m －n －6＝0.
由⎩⎨⎧
m ＋3n －12＝0，3m －n －6＝0，得m ＝3，n ＝3， ∴B ′(3,3)．
于是AB ′的方程为y －73－7＝x －1
3－1，
即2x ＋y －9＝0.
由⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎨⎧
x ＝2，y ＝5， 即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)， 所以，所求点P 的坐标为(2,5)．
13．在直线l ：3x －y －1＝0上，求点P 和Q ，使得 (1)点P 到点A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)点Q 到点A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．
解：(1)如图所示，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )， 则k BB ′·k l ＝－1，即3×b －4a ＝－1，
∴a ＋3b －12＝0.①
线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2，
b ＋42，且中点在直线l 上， ∴3×a 2－b ＋4
2－1＝0，即3a －b －6＝0.② 解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．
于是直线AB ′的方程为y －13－1＝x －4
3－4
，即2x ＋y －9＝0.
解⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎨⎧
x ＝2，y ＝5，即l 与直线AB ′的交点坐标为P (2,5)，且此时点P 到点A ，B 的距离之差最大．
(2)如图所示，设点C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.
∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0， 解得直线AC ′和l 交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
117，267，
故Q 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
117，267，且此时点Q 到点A ，C 的距离之和最小．。