2019-2020学年成都市武侯区西蜀实验学校九年级(上)开学数学试卷(含解析)

2019-2020学年成都市武侯区西蜀实验学校九年级（上）开学数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x≠﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠23．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A．B．C．D．4．下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x+1＝x2+5 B．ax2+bx+c＝0C．x2+1＝﹣8 D．2x2﹣y﹣1＝05．下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（）A．2x2﹣4x+1＝2x（x﹣2）+1 B．x2﹣2x＝x（x﹣2）C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x2+2x+4＝（x+2）26．如果分式的值为零，那么x等于（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±17．如图，已知直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（a，﹣8），则关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＜﹣8 D．x＞﹣88．下列说法中，不正确的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．对角线垂直的矩形是正方形D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（）A．1 B．C．2 D．10．若分式方程有增根，则m等于（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2二、填空题（共4小题，每题4分，共16分）11．计算的结果是．12．因式分解：x3﹣x＝．13．一个n边形的内角和是它外角和的3倍，则边数n＝．14．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是．三、计算题（15-17题共24分，18-20题共30分，共计54分）15．（4分）解不等式组：16．（8分）（1）化简：．（2）解方程．17．（12分）解下列一元二次方程．（1）x2﹣4x+3＝0．（2）（x+3）2＝（1﹣2x）2．（3）（x﹣2）（x+1）＝1．18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接DE、EB、BF、FD．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）四边形DEBF是平行四边形19．（10分）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同（1）求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？（2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则商店至少购进A类玩具多少个？20．（12分）如图，在▱ABCD中，E为AB中点，EF与CF分别平分∠AEC与∠DCE，G为CE中点，过G作GH ∥EF交CF于点O，交CD于点H．（1）猜想四边形CGFH是什么特殊的四边形？并证明你的猜想；（2）当AB＝4，且FE＝FC时，求AD长．B卷（50分）一、填空题（本题共5个小题，每题4分，共20分）21．已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个不相等的实数根，则α+β+αβ的值为．22．关于x的分式方程+＝2的解为正实数，则实数a的取值范围为23．关于x的方程a2x2﹣（2a+1）x+1＝0有实数根，则a满足的条件是．24．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF，若∠A＝70°，则∠DGF的度数为．25．已知正方形ABCD中，AC、BD交于点O，＝，连AE，将△ADE沿AD翻折，得△ADE′，点F是AE 的中点，连CF、DF、E′F．若DE＝2，则四边形CDE′F的面积是．二、解答题（本题共3个小题，共30分）26．（8分）入夏以来，由于持续暴雨，某市遭受严重水涝灾害，群众失去家园．市民政局为解决灾民群众困难，紧急组织了一批救灾帐篷和食品准备送往灾区．已知这批物质中，帐篷和食品共680件，且帐篷比食品多200件．（1）帐篷和食品各有多少件？（2）现计划租用A、B两种货车共16辆，一次性将这批物质送到群众手中，已知A种货车可装帐篷40件和食品10件，B种货车可装帐篷20件和食品20件，试通过计算帮助市民政局设计几种运输方案？（3）在（2）条件下，A种货车每辆需付运费800元，B种货车每辆需付运费720元，市民政局应该选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以2cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．28．（12分）如图，在矩形ABCD中，E为射线CB上一点，AE＝AD，∠BAE的平分线交直线DE于点P．（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，过A作AG⊥DE于点G，交EC于点K，连接BG．①求证：AG＝BG；②若Q为DC延长线上一点，且DQ＝DA，连接PQ，求证：PQ＝（PD﹣BG）；（2）如图2，当点E在BC边上且E为DP的中点时，过P作PF⊥AE于点F，AP交BC于点H．若AD＝a，请直接写出BP的长（用含a的代数式表示）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、是轴对称图形，是中心对称图形．故选：D．2．【解答】解：若分式有意义，则x+2≠0，解得：x≠﹣2．故选：B．3．【解答】解：由第一个不等式得：x＞﹣1；由x+1≤3得：x≤2．∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2．故选：A．4．【解答】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；B、a＝0时是一元一次方程，故B不符合题意；C、是一元二次方程，故C符合题意；D、是二元二次方程，故D不符合题意；故选：C．5．【解答】解：A、2x2﹣4x+1＝2x（x﹣2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误；B、x2﹣2x＝x（x﹣2），是因式分解，故此选项正确；C、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是整式的乘法运算，故此选项错误；D、x2+2x+4≠（x+2）2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；故选：B．6．【解答】解：∵分式的值为零，∴，解得x＝﹣1．故选：B．7．【解答】解：∵直线l1：y＝3x+1和直线l2：y＝mx+n交于点P（a，﹣8），∴3a+1＝﹣8，解得：a＝﹣3，观察图象知：关于x的不等式3x+1＜mx+n的解集为x＜﹣3，故选：B．8．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，故选项不符合题意；B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故选项不符合题意；C、对角线垂直的矩形是正方形；故选项不符合题意；D、两组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，故选项符合题意．故选：D．9．【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，所以△ACG的面积＝×4×1＝2．故选：C．10．【解答】解：分式方程去分母得：x﹣3＝m，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程得：m＝﹣2，故选：D．二、填空题（共4小题，每题4分，共16分）11．【解答】解：原式＝＝2，故答案为：212．【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故答案为：x（x+1）（x﹣1）13．【解答】解：根据题意列方程，得：（n﹣2）180°＝3×360°，解得：n＝8，即边数n等于8．故答案为8．14．【解答】解：由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°，∴∠E＝∠CAE＝45°，∵∠ACD＝70°，∴∠DCE＝20°，∴∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝180°﹣45°﹣20°＝115°，故答案为115°．三、计算题（15-17题共24分，18-20题共30分，共计54分）15．【解答】解：，解不等式①得 x＞﹣12，解不等式②得，∴﹣12＜x≤4．16．【解答】解：（1）原式＝（﹣）×＝×＝×＝；（2）去分母得：1﹣3x+6＝x﹣1，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．17．【解答】解：（1）（x﹣3）（x﹣1）＝0，x﹣3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝3，x2＝1；（2）（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）＝0，（﹣x+4）（3x+2）＝0，﹣x+4＝0或3x+2＝0，所以x1＝4，x2＝﹣；（3）∴x2﹣x﹣3＝0．∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，x＝，所以x1＝，x2＝．18．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC，∵∠AED+∠DEF＝180°，∠BFC+∠BFE＝180°，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∵DE＝BF，∴四边形DEBF是平行四边形．19．【解答】解：（1）设B的进价为x元，则a的进价是（x+3）元由题意得＝，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．所以15+3＝18（元）答：A的进价是18元，B的进价是15元；（2）设A玩具a个，则B玩具（100﹣a）个，由题意得：12a+10（100﹣a）≥1080，解得a≥40．答：至少购进A40个．20．【解答】解：（1）猜想：四边形CGFH是菱形．理由：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AEC+∠ECD＝180°，∵∠FEC＝∠AEC，∠FCE＝∠DCE，∴∠FEC+∠FCE＝90°，∴∠EFC＝90°，∵GH∥EF，∴∠GOC＝∠EFC＝90°，∵CG＝EG，GO∥EF，∴OF＝OC，在Rt△EFC中，∵EG＝GC，∴FG＝GC，∴∠GCF＝∠GFC＝∠FCD，∵∠FOG＝∠COH，∴△FOG≌△COH，∴OG＝OH，∵OF＝OC，∴四边形FGCH是平行四边形，∴四边形CGFH是菱形．（2）如图2中，延长EF交CD的延长线于M．∵EF＝CF，∠EFC＝90°，EG＝CG，∴FG⊥EC，∴∠FGC＝90°，∴四边形CGFH是正方形，∴∠FCG＝∠FCH＝45°，∴EF＝FM，∵∠AFE＝∠MFD，∠AEF＝∠M，∴△AFE≌△DFM，∴AE＝DM＝2，AF＝DF，∴CM＝CD+DM＝6，∵FH⊥CM，CF＝FM，∴CH＝HM＝FH＝3，在Rt△DFH中，DF＝＝＝，∴AD＝2DF＝2．一、填空题（本题共5个小题，每题4分，共20分）21．【解答】解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，∴α+β＝5，αβ＝﹣2，∴α+β+αβ＝5﹣2＝3，22．【解答】解：+＝2，方程两边同乘（x﹣1）得x+a﹣2a＝2（