江阴市江阴二中选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测(有答案解析)

一、选择题
1．已知函数(),0,
,0.lnx x f x kx x >⎧=⎨≤⎩
，若0x R ∃∈使得()()00 f x f x -=成立，则实数k 的取
值范围是（ ） A ．(],1-∞
B ．1,e
⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．[)1,-+∞
D ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
2．已知函数222,0
()11,0
x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．222,1⎡⎤-⎣⎦
B ．(],1-∞
C ．()
222,0-
D ．222,0⎡⎤-⎣⎦
3．函数
tan 22tan y x x =-4
2x π
π⎛⎫<< ⎪⎝⎭的最大值为（ ）
A ．33-
B ．3
C ．0
D ．3-
4．若函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2
π
上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤-
B ．2a ≤
C ．1a ≥-
D ．1a ≤
5．已知()2
1ln (0)2
f x a x x a =+
>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()
1212
2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．(]0,1
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．[)1,+∞
6．已知函数()2
ln 1
f x x x =
--，则()y f x =的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫
' ⎪⎝⎭
的值为（ ） A ．0
B ．
6
π
C ．
3
π D ．π
8．函数()22
x
x f x e
-=的图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
9．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)16f =，且()f x 的导函数'()41f x x <-，则不等式2
()21f x x x <-+的解集为（ ） A ．{}|33x x -<< B ．{}|3x x >- C ．{}|3x x >
D ．{|3x x <-或3x
10．已知函数()[]1sin ,0,3f x x x x π=-∈且[]001cos ,0,3
x x π=∈那么下列命题中真命题的序号是（ ）
①()f x 的最大值为()0f x ； ②()f x 的最小值为()0f x ； ③()f x 在上[]0,π是减函数； ④()f x 在上[]0,x π上是减函数. A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
11．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（ ） A ．()()21ln 2f f -<
B ．()()21ln 2f f ->
C ．()()211f f -<
D ．()()211f f ->
12．已知定义在[
),e +∞上的函数()f x 满足()()ln 0f x xf x x '+<且()40f =，其中f
x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（ ）
A ．[),4e
B ．[)4,+∞
C ．(),e +∞
D ．[
),e +∞
二、填空题
13．函数y x b =+的图象与函数
12
2y x =的图象有且仅有一个公共点，则实数b 的取值范围为_________.
14．()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()f x '是导函数，且满足
()2()0xf x f x '->，若()f x 是偶函数，()11f =，则不等式()2f x x >的解集为
__________.
15．已知k 为常数，函数2
,0()1ln ,0x x f x x x x +⎧≤⎪
=-⎨⎪>⎩
，若关于x 的函数()()2g x f x kx =--有
4个零点，则实数k 的取值范围为________.
16．若函数()ln a
f x x x
=+（a 为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a 的取值范围是________.
17．如图，C 、D 是两所学校所在地，C 、D 到一条公路的垂直距离分别为
8,27CA km DB km ==.为了缓解上下学的交通压力，决定在AB 上找一点P ，分别向C 、D
修建两条互相垂直的公路PC 和PD ，设02APC πθθ⎛⎫
∠=<< ⎪⎝
⎭
，则当PC PD +最小时，AP =_______km .
18．若函数()ln 3f x a x ax =-+在区间1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭
内的图像上存在两点，使得在该点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围为________. 19．在二维空间中，正方形的一维测度（周长）（为正方形的边长），二维测度
（面积）；在三维空间中，正方体的二维测度（表面积）
（为正方形的边
长），三维测度（体积）
；应用合情推理，在四维空间中，“超立方”的三维测度
，则其四维测度__________．
20．已知函数()f x 的导函数为
'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)=f ________
三、解答题
21．已知函数()ln f x x ax b =-+的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=. （1）求a 和b 的值；
（2）对0x ∀>，()e 3x
f x x x m ≤-+成立，求实数m 的取值范围．
22．已知函数()ln f x x x =，()2
()g x x ax a R =+∈.
