甘肃省天水市一中高二数学上学期第二次学段(期末)考试试题 理-人教版高二全册数学试题

天水一中2014级2015～2016学年度第一学期第二学段考试
数学（理科）试题
（满分：150分 时间：120分钟）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1.设命题P ：1x
x R e ∃∈>，，则⌝P 为( )
（A ）=1x x R e ∃∈， （B ）1x
x R e ∀∈>， （C ）1x
x R e ∃∈≤， （D ）1x
x R e ∀∈≤， 2. "1x ≠或4"y ≠是"5"x y +≠的 （ ） （A ）充分必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若47+=9a a ,则10=S （ ） （A ）45 （B ）40 （C ）35 （D ）30 4. ()ln x
f x x
=
的单调递增区间为（ ） （A ）()1e -0， （B ）()
1
+e -∞， （C ）()e 0， （D ）()+e ∞，
5.定积分
1
1
(2)e
x dx x
+⎰
的值为（ ）
（A ）21e - （B ）2e （C ）21e + （D ）22e + 6.如右图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －
A 1
B 1
C 1，12,3CA CB CC CB ==，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )
（A ）
435
35
（B ）3570
（C ）
235
35
（D ）235
7.已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12
，E 的右焦点与抛物线2
:4C y x =-的焦点
重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（ ） （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
8.已知函数()3
1f x ax x =++的图像在点()()
1,1f 的处的切线过点()2,11，则 a =
（ ）.
（A ）
32
（B ）5
4 （C ）1 （D ）2
9. 已知等比数列{}n a 满足21a =,3543
6()2
a a a =-,则6a =（ ）
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）18 10. 如右图，正方体''''ABCD A B C D -中， 2BD BE =.
设点F 在线段'CC 上，直线EF 与平面'A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）. （A
） （B
） （C
） （D
） 11. 已知双曲线E 的左，右顶点为A ，B ，点C 在E 上，AB=BC ，且30BCA ∠=，则E 的离心率为（ ）.
（A
（B ）2 （C
（D
12.设偶函数()()f x x R ∈的导函数是函数'
()f x ，(2)0f =，当0x <时，
'()()0x f x f x ->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）.
（A ）(,2)(0,2)-∞- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞ （C ）(2,0)
(2,)-+∞ （D ）(0,2)(0,2)-
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）
F
C
A'
13.
3
23
9x dx --=⎰
________．
14.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且12a =-，22n n S a =+，则n a =________． 15.如右图，二面角l αβ--的大小为60，A β∈，C α∈，且AB 、CD 都垂直于棱l ，分别交棱l 于B 、D .已知1BD =，2AB =，3CD =,则AC =________． 16. 曲线1
y x
=
与y kx =相交于P Q 、两点，当PQ 最小时，则=k ________． 三、 解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）已知()x f x e =,()1g x x =+. （1）证明：()()f x g x ≥；
（2）求()()g y f x y x ==，与=1x -所围成的封闭图形的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项 ,2,1,1
23,5311=+==
+n a a a a n n
n ． （1）求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-11n a 为等比数列；
（2） 记n
n a a a S 1
1121+++=
，若100<n S ，求最大正整数n ． 19.（本小题满分12分）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(3)A m ，在抛物线E 上，且4AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，
证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．
α
β
A
C
B
D
20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P
ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，
AD AB ⊥，//AB DC ，PA ABCD ⊥底面，
点E 为棱PC 的中点.
22AD DC AP AB .
（1）证明：BE PDC ⊥平面；
（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥， 求二面角F AD C 的余弦值.
21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为22
，左、右
焦点分别为12,F F ，点G 在椭圆C 上，且021=⋅GF GF ，12GFF ∆的面积为2． （1）求椭圆C 的方程；
（2）直线)0()1(:<-=k x k y l 与椭圆C 相交于
A ，
B 两点．点)0,3(P ，记直线,PA PB 的斜率分别
为12,k k ，当
k
k k 2
1最大时，求直线l 的方程．
22.（本小题满分12分） 已知函数()23
11ln 23
f x x x x x ax =-+
-，()'f x 为函数()f x 的导函数. （1）若()()F x f x b =+，函数()F x 在1x =处的切线方程为210x y +-=，求,a b 的值；
（2）若()'f x x ax ≤-+恒成立，求实数a 的取值范围
E
A
B
D
C
P
天水一中2014级2015～2016学年度第一学期第二学段考试
数学（理科）试题答案
命题：黄国林 刘鹏 审核：黄国林 （满分：150分 时间：120分钟）
四、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. D
2. B
3. A
4. C
5. B
6. A
7.A
8. D
9. C 10. D 11. C 12. B 五、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.
92
π
14. 2n -
15.16. 1 六、 解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）（1）略 （2）
112e
- 18．（本小题满分12分）（1）详见解析 （2）99 【解析】 试题分析：（1）证明数列是等比数列需证明数列相邻两项的比值为常数，并且首项不为0；本题中通过数列{}n a 的递推公式入手将其变形即可；（2）借助于（1）的结论求得数列{}n a 的的通项公式，进而得到数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的通项公式，结合特点采用分组求和和等比数列求和公式可得到n S 的表达式，解不等式可求得n 值 试题解析：（1）3
1
3111,3132111-=-∴+=++n n n n a a a a
， 且)(011
,0111*∈≠-∴≠-N n a a n
∴数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-11n a 为等比数列．
（2）由（1）可求得
1)3
1
(21,)31(32111+⨯=∴⨯=--n n n n a a ． n n n n n n n n a a a S 31
13
1131
312)313131(21111
221-+=--⋅+=++++=+++=∴+
若,100<n S 则10031
1<-
+n
n ，99max =∴n 19.（本小题满分12分）（1）24y x =；（2）略．
20.（本小题满分12分）（1）略；（2 21.（本小题满分12分）（1）12422=+y x ；（2）)1(4
10:--=x y l ．
【解析】试题分析：（1）首先由椭圆的离心率为
2
2
，可得a ==，再由021=⋅GF GF ，可得12GF GF ⊥，进而可得2
2
22
1242GF GF c a +==，结合12
GFF ∆的面积为2可得，
121
22
GF GF ⋅=，联立方程组即可求出222,,a b c ，从而求出椭圆的方程；（2）首先设出直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-<，然后将其与椭圆的方程联立并整理得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可求出1212,x x x x +，进而用参数k 表示出k
k k 2
1，最后运用基本不等式求出其最大值即可得出结论．
试题解析：（1）因为2
c e a =
=
，所以a ==，点G 在椭圆C 上，且0
21=⋅GF GF ，
12
GFF ∆的
面
积
为
2
，所以
22
2212121212,
2,422
GF GF a GF GF GF GF c a +=⋅=+==，解之224,2a b ==，所以椭圆方程为12
42
2=+y x ． （
2
）
)
0()1(:<-=k x k y l 与
1
2
4:2
2=+y x C 联立解
得:0424)21(2
2
2
2
=-+-+k x k x k
2
2212221214
2,214k k x x k k x x +-=
+=+∴
9
)(31
)()3)(3()1)(1()3)(3(2121212
121212212121++-++-=----=--=x x x x x x x x k x x k x x k x x k y y k k k 2
2222222
22222
22853)21(91242214429)214(3214212142142k k k k k k k k k k
k k k k k k k k +-=
++--++--⨯=++-+-++-+-⨯=
1043
)8()5(38532
≤-+-=+-k k
k k ,当且仅当410-=k 时，取得最值。

此时)1(4
10
:--
=x y l ． 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆相交的综合问题；3、基本不等式的应用． 22.（本小题满分12分）（1
（2）1a ≥.。