安徽省宿州市高三数学第三次教学质检测试(理) 新人教版

安徽省宿州市2010年高三第三次教学质量检测数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，） 1、若z 是复数，且()13=+i z (i 为虚数单位)，则z 的值为 ( ) A ．i +-3
B.i --3
C.i +3
D.i -3
2、集合{}Z x x x A ∈≤+=,21,{}
11,3≤≤-==x x y y B ，则=B A ( ) A ．(]1,∞-
B.[]1,1-
C.φ
D.{}1,0,1-
3、已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为( ) A ． 22x x S
S
<<乙甲，乙甲
B. 22x x S
S
<>乙甲，乙甲
C. 22x x S S >>乙甲，乙甲
D. 22x x S S ><乙甲，乙甲 4、下列说法正确的是（ ）
A ．命题“存在x ∈R ，2
13x x +>”的否定是“对任意x R
∈， 2
13x x +<”
B.在空间，m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，
若αβ⊥，n αβ=，
m n ⊥，则m β⊥
C. 若函数[]1112)(，a ax x f --+=在 上有零点，则实数a 的取值范围是(
3
1
，1) D.用最小二乘法求得的线性回归方程
y bx a =+一定过点(,)x y
5、已知二次曲线]1,2[,142
2--∈=+m m
y x 则当时，该曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．]3,2[
B. ]6,5[
C. ]2
6
,25[
D. ]2
6,23[
6、若将函数()⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=6sin πωx A x f (,0>A 0>ω)的图像向左平移6π
个单位得到的图像关
于y 轴对称，则ω的值可能为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
乙 甲
8 6 4 3 1 5 8 6 3 2 4 5
8 3 4
9 4
5 0
1 3 1 6 7 9
7、右图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A.248+ B.288+
C.244+
D.224+
8、在数列{}n a 中，已知1+n a +1-n a =n a 2(n +∈N ,2≥n )，若平面上的三个不共线的非零向量
OC OB OA 、、，满足OB a OA a OC 10061005+=，三点A 、B 、C 共线, 且直线不过O 点，则2010
S 等于（ ）
A.1005
B.1006
C.2010
D.2011
9、已知点(,)P x y 的坐标x ，y
满足020y x y -+⎨⎪⎪⎩
≤≥≥0，则x y x 422-+的取值范围是（ ）
A.[0,12]
B.[1,12]-
C. [3,16]
D. [1,16]-
10、过正三棱台的任意两个顶点的直线有15条，其中异面直线有（ ）对
A.12
B.24
C. 36
D.48
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11、在极坐标系下，直线2)4
cos(=-π
θρ 与曲线2ρ=的
公共点个数是 . 12、如果2
2
(sin 1)n x dx -=
+⎰
，则(12)(1)n x x +-展开式中
2x 项的系数为 .
13、给出右面的程序框图，那么输出的结果是 .
14、已知各项都是正数的等比数列{}n a 满足：7652a a a =+， 若存在两项,m n a a
14a =，则14
m n
+的最小值为 . 15、下列命题：
①四面体一定有外接球; ②四面体一定有内切球；③四面体任三个面的面积之和大于第四个
面的面积；④四面体的四个面中最多有三个直角三角形；⑤四面体对棱中点的连线与另外四条棱异面.其中真命题的序号是___________（填上所有真命题的序号）．
i S ⋅i
S S ⋅=
12
2
2
2
2
2
主视图
俯视图
左视图
三、解答题：（本大题共6个小题，共75分，解答须写出说明、证明过程和演算步骤） 16、（本小题满分12分）
在△ABC 中，c b a 、、分别为角C B A 、、的对边，已知向量)cos 1,(sin B B m -=与向量)1,0(= 的夹角为
6
π
， 求：（I ） 角B 的大小； （Ⅱ） b
c
a +的取值范围. 17、（本小题满分12分）
宿州市教育局举行科普知识竞赛，参赛选手过第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，第三个问题回答正确得20分，若回答错误均得0分，总分不少于30分为过关。

如果某位选手回答前两个问题正确的概率都是
5
4
，回答第三个问题正确的概率是5
3
，且各题回答正确与否互不影响，记这位选手回答这三个问题的总得分为X. （I ）求这位选手能过第一关的概率； （Ⅱ）求X 的分布列及数学期望. 18、（本小题满分12分）
如图，五面体11B BCC A -中，41=AB ．底面ABC 是正三角形，2=AB ．四边形
11B BCC 是矩形，平面ABC ⊥平面11B BCC
（I ）求这个几何体的体积；
（Ⅱ）D 在AC 上运动，问：当D 在何处时，有1AB ∥平面
1BDC ，请说明理由；
（III ）求二面角11B AC C --的余弦值．
A
B
C D
1B 1C
19、（本小题满分12分）
已知抛物线C ：θθθsin 2cos 4
9
cos 234122++-=
x x y )(R ∈θ （I ）当θ变化时，求抛物线C 的顶点的轨迹E 的方程；
（II ）已知直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交（I ）中轨迹E 于A 、B 两点，若
2=,求直线l 的方程.