（1）设()f x 图象在点()1,0处的切线与()g x 的图象相切，求a 的值； （2）若函数2()()()f x F x g x x =
+存在两个极值点1x ，2x ，且123
2
x x -≤，求()()12F x F x -的最大值.
23．某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。

为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后
旅游增加值y 万元投入()10x x ≥万元之间满足：21ln 25
x
y ax bx =
+-（a ，b 为常数），当10x =万元时，17.7y =万元；当15x =万元时，25y =万元.（参考数据：
ln 20.7,ln3 1.1,ln5 1.6===）
（1）写出该景点改造升级后旅游增加利润()L x 万元与投入x 万元的函数解析式；（利润=旅游增加值－投入）
（2）投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润是多少万元？（精确到0.1） 24．设函数()()2
ln 2f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈
（1）若曲线()y f x =在点()()
22f ，处切线的斜率为1，求a 的值;
（2）已知导函数()f x '在区间()1
e ，上存在零点，证明:当()1,x e ∈时，()2
f x e >-. 25．设()1,,54m h x x x x ⎡⎤
=+
∈⎢⎥⎣⎦
，其中m 是不等于零的常数， （1）写出()4h x 的定义域； （2）求()h x 的单调递增区间； 26．已知函数32()21f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）是否存在a ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a 的所有值；若不存在，说明理由.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由已知建立方程，反解出k ，将问题转化为求函数值域问题，然后利用函数的性质求出最值即可求解. 【详解】
由题意可得：存在实数0
0x ≠，使得()()00 f x f x -=成立，
假设00x >，则00x -<， 所以有00ln kx x -=， 则0
ln x k x =-
， 令()ln x
h x x
=-， 则()2
ln 1
x h x x
-'=
， 令()0h x '>，即ln 1x >， 解得x e >，
令()0h x '<，即ln 1x <， 解得0x e <<，
则()h x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增， 所以()()()ln 1
min e h x h x h e e e
≥==-=-， 所以1
k e
≥-， 故选：D. 【点睛】
关键点睛：本题考查了分段函数的存在性问题，构造函数，利用导函数求最值是解决本题的关键.
2．A
解析：A 【分析】
作出函数()f x 的图象，利用数形结合的思想判断a 的范围，找出临界点即相切时a 的取值，进而得出a 的范围． 【详解】
作出()f x 的图象，如图，
由图象可知： 要使()f x ax 恒成立，
只需函数()g x ax =的图象恒在图象()f x 的下方， 可得1a ，
设()g x ax =与函数2()22(0)f x x x x =++相切于点(),(0)P m n m <， 由()f x 的导数为22x +，可得切线的斜率为22m +， 即有22a m =+，222am m m =++， 解得2m =-，222a =-由图象可得222a -，
综上可得a 的范围是[22-1]． 故选：A 【点睛】
解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.
3．A
解析：A 【分析】
化简可得32
2tan 1tan x
y x
=-，令tan t x =，()1,t ∈+∞，则3221t y t =-，求出函数导数，利用导数判断函数的单调性即可求出最值. 【详解】
可得3222tan 2tan tan 22tan 2tan 1tan 1tan x x
y x x x x x =-=-=
--， 令tan t x =，则()1,t ∈+∞，则3
2
21t y t
=-， 则()()
()
()
()
223222
2
2261222311t t t t t t y t
t --⨯--'=
=
--，
当(t ∈时，0y '>，函数单调递增，
当)
t ∈+∞时，0y '<，函数单调递减，
所以当t =
时，(
)
3
max 2
21y ⨯
=
=--.
故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键是利用换元法将函数化为3
2
21t y t =-，
然后利用导数讨论其单调性即可求出最值.
