课件10：1.2.3 导数的四则运算法则

，
特别地当 f(x)＝1 时有g（1x）′＝ －gg′2（（xx））
．
知识2：复合函数的导数 问题导思 已知函数 y＝2x＋π6＋sin x，y＝sin2x＋π6，y＝ln(x＋2)． 这三个函数都是复合函数吗？ 答：函数 y＝sin2x＋6π，y＝ln(x＋2)是复合函数，函数 y ＝2x＋6π＋sin x 不是复合函数．
本节内容结： (1)y＝cos(2x－1)； (2)y＝2xe－x. 解：(1)y′＝－sin(2x－1)·(2x－1)′＝－2sin(2x－1)． (2)y′＝(2x)′e－x＋2x(e－x)′＝2e－x－2xe－x.
类型3：导数运算法则的综合应用
例3：求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
例 1：求下列函数的导数． (1)y＝x4－2x2－3x＋3； (2)y＝xx2＋＋33； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(4)y＝xtan x.
解：(1)y′＝(x4－2x2－3x＋3)′＝4x3－4x－3 (2)y′＝xx2＋＋33′ ＝（x＋3）′（x2＋（3）x2＋－3（）x＋2 3）（x2＋3）′ ＝－（xx22－＋63x）＋23.
(3)函数 y＝log2(1－x)可看作函数 y＝log2u 和 u＝1－x 的复 合函数， ∴ yx ＝5 yu · ux ＝5(log2u)′·(1－x)′ ＝u－ln52＝（x－15）ln 2.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合 函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的 复合函数． ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
(4)y′＝(xtan x)′＝xcsoisn xx′
＝（xsin
x）′cos
x－xsin cos2x
x（cos
x）′
＝（sin
x＋xcos x）cos cos2x
x＋xsin2x
＝sin
xcosx＋x cos2x .
变式练习 1：求下列各函数的导数：
(1)y＝xx2＋1x＋x13；
(2)y＝( x＋1) 1x－1；
当堂检测： 1．函数y＝x2·sin x的导数是( ) A．2x·sin x＋x2·cos x B．x2·cos x C．2x·cos x D．2x·sin x－x2·cos x 【解析】y′＝(x2sin x)′＝(x2)′sin x＋x2·(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. 【答案】A
复合函数的导数 y＝f(x)的导数 y′＝f′(x)又可记为：ddyx＝y′＝f′(x)．
特别是当 y＝f(u(x))是 x 的复合函数时，记号ddxy明确表 示对 x 求导数，它和dduy是不同的，两者的关系是
__dd_yx_＝__d_du_y_·__dd_ux__________．
类型1：应用导数的运算法则求导
又 y′＝3x2－6x＋2， ∴k＝ y xx0 ＝3x20－6x0＋2. 又 k＝yx00，∴3x02－6x0＋2＝yx00＝x02－3x0＋2， 整理得 2x02－3x0＝0. ∵x0≠0，∴x0＝32， 此时 y0＝－38，k＝－14. 因此直线 l 的方程为 y＝－14x，切点坐标为32，－38.
∴y′＝x－12sin x′＝x′－12(sin x)′＝1－12cos x.
(4)y′＝（x2）′sin
x－x2·（sin sin2x
x）′
＝2xsin
x－x2cos sin2x
x .
类型2：复合函数的导数 例 2：求下列函数的导数：
(1)y＝e2x＋1； (2)y＝（2x－1 1）3； (3)y＝5log2(1－x)； (4)y＝sin3x＋sin 3x.
4．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直 线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及 切点坐标． 解：∵直线 l 过原点， ∴直线 l 的斜率 k＝yx00(x0≠0)， 由点(x0，y0)在曲线 C 上，得 y0＝x30－3x02＋2x0， ∴yx00＝x20－3x0＋2.
1.2.3 导数的四则运算法则
学习目标 1．能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函 数的导数，理解并掌握复合函数的求导法则． 2．掌握运用导数的运算法则和导数公式来求复合函数的导数． 3．通过利用导数方法解决实际问题，体会导数在现实生活中的 应用价值，提高数学应用能力．
重点难点 重点：导数的四则运算法则，复合函数的求导方法． 难点：导数的四则运算法则的应用和正确分析复合函数 的复合过程．
(3)法一 y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)· (x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11. 法二 ∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11.
解：(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的 复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数 y＝（2x－1 1）3可看作函数 y＝u－3 和 u＝2x－1 的 复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′ ＝－6u－4＝－6(2x－1)－4 ＝－（2x－6 1）4.
解：设 P(x0，y0)为切点，
则切线斜率为 k＝ y xx0 ＝3x20－2.
故切线方程为 y－y0＝(3x20－2)(x－x0)．
①
∵(x0，y0)在曲线上，
∴y0＝x30－2x0.
②
又∵(1，－1)在切线上，
∴将②式和(1，－1)代入①式得
－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．
解得 x0＝1 或 x0＝－12. 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－54(x－1)，
即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0.
变式练习3：若将本例改为求曲线y＝x3－2x在点A(1，－1) 处的切线方程，结果会怎样？ 解：∵y′＝3x2－2，∴y′|x＝1＝1. ∴曲线在点A处的切线方程为y＋1＝x－1， 即x－y－2＝0.
导数的运算法则
1．函数和(或差)的求导法则
f（x）±g（x）′＝ f′(x)±g′(x)
．
2．函数积的求导法则 (1)[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ． (2)[Cf(x)]′＝ Cf′(x) ．
3．函数商的求导法则
gf（（xx））′＝ g（x）f′（xg）2（－xf）（x）g′（x）(g(x)≠0)
2．设 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值等于( )
19
16
13
10
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3
【解析】∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝130.
【答案】D
3．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原 点，则α＝________． 【解析】因为y′＝α·xα－1， 所以在点(1，2)处的切线斜率k＝α， 则切线方程为y－2＝α(x－1)． 又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2. 【答案】2
知识1：导数运算法则
问题导思 已知f(x)＝x，g(x)＝lnx，φ(x)＝5. 1．试求f′(x)，g′(x)，φ′(x)．
答：f′(x)＝1，g′(x)＝1x，φ′(x)＝0.
2．如何求函数 Q(x)＝x＋ln x，H(x)＝x－ln x，M(x)＝xln x， N(x)＝lnxx，K(x)＝5ln x 的导数． 答：Q′(x)＝1＋1x，H′(x)＝1－1x，M′(x)＝ln x＋1， N′(x)＝1－xl2n x，K′(x)＝5x.
(3)y＝x－sin
x 2cos
2x；
(4)y＝sixn2 x.
解：(1)∵y＝x3＋1＋x12，
∴y′＝3x2－x23.
(2)化简得 y＝
x·
1－ x
x＋
1x－1＝－
1
x2
＋
1
x2
，
∴y′＝－12
x
1 2
－12
x
3 2
＝2－1x1＋1x.
(3)∵y＝x－sin
x 2cos
2x＝x－12sin x，