2020版数学人教A版必修5课件：2.2 等差数列2

2.2 等差数列
学习目标：
1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)
2.能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)
一、子数列的性质
从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 数列．
二、等差数列通项公式的推广
等差数列通项公式的变形公式：
a n ＝a m ＋ d ，d ＝a n －a m
n －m . 等差(n －m )自主学习
三、“下标和”性质
(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝
. (2)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝2t ，则a m ＋a n ＝ .
(3)数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和
都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝ ＝ ＝…
＝a i ＋1＋a n －i ＝….
a p ＋a q 2a t a 2＋a n －1 a 3＋a n －2
类型1：等差数列的“子数列”性质
例1：(1)若数列{a n}的公差为2，则数列{3a n－2}的公差为() A．3B．4C．5D．6
(2)在等差数列{a n}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于()
A．－9 B．－8 C．－7 D．－4
(3)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由a n＋b n所组成的数列的第37项的值为() A．0 B．37 C．100 D．－37
【解析】(1)∵数列{a n}的公差为2，
∴数列{3a n－2}的公差为3×2＝6.
(2)∵{a n}是等差数列，∴a6－a4＝6＝2d.
∴d＝3.∴a1＋d＝－5.∴a1＝－8.
(3)设c n＝a n＋b n，
则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100.
故d＝c2－c1＝0.故c n＝100(n∈N*)．从而c37＝100. 【答案】(1)D(2)B(3)C
类型2：等差数列“下标和”性质的应用
例2：在公差为d的等差数列{a n}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.
解：法一：(1)化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48.
∴4a13＝48.
∴a13＝12.
(2)化成a 1和d 的方程如下：
⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·
(a 1＋4d )＝52， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝16，d ＝－3，
∴d ＝3或－3.
法二：(1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48， 及a 2＋a 24＝a 3＋a 23＝2a 13.得4a 13＝48，∴a 13＝12.
(2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，及a 3＋a 4＝a 2＋a 5得2(a 2＋a 5)＝34， 即a 2＋a 5＝17.
解⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝13，a 5＝4.
∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.
变式训练：在(2)中已知条件不变，添加条件“a 4>a 2”求a 5的值．
解：∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34且a 3＋a 4＝a 2＋a 5， ∴2(a 2＋a 5)＝34，∴a 2＋a 5＝17， 又a 2·a 5＝52，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，a 5＝13
或⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝13，
a 5＝4.
又∵a 4>a 2，∴a 4－a 2＝2d >0， ∴d >0，∴a 5>a 2，∴a 5＝13.
类型3：等差数列的设法及运算
例3：已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
解：法一：设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得 ⎩
⎪⎨⎪
⎧
b －a ＝
c －b ＝
d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40.解得⎩⎪⎪⎨
⎪⎪
⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11
或⎩⎪⎪⎨
⎪⎪
⎧
a ＝11，
b ＝8，
c ＝5，
d ＝2，
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法二：设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，
根据题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，
(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，
化简，得⎩⎪⎨⎪⎧
4a 1＋6d ＝26，
a 21＋3a 1d ＋2d 2
＝40，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，
d ＝3，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝11，
d ＝－3，
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法三：设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，
根据题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧
(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，
(a －d )(a ＋d )＝40，
化简，得⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＝26，
a 2－d 2
＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝132，d ＝±32
.
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
变式训练：已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式．
解：法一：依题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋a 2＋a 3＝18，
a 1·a 2·a 3＝66，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3a 1＋3d ＝18，
a 1·
(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝11，
d ＝－5
或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，
d ＝5.
∵数列{a n }是递减等差数列，∴d <0. 故取a 1＝11，d ＝－5.
∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16. 即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16.
法二：设等差数列{a n }的前三项依次为a －d ，a ，a ＋d ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18，(a －d )·
a ·(a ＋d )＝66，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝6，
d ＝±
5.
又∵{a n }是递减等差数列，∴d <0， ∴取a ＝6，d ＝－5.
∴等差数列{a n }的首项a 1＝11，公差d ＝－5. ∴通项公式a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16.
课堂小结：
在等差数列{a n}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间无明显联系，则均可以化成关于a1，d的方程组求解；如果条件与结论存在明显的特点，一般运用其性质解决较为简捷．
课堂检测： 1．判断：
(1)在等差数列{a n }中，a 10＝a 3＋7d ( )
(2)若数列{a n }为等差数列，则数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…也成等差数列．( )
(3)等差数列{a n }去掉前n 项后余下的项仍组成等差数列．( ) (4)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.( )
√√√√
2．若一个等差数列{a n }中，a 2＝3，a 7＝6，则其公差为( )
A.35
B.53
C ．－35
D ．－53 【解析】a 7－a 2＝5d ，∴
5d ＝3，d ＝35. 【答案】
A
3．在等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2＝( )
A ．3
B ．－3 C.32 D ．－32
【解析】由等差数列性质知，a 4＋a 5＝a 7＋a 2， ∴a 2＝(a 4＋a 5)－a 7＝3.
【答案】A
4．在等差数列{a n}中，公差d＝2，a1＋a3＋a5＝30，
则a2＋a4＋a6＝________.
【解析】根据数列{a n}为等差数列得a1＋a3＋a5＝3a3＝30，∴a3＝10.又d＝2，∴a4＝12.
所以a2＋a4＋a6＝3a4＝3×12＝36.
【答案】36
5．等差数列{a n}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8. 解：根据题意设此数列首项为a1，公差为d，
则a1＋d＋a1＋2d＋a1＋9d＋a1＋10d＝36，
∴4a1＋22d＝36，
2a1＋11d＝18，
∴a5＋a8＝2a1＋11d＝18.
6．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9. 解：法一：根据等差数列的性质a 2＋a 10＝a 3＋a 9＝2a 6.
由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13
. ∴a 3＋a 9＝2a 6＝23.
法二：根据等差数列的通项公式，得 a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d . 由题意知3a 1＋15d ＝1，
即a 1＋5d ＝13
. ∴a 3＋a 9＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.。