4．C
解析：C 【分析】
利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数a 的取值范围． 【详解】 解：函数sin ()cos x a
f x x
+= 则2cos cos sin (sin )
()x x x x a f x cos x
++'=
(0,)2
x π
∈上，
2cos 0x ∴>
要使函数sin ()cos x a f x x +=
在区间(0,)2
π
上单调递增， 2
2
cos sin sin 0x x a x ∴++≥在(0,
)2
x π
∈上恒成立，
即：sin 10a x +≥在(0,)2
x π
∈上恒成立，
(0,)2
x π
∈上，
sin (0,1)x ∈
1a ∴-
故选：C ． 【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
5．D
解析：D 【分析】
根据条件
()()1212
2f x f x x x ->-可变形为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，构造函数()2
1()2ln ()202
g x f x x a x a x x =-=+
>-，利用其为增函数即可求解. 【详解】 根据
1212
()()2f x f x x x ->-可知
112212()2[()]
20f x x f x x x x --->-， 令()2
1()2ln ()202
g x f x x a x a x x =-=+
>- 由
112212
()2[()]
20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数， 所以()()'200,0a
g x x x a x
=
+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，
而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题由条件
()()
1212
2f x f x x x ->-恒成立，转化为112212
()2[()]
20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键，再根据此式知函数
()2
1()2ln ()202
g x f x x a x a x x =-=+
>-为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题. 6．A
解析：A 【分析】
利用函数的定义域和函数的值域排除BD ，通过函数的单调性排除C ，推出结果即可. 【详解】
令()ln 1g x x x =--，则11()1x g x x x
-'=-
=， 由()0g x '>得1x >，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增， 由()0g x '<得01x <<，即函数()g x 在(0,1)上单调递减， 所以当1x =时，()()min 10g x g ==，
于是对任意(0,1)
(1,)x ∈+∞，有()0g x >，则()0f x >，故排除BD ，
因为函数()g x 在()0,1单调递减，则函数()f x 在()0,1递增，故排除C. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用导数对函数图象辨别，属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
先对函数()f x 求导，采用赋值的方式计算出()0f '的结果，由此计算出6f π⎛⎫
' ⎪⎝⎭
的值. 【详解】
因为()()20sin 1f x x f x ''=-+，所以令0x =，则()01f '=， 所以()2sin 1f x x x '=-+，则66
f ππ
⎛⎫'= ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】
本题考查导数中的计算，采用赋值法求解出函数解析中的未知量是解答的关键，难度一般.
8．D
解析：D 【分析】
利用函数()f x 的奇偶性和单调性确定正确选项. 【详解】
()f x 的定义域为R ，()()22
x x f x f x e
--==，所以()f x 为偶函数，排除AB 选项.
当0x >时，()22
x
x f x e -=， ()2'
22
x
x x f x e -++=
，令'
0f x 解得1x =，
所以()f x 在()
1递增，在)
1,+∞上递减.
所以C 选项不符合，D 选项符合. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数研究函数的单调性.
9．C
解析：C 【分析】
根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，则原不等式可以转化为()()3g x g <，结合函数的单调性分析可得答案． 【详解】
解：根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，其导数()()41g x f x x '='-+， 又由()41f x x '<-，即()410f x x '-+<， 则()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，
又由f （3）16=，则g （3）f =（3）18310-+-=， ()()22()21()2103f x x x f x x x g x g <-+⇒-+-<⇒<，
又由函数()g x 为减函数，则有3x >，
则不等式2
()21f x x x <-+的解集为{|3}x x >； 故选：C ． 【点睛】
本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．
10．B
解析：B 【解析】
本题考查导数及函数的最值、单调性 由()1sin 3f x x x =-得()/1cos 3
f x x =- 令()/
1cos 03f
x x =-
=有1cos 3
x =；因为01cos 3x =，则0x 为函数()1sin 3f x x x =-的一个极值点.
