难点07 新背景下的概率、统计问题及统计案例理测试卷-

难点七 难点突破强化训练
（一）选择题（12*5=60分）
1．【广东佛山2017届高三教学质量检测（一）】本学期王老师任教两个平行班高三A 班，高三B 班，两个班都是50个学生，如图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比：根据图表，不正确的结论是（ ）
A ．A 班的数学成绩平均水平好于
B 班 B ．B 班的数学成绩没有A 班稳定； C.下次考试B 班的数学平均分数高于A 班 D ．在第1次考试中，A ，B 两个班的总平均分为98. 【答案】C
【解析】由图知，A 、B 、D 正确，此图不能预测出下次两个班的平均成绩，故C 不正确，故选C ．
2．【广东汕头2017届高三上学期期末】去A 城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去A 城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为（ ） A ．
31 B ．21 C ．32 D ．9
1
【答案】A
3．【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛】已知函数()sin f x x x =，当[0,]x π∈时，()1f x ≥的概率为（ ） A ．
13 B ．14 C. 15 D ．12
【答案】D
【解析】由()sin 2sin()13f x x x x π
=+=+
≥及[0,]x π∈得[0,]2
x π
∈，所以所求概
率为1
22
P π
π==，故选D.
4．【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考】某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n m -的值是（ ）．
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 【答案】
B
5．【贵州遵义2017届高三上学期期中联考】某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）
A ．0927
B ．0834
C ．0726
D ．0116 【答案】A
【解析】系统抽样就是等距抽样，编号满足01225,k k Z +∈，因为092701225161=+⨯，所以选A.
6．【广东2017届高三上学期阶段性测评】在区间[]1 m -，
上随机选取一个数，若1x ≤的概率为
2
5
，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】C 【解析】由
22
15
m =+得4m =.选C. 7．【云南大理2017届高三上学期第一次统测】欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径2百米，中间有边长为1百米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ） A ．
14π B ．12π C ．1π D ．2
π
【答案】C
【解析】根据几何概型的求解方法可知，用正方形的面积除以圆的面积即为所求概率，所以
π
π1
44===
圆正方形S S P ，故选C.
8．【河北唐山2017届高三上期期末】已知函数 ()214x f x =，若在区间()0,16内随机取一个数0x ，则()00f x >的概率为 （ ） A ．
14 B ．13 C. 23 D ．34
【答案】D
9．【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测】设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差()D X =（ ）
A ．2
B ．1
C ．
23
D ．
34
【答案】C
【解析】每次取球时，取到红球的概率为23、黑球的概率为1
3
，所以取出红球的概率服从二项分布，即2(3,)3x B ~,所以222
()3(1)333
D x =⨯⨯-=，故选C.
10. 【广东省汕头市2017届高三上学期期末】将二项式6
)2(x
x +展开式各项重新排列，则
其中无理项互不相邻的概率是（ ） A ．
72 B ．351 C. 35
8 D ．247 【答案】A
11．【2017届河南郑州一中高三上期中】已知函数()()3
22113
f x x a x b x =
--+，其中{}1,2,3,4a ∈，{}1,2,3b ∈，则函数()f x 在R 上是增函数的概率为（ ）
A ．
14 B ．12 C ．23 D ．34
【答案】D
【解析】原命题等价于()()2
2
'210f x x a x b =--+≥在R 恒成立
2222)1(04)1(4b a b a ≤-⇒≤--=∆⇒，符合上述不等式的有
⇒)3,4(),3,3(),2,3(),3,2(),2,2(),1,2(),3,1(),2,1(),1,1(所求概率4
3
439=⨯=
P ,故选D. 12．【2017届福建南平浦城县高三上学期期中】我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率p 的近似值，如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n ，落在正方形内的豆子数为m ，则圆周率p 的估算值是（ ）
A ．
n m B ．2n m C ．3n m D ．2m n
【答案】B
【解析】设正方形的边长为2.