20、（本小题满分13分）
对于给定数列{}n c ，如果存在实常数p 、q ,使得1n n c pc q +=+ 对于任意n +∈N 都成立，我们称数列{}n c 是 “线性数列”．
（I ）如果n a n 2=，32n n b =⋅，n +∈N ，那么数列{}n a 、{}n b 是否为“线性数列”？ 若是，分别指出它们对应的实常数p 、q ；若不是，请说明理由； （II ）若数列{}n a 满足12a =，132()n n n a a t n N +++=⋅∈，t 为常数． ① 求数列{}n a 前2009项的和；
② 是否存在实数t ，使数列{}n a 是“线性数列”，如果存在，求出所有t 的值；如果不存在，请说明理由. 21．（本题满分14分）
设函数21
321
()().3
x f x x e
x x x -=--∈R （I ）求函数的单调区间；
（II ）求()y f x =在[0，a ](0)a >上的最小值； （III ）当(1,)x ∈+∞时，证明：对任意n +∈N
安徽省宿州市2010年高三第三次教学质量检测
数学试题(理科)参考答案
一、选择题： BDDDC AAABC
二、填空题：
11．2 12．2- 13．72 14．2
3
15．①②③⑤ 16、解：（I ）∵6
cos
1)cos 1(sin cos 122π
⨯⨯-+=
-=∙B B B n m
2
3cos 22cos 1⨯
-=-B B 23cos 1=-B , ∴21
cos -=B
∵π<<B 0 ∴3
2π
=
B . ………………………6分 （II ）由正弦定理得，
)]3sin([sin 3
2sin sin sin A A B C A b c a -+=+=+π
)3sin(3
2)sin 21cos 23(sin 3
2π
+=-+
=
A A A A ∵3
0π
<
<A ， ∴
323
3
ππ
π
<
+
<A ， ∴
1)3
sin(23≤+<π
A ， ∴3321≤+<
b c a ，故b c a +的取值范围是(1,
3
3
2]…………12分 17、解：（Ⅰ）设“这位选手能过关”为事件A ， 则P(A)=P(X=30)+P(X=40) =5351541
2⨯⨯⨯
C +535454⨯⨯=125
72
.……5分 （II ）X 可能取值为0，10，20，30，40. 分布列为
EX=0⨯125+10⨯125+20⨯125+30⨯125+40⨯125
=28. …………12分
18、解: （I ）显然这个五面体是四棱锥11B BCC A -，因为侧面11B BCC 垂直于底面ABC ，
所以正三角形ABC
的高h =11B BCC A -的高，又41=AB ，2=AB ，
所以1BB =于是 1
1
1
113
A BCC B
BCC B V S h -⨯=四棱锥
矩形1234⨯==.…………4分
（Ⅱ）当D 为AC 中点时,有1AB ∥平面1BDC ．
证明:连结，于交O BC C B 11连结DO ， ∵四边形11B BCC 是矩形 ∴O 为C B 1中点, ∵1AB ∥平面1BDC ，
且⊄1AB 平面1BDC ,
⊂DO 平面1BDC
∴DO ∥1AB ，∴D 为AC 的中点．…………8分 （III ）建立空间直角坐标系xyz B -如图所示, 则)0,1,3(A ,)0,2,0(C ,)32,2,0(1C
,1B ,
所以1(1AB =-,11(0,2,0)BC =
,(,0)AC =
, 1CC = , 设1(,,)n x y z =为平面11B AC 的法向量,
则有1111120
30
B C n y AB n y ⎧⋅=⎨
⋅=--+=⎩,令1=z ,
可得平面11B AC 的一个法向量为1(2,0,1)n =, 设2(,,)n x y z =为平面1ACC 的法向量, 则有1122230
30
C C n AC n y ⎧⋅
==⎨
⋅=-+=⎩ ,
令1x =-, 可得平面1ACC 的法向量2(1,n =-，
12121
2
cos ,5n n n n n n ⋅<>=
=
⋅=所以二面角11B AC C --的余弦值为12分 A
B
C
D O
1B
1C
注:本题也可以不建立坐标系，解法从略，请按三小题分值给分
19．（I ）将抛物线方程配方得()θθsin 2cos 34
1
2+-=
x y ， 设抛物线的顶点为()00,y x p , 则⎩⎨⎧==θ
θ
sin 2cos 300y x ， 消去θ得1492020=+y x . 故抛物线C 的顶点P 的轨迹E 的方程:
14
9
22=+
y x . ………………5分
（Ⅱ）由02422=-++y x y x 得圆心M(-2,1),
∵AM AB 2=∴M 是AB 的中点, 易得直线l 不垂直x 轴, 可设l 的方程为()12++=x k y ,代入轨迹E 的方程得: ()()