当[]0,x π∈时，函数cos y x =递减，所以当()00,x x ∈时()/
0f x >，函数递增，则③
错误，；当()0,x x π∈时()/
0f
x <，函数递减，④正确．
故0x 是函数的一个极大值点且唯一，故此点也是最大值点，①正确，②错误. 故正确答案为①④ 所以本题选B
11．B
解析：B 【解析】
分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'
1f x lnx x
='>
，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()1
10xf x g x f x x x
-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论．
详解：令()(),0g x f x lnx x =->，
∴()()()1
1xf x g x f x x x
=
''-'-=， ∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，
∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->． 故选B ．
点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．
12．A
解析：A 【分析】
根据条件构造函数()()g x f x lnx =，求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式
()0f x >等价为()()4g x g >，进行求解即可．
【详解】 解：
x e ，1lnx ∴，
则不等式()()0f x xf x lnx '+<等价为()
()0f x f x lnx x
'+<， 设()()g x f x lnx =， 则()
()()0f x g x f x lnx x
'='+
<， 即()g x 在[e ，)+∞上为减函数，
f （4）0=，
g ∴（4）f =（4）40ln =，
则不等式()0f x >等价为()0lnxf x >， 即()()04g x g >=，
()g x 在[e ，)+∞上为减函数，
4e x ∴<，
即不等式()0f x >的解集为[e ，4)， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查不等式 的求解，根据条件构造函数，通过导数研究函数的单调性是解决本题的关键．属于中档题．
二、填空题
13．【分析】根据幂函数的性质作出的图象数形结合即可求解【详解】由幂函数的性质作出的图象由图知当直线与的图象相切时只有一个公共点由得设切点则解得所以切点为因为切点在切线上所以解得符合题意当直线过点时此时有 解析：(,0){1}-∞
【分析】
根据幂函数的性质作出
1
22y x =的图象，数形结合即可求解. 【详解】
由幂函数的性质作出12
2y x =的图象，由图知当直线y x b =+与1
22y x =的图象相切时，
只有一个公共点，由1
2
2y x =得12122y x x
-'=⨯=， 设切点()00,x y 则00
|1x x y x ='=
=，解得01x =，所以02y =，切点为()1,2， 因为切点在切线y x b =+上，所以21b =+，解得1b =符合题意，
当直线y x b =+过点()0,0时0b =，此时有2个交点，由图知0b <时有一个交点， 故答案为：(,0){1}-∞ 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是根据幂函数的性质作出1
22y x =的图象，然后作y x =，当
y x b =+与曲线相切时有一个公共点，利用切点处的导函数值等于1，求出b 的值，当直
线y x b =+过原点时有两个公共点，此时0b =再向下平移有一个公共点，可得0b <.
14．【分析】构造函数分析出函数为偶函数且在上为增函数将所求不等式变形为可得出可得出由此可解得原不等式的解集【详解】构造函数该函数的定义域
为由于函数为偶函数则所以函数为偶函数当时则所以函数在上为增函数可得 解析：()
(),11,-∞-+∞
【分析】 构造函数()()
2
f x
g x x =
，分析出函数()g x 为偶函数且在()0,∞+上为增函数，将所求不等式变形为()()1g x g >，可得出()
()1g x g >，可得出1x >，由此可解得原不等式的解集. 【详解】 构造函数()()
2
f x
g x x =
，该函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 由于函数()f x 为偶函数，则()()
()
()
()2
2
f x f x
g x x x g x --==-=
，所以，函数()g x 为偶函数.
()()()()()243
22x f x xf x x f x f x g x x x
''⋅-⋅-'==， 当0x >时，()2()0xf x f x '->，则()0g x '>，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，
()11f =，可得()()21111f g =
=，由()2
f x x >可得()2
1f x x
>，即()()1g x g >， 所以，()
()1g x g >，1x ∴>，解得1x <-或1x >. 因此，不等式()2
f x x >的解集为()
(),11,-∞-+∞.
故答案为：()(),11,-∞-+∞.