42m n π=，即2n m
π=，故选B. （二）填空题（4*5=20分）
13. 【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考】在[]4 3-，
上随机取一个数m ，能使函数(
)22f x x =+在R 上有零点的概率为 ． 【答案】
3
7
【解析】若(
)22f x x =+有零点，则2280m ∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-， 由几何概型可得函数()y f x =有零点的概率37
P =
. 14．【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】设(){},|0,01A x y x e y =
<<<<（e 为
自然对数的底数），任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是 （结果用e 表示）． 【答案】2
1e
-
【解析】样本空间为一个矩形，面积为e ，而满足1ab >的面积为
11(1)(ln )21
e
e dx x x e x -=-=-⎰，所以概率是2
e e - 15．【2017届河南鹤壁高级中学高三周练10.21】若不等式222x y +≤所表示的平面区域为
M ，不等式组0
026x y x y y x -≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落
在区域M 内的概率为______．
【答案】
24
π
16．【2017届河北定州中学高三高补班周练10.16】如右图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ．
【答案】6.1
【解析】由茎叶图可知评委打出的最低分为79，最高分为93，其余得分为84，84，86，84，
87，故平均分为
855
87
86384=++⨯，方差为
()()()[]
6.185878586858435
12
22=-+-+-⨯．故答案为6.1． (三)解答题（4*10=40分）
17．【2017届重庆市第八中学高三上第二次适应性考试】重庆因夏长酷热多伏旱而得名“火炉”，八月是重庆最热、用电量最高的月份．下图是沙坪坝区居民八月份用电量（单位：度）的频率分布直方图，其分组区间依次为：[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，
[260,280)，[280,300)，[]300,320．
（1）求直方图中的x；
（2）根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数；
300,320的四组用户中，用分层（3）在用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)，[]
抽样的方法抽取11户居民，则用电量在[240,260)的用户应抽取多少户？
18. 【2017届湖南长沙雅礼中学高三月考四】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，
求y 关于x 的线性回归方程a bx y
+=ˆ； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（注：x b y a
x x
y y x x
x n x y
x n y
x b n
i i
n
i i i
n i i n
i i
i ˆˆ,)()
)((1
2
1
1
2
21-=---=
⋅-⋅⋅-=
∑∑∑∑====） 【解析】（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10
2
5=C 种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况共有4种，所以
53
1041)(=-
=A P ，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率为5
3. （2）由数据，求得12)121311(31=++=x ，27)263025(31
=++=y ，9723=⋅y x .
97726123013251131
=⨯+⨯+⨯=∑=i i i y x ，3431213112223
1
2=++=∑=i i x ，43232
=x ，由
公式求得3ˆˆ,2
54324349729773331
2
23
1-=-==--=
-⋅-=
∑∑==x b y a x
x y
x y
x b i i i i
i .所以y 关于x 的线性回归方程32
5
ˆ-=x y
. （Ⅲ）当10=x 时，2|2322|,2232
5
ˆ<-=-=x y ，同样地，当8=x 时，2|1617|,17382
5
ˆ<-=-⨯=y
，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的. 19. 【2017届四川雅安中学高三上学期月考三】为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下图：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
（1）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式
的教学效果更佳；
（2）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？
附：()
()()()()
()2 n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -=
=+++++++，
独立性检验临界值表：
（2）
根据22⨯列联表中的数据，得2
K 的观测值为()2
401041610 3.956 3.84126142020
k ⨯-⨯=>⨯⨯⨯≈，∴能在
犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.
20. 【2017届湖南五市十校高三12月联考】为响应国家“精准扶贫，产业扶贫“的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A 县推进光伏发电项目，在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表，以样本的频率作为概率．
（1）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；
（2）已知该县某山区自然村有居民300户，若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？
【解析】（1）记在该县山区居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A．由抽
样可知，()3 5
P A=．由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过
600度的户数X，服从二项分布，即
3
10,
5
X B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，故()
3
106
5
E X=⨯=．
（2）设该县山区居民户年均用电量为()
E Y，由抽样可得
()51510155
=100300500700900500
5050505050
E Y⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（度）．则该自然村年均用电约150000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益120000元．。