02736361836942222=-+++++k k x k k x k ，
设()11,y x A ,()22,y x B , 则2221941836k k
k x x ++-=+，
∵M 是AB 的中点, ∴49418362
2-=++-k
k
k , 解得k=98. ∴直线l 的方程为()129
8
++=
x y ， 即89250x y -+=………12分 20、解：（I ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*
N n ∈，
故数列{}n a 是“线性数列”， 对应的实常数p 、q 分别为1,2.
因为32n
n b =⋅，则有12n n b b += , *
N n ∈
故数列{}n b 是“线性数列”， 对应的实常数p 、q 分别为2,0………4分 （II ）（1）因为 *132(N )n n n a a t n ++=⋅∈ 则有22332a a t +=⋅，4
4532a a t +=
⋅
20062006200732a a t +=⋅，20082008200932a a t +=⋅
故数列{}n a 前2009项的和
2009S =1a +()23a a ++()45a a ++
+()20062007a a ++()20082009a a +
()24200620082010232323232224t t t t t =+⋅+⋅+
+⋅+⋅=+-……………8分
注：本题也可以先求出1
)
1()1(22--⋅-+⋅=n n
n t t a ，然后求和.
（2）假设数列{}n a 是“线性数列”， 则存在实常数,p q
使得1n n a pa q +=+对于任意*N n ∈都成立，于是21n n a pa q ++=+对于任意*
N n ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*
N n ∈都成立，
而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，
1*1232(N )n n n a a t n ++++=⋅∈
则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*
N n ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==. ①当2,0p q ==时，12n n a a +=，2n n a =，1t =，经检验满足条件. ②当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件. 因此当且仅当1t =或0t =，时，数列{}n
a 也是“线性数列”.
对应的实常数分别为2,0, 或1,0-． …………………………………13分 21．解：（I ）12121()22(2)(1)x x x f x xe x e x x x x e ---'=+--=+-…………2分
令123()0,2,0,1f x x x x '==-==可得
函数()y f x =的增区间为(2,0)(1,),-+∞和
∞减区间为(-,-2)和(0,1)…………5分
（II ）①当01,'()0a f x <≤<时， )(x f 在],0[a 上递减，
3
)1()()(3
1
2min a e
a a f x f a --==∴-.
②当1>a 时，由（I ）知3
1
)1()(min -
==∴f x f )(x f ∴在],0[a 上的最小值是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<--=∴-)1(,3
1)10(,3)1()(3
12min a a a e a x f a ………………8分 （III ）设1
11(),1,()0!
n
x x n x g x e
n g x e x n --=-==->当时只需证明
111
1(1,),()10,()(1,),
x x x g x e g x e
x --'∈+∞=->=-+∞当时所以在上是增函数
011()(1)10,x g x g e e x -∴>=-=>即；……………………… 10分
1
1
111011(1,),()0,!
1,(1)()0,(1)!!
()(1,)11
()(1)10
(1)!(1)!
k
x k k k x x k
k k k x x n k x e k n k k x e g x e e k k g x g x g e k k ---++++∈+∞==->=++'=-=->++∞>=-
=->++当时假设时不等式成立,即g 当时因为所以在上也是增函数所以
即当1n k =+时，不等式成立。

所以当(1,)x ∈+∞时，1
,!
n x x n e n -+∀∈>N ………………14分。