【点睛】
方法点睛：该题主要考查利用导数求解函数不等式，在解题的过程中，思路如下： （1）构造函数，利用导数，结合已知条件，判断函数的单调性与奇偶性； （2）根据题中所给的函数零点，判断函数值符号，可得出不等式，求解即可.
15．【分析】将x 的函数有4个零点转化为与有4个不同的交点然后利用数形结合法求解【详解】因为函数有4个零点所以与有4个不同的交点在同一坐标系中作出与的图象如图所示：当时单调递减与有一个交点则；所以当时有3
解析：310,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
将x 的函数()()2g x f x kx =--有4个零点，转化为()y f x =与2y kx =+有4个不同的交点，然后利用数形结合法求解. 【详解】
因为函数()()2g x f x kx =--有4个零点， 所以()y f x =与2y kx =+有4个不同的交点，
在同一坐标系中作出()y f x =与2y kx =+的图象，如图所示：
当0x ≤时，3
11
y x =+
-单调递减， 与2y kx =+有一个交点，则0k >； 所以当0x >时，有3个交点，
求出2y kx =+与|ln |y x =相切时的k 值， 当1x >时，设切点为()00,ln x x ， 所以1
y x '=
，则0
1k x =，
所以切线方程为()000
1
ln y x x x x -=-， 又因为点()0,2在切线上， 所以则()000
1
2ln 0x x x -=
-， 解得3
0x e =，
所以3
1k e =， 由图像知()()2g x f x kx =--有4个零点，
则3
10k e <<
， 故答案为： 310,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】
方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
16．【分析】首先设切点坐标利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率从而可得将问题转化为与存在两个不同的交点通过导数研究的图象从而得到的取值范围【详解】由题意得的定义域为且设切点坐标为则过原点
解析：102⎛⎫
⎪⎝⎭
，
【分析】
首先设切点坐标000,ln a x x x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的
斜率，从而可得0002ln a x x x =-，将问题转化为2y a =与ln y x x x =- 存在两个不同的交点，通过导数研究()g x 的图象，从而得到a 的取值范围. 【详解】
由题意得()f x 的定义域为()0+∞，
，且()21a
f x x x
'=-，设切点坐标为0000,ln ,0a x x x x ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭，则过原点的切线斜率002
000ln 1a x x a k x x x +==-，整理得0002ln ,a x x x =-存在两条过原点的切线，∴0002ln a x x x =-存在两个不同的解.设
()ln g x x x x =-，则问题等价于2y a =于()y g x =存在两个不同的交点，又
()1ln 1ln ,g x x x =--=-'∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当()1,x ∈+∞ 时，()0g x '<，()g x 单调递减，()()max 11g x g ∴==.又当0x →时，()0g x →；当x →+∞时，()-g x →∞，若2y a =于()y g x =存在两个不同的交点，
则021a <<.解得10,2a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
. 故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
关键点点睛：一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解：
直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；
分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解；
数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻求找“临界”情况，特别注意边界值的取舍；
17．12【分析】由题意得：再利用导数求函数的最小值即可；【详解】由题意得：当时当得：当得：当时取得最小值故答案为：12【点睛】利用导数求函数
的最值注意不一定要把的值求出直接利用复合函数的性质可简化计算量
解析：12 【分析】 由题意得：827
sin sin cos sin()2
AC DB y PC PD πθθθθ=+=
+=+
-，再利用导数求函数的最
小值即可； 【详解】 由题意得：
827
sin sin cos sin()2
AC DB y PC PD πθθθθ=+=
+=+
-，
33'
228cos 27sin sin cos y θθθθ
-=-
，当'
0y =时，2tan 3θ=， 当'
0y >得：2tan 3θ>
，当'
0y <得：2tan 3
θ<， ∴当2
tan 3
θ=
时，y 取得最小值， ∴8
12
2
tan 3
AC AP θ=
==， 故答案为：12. 【点睛】 利用导数求函数的最值，注意不一定要把θ的值求出，直接利用复合函数的性质，可简化计算量.
18．【分析】先求导数再根据导数几何意义列方程根据取值范围得结果【详解】设存在两点满足在该点处的切线相互垂直则因为所以从而或故答案为：【点睛】本题考查导数几何意义利用导数研究存在性问题考查综合分析求解能力
解析：22
(,)(,)33
+∞-∞-
【分析】
先求导数，再根据导数几何意义列方程，根据取值范围得结果. 【详解】
()()ln 3a
f x a x ax f x a x
'=-+∴=
- 设存在两点()112212,,(,),()A x y B x y x x <满足在该点处的切线相互垂直， 则21212111
(
)()1(1)(1)0a a a a x x x x a
--=-∴--=-<
因为121,,44x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()121,1,1,44x x ⎛⎫
∈∈ ⎪⎝⎭
从而
121131(0,3),1(,0)4
x x -∈-∈- 2212111942(1)(1)(0,)493a a a x x ∴
=--∈∴>∴>或23
a <- 故答案为：2
2(,)(,)33
+∞-∞-
【点睛】
本题考查导数几何意义、利用导数研究存在性问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．12a4【解析】【分析】依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度）从而得到W=2a3从而得到W=12a4【详解】在二维空间中二维测度S=a2与一维测度（周 解析：
【解析】 【分析】
依据类比推理得到不同维度空间中两个测度具有一定的关系（高维测度的导数的两倍为低维测度），从而得到，从而得到
．
【详解】
在二维空间中，二维测度与一维测度（周长）的关系是
；
在三维空间中，三维测度
与二维测度
的关系是
，
故在四维空间中，若“超立方”的三维测度，则其四维测度满足
，
所以
，故
（为常数），
类比各个维度测度的解析式的形式可得，
故，填
．
【点睛】
本题考查类比推理，属于基础题．
20．-1【解析】【分析】首先对函数求导然后利用方程思想求解的值即可【详解】由函数的解析式可得：令可得：则【点睛】本题主要考查导数的运算法则基本初等函数的导数公式方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力
解析：-1 【解析】 【分析】
首先对函数求导，然后利用方程思想求解()'1f 的值即可.
【详解】
由函数的解析式可得：()()1'2'1f x f x
=+
， 令1x =可得：()()1'12'11
f f =+，则()'11f =-. 【点睛】
本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
21．（1）2a =，4b =；（2）3m ≥． 【分析】 （1）求导()1
f x a x
'=
-，再根据函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=，由()12f a b =-+=，()111f a '=-=-求解.
（2）将对0x ∀>，()e 3x
f x x x m ≤-+成立，转化为ln 4x m x x xe ≥+-+恒成立，令
()ln 4x g x x x xe =+-+，0x >，用导数法求得其最大值，由()
max
m g x ≥求解.
【详解】
（1）因为()ln f x x ax b =-+， 所以()1
f x a x
'=
-， 又因为函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=， 所以()12f a b =-+=，()111f a '=-=-， 解得2a =，4b =.
（2）因为对0x ∀>，()e 3x
f x x x m ≤-+成立，
所以ln 4x m x x xe ≥+-+恒成立，
令()ln 4x
g x x x xe =+-+，0x >
则()()()()11111x x x xe g x x e x
x
+-'=+-+=
，
设()00g x '=，00x >，则0
1
x e x =
，从而00ln x x =-， 因为(
)13102g ⎛'
=> ⎝⎭，()()1210g e '=-<， 所以()()1
102g g '⋅<，
因为()g x '的图象在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是不间断的， 所以01,12x ⎛⎫
∃∈
⎪⎝⎭
，满足()00g x '=， 当()00,x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减．
从而()g x 在0x x =时取得最大值()00000ln 4143x
g x x x x e =+-+=-+=，
所以m 的取值范围为3m ≥． 【点睛】
方法点睛：恒成立问题的解法：
若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；
()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；
若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则
()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.
22．（1）3a =或1-；（2）15
4ln 24
-. 【分析】
（1）利用导数的几何意义求出()f x 图象在点()1,0处的切线方程，再根据判别式可求得a 的值；
（2）利用12,x x 是()0F x '=，即2220x ax ++=的两个正实根，可得12x x +，12x x ，不妨设1201x x <<<，根据单调性可得12()()F x F x >，将()()12F x F x -表示为关于2x 的函数，利用导数可求得最大值. 【详解】
（1）()ln f x x x =，1
()ln 1ln f x x x x x
'=+⋅
=+， 所以()f x 图象在点()1,0处的切线的斜率为(1)1f '=， 所以()f x 图象在点()1,0处的切线方程为1y x =-，
联立2
1y x y x ax
=-⎧⎨=+⎩，消去y 并整理得2
(1)10x a x +-+=， 依题意可得2
(1)40a ∆=--=，解得3a =或1-. （2）2()
()()f x F x g x x
=
+22ln x x ax =++(0)x >，2222
()2x ax F x x a x x
++'=++=
(0)x >，
依题意可得12,x x 是()0F x '=，即2220x ax ++=的两个正实根， 所以122
a
x x +=-
，121=x x ， 不妨设1201x x <<<，则当12x x x <<时，2220x ax ++<，则()F x '
0<，()F x 在
12(,)x x 上单调递减，则12()()F x F x >，
所以1212()()()()F x F x F x F x -=-2
2
1112222ln 2ln x x ax x x ax =++---
22
1
12122
()2ln
x x x a x x x =-+-+ 2
222222222
11112()()2ln x x x x x x x =
--+-+ 22
2222
12ln x x x =-
-， 令2
2t x =，则1t >，
又1232
x x -≤，所以2
2132x x -≤，即2
222320x x --≤，解得212x <≤，所以14t <≤，
设1()2ln h t t t t =--(14)t <≤，则2
22
12(1)()10t h t t t t
-'=+-=≥， 所以()h t 在(1,4]上单调递增，
所以当4t =时，()h t 取得最大值115
()42ln 44ln 244
h t =--=-， 即()()12F x F x -的最大值为15
4ln 24
-. 【点睛】
关键点点睛：设1201x x <<<，将()()12F x F x -表示为关于2x 的函数，利用导数求最大值是解题关键.
23．（1）()()22151126ln ln 105025550255
x x
L x x x x x x =-
+-=-+-≥；（2）投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元. 【分析】
（1）利用待定系数法求出151,2525
a b =-
=，即可得答案； （2）利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的最值； 【详解】
（1）由已知得：110010ln 217.72122515ln 3252
a b a b ⎧⨯+-=⎪⎪⎨⎪⨯+-=⎪⎩，化简得：151,2525a b =-=， ()2151ln 1050255
x y x x x ∴=-+-≥，则该景点改造升级后旅游增加利润为： ()()22151126ln ln 105025550255
x x L x x x x x x x =-+--=-+-≥； （2）由（1）得：()()2126ln 1050255x L x x x x =-
+-≥ 则()()()21251261262525252525x x x x L x x x x x
---+'=-+-=-=-，令()0L x '=得25x =，
当()10,25x ∈时，()()0,L x L x '>单调递增；当()()()25,0,x L x L x '∈+∞<时，单调递减；
25x ∴=时，()L x 取得最大值，且()()max 2511.9L x L ==，
∴当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润为11.9万元.
【点睛】
待定系数法求函数的解析式，一般是根据条件列出方程，再求参参数值；利用导数求函数的单调性，可求得函数的最值.
24．（1）2a =；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由导数的几何意义运算即可得解；
（2）结合导函数的零点可得02a x =，再由函数()f x 的单调性，进而可转化条件为()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()()22,21ln ,g x x x e x x x =--∈，通过导数证明()2g x e >-即可得证.
【详解】
（1）因为()()2ln 2f x a x x a x =+-+，所以()()22a f x x a x
'=+-+， 所以()()42212
a f a '=+-+=，解得2a =； （2）证明：由题意，()()()()1222x x a a f x x a x x
--'=+-+=， 因为导函数()f x '在区间()1,e 上存在零点，
设零点为()00,1,x x e ∈，则()0222,e a x ∈=，
所以()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，
故()()()()022
0000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+== 200002ln 2x x x x =--，
设()()2
2,21ln ,g x x x e x x x =--∈，则()2ln 2g x x x '=-， 设()()()2ln 21,,h x g x x e x x '==-∈，则()220h x x
'=-<，()h x 单调递减， 又()()112h g '==-，故()2ln 20g x x x '=-<在()1,e 上恒成立，故()g x 单调递减， 所以()()2
g x g e e >=-， 故当()1,x e ∈时，()2
f x e >-. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用导函数的零点即函数的极值点转化条件为证明2200002ln 2x x x x e -->-.
25．（1）15,164⎡⎤⎢
⎥⎣
⎦；（2）答案见解析. 【分析】 （1）由已知得出1454x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
，解出x 可得()4h x 的定义域； （2）对函数()h x 求导，按0m <，1016m <≤，12516
m <<和25m ≥四种情况，分别求出函数的单调递增区间即可．
【详解】 （1）∵1454x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
，∴15164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()4h x 的定义域为15164⎡⎤⎢
⎥⎣⎦， （2）()2
1m h x x '=- 0m <时，()0h x '>恒成立，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，递增；
0m >时，令()0h x '>，解得x >或x <(
,-∞，)+∞
14≤即1016m <≤时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增
当154
<<即12516m <<时，()h x 在⎤⎦递增
5即25m ≥时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
无递增区间 综上可得：0m <时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增； 1016m <≤时，()h x 在154⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，递增； 1
2516
m <<时，()h x 在⎤⎦递增 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的定义域，考查导数研究函数的单调性，解决本题的关键是令()0h x '>求出函数的单调增区间，讨论定义域的区间端点和单调区间的关系，考查了学生分类讨论思想和计算能力，属于中档题．
26．（1）答案见解析；（2）存在，4a =.
【分析】
（1）对函数进行求导，求出导函数的零点，分为0a =，0a >和0a <三种情形进行讨论，可得函数单调性；
（2）分为0a ≤，3a ≥和0<<3a 三种情形，得出函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，结合最值得结果.
【详解】
（1）()26263a f x x ax x x ⎛
⎫'=-=- ⎪⎝⎭
． 令()603a f x x x ⎛
⎫=-= ⎪⎝⎭′，解得0x =或3
a ． 当0a =时，()260f x x =≥′恒成立，函数()f x 在R 上单调递增；
当0a >时，令()0f x '>得3a x >
或0x <，令()0f x '<得03a x <<， 即函数()f x 在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当0a <时，令()0f x '>得0x >或3a x <
，令()0f x '<得03a x <<， 即函数()f x 在,3a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减； 综上所述：当0a =时，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，函数()f x 在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当0a <时，函数()f x 在,3a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减.
（2）存在，理由如下：
由（1）可得：当0a ≤时，函数()f x 在[0,1]上单调递增． 则最小值为()01f =，不合题意；
当0a >时，函数()f x 在0,3
a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,3a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增； 当13
a ≥，即3a ≥时，函数()f x 在[]0,1上单调递减， ()f x 的最大值为()01f =，最小值为()1211f a =-+=-， 解得4a =，满足题意；
当0<<3a 时，函数函数()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,13a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， ()f x 的最小值为32211333a a a f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
化为3
227
a -=-，解得3a =>，不合题意； 综上可得：a 的值为4.
【点睛】
关键点点睛：
（1）按照导函数的零点大小比较进行讨论；
（2）按照导函数零点与所给区间端点的关系进行讨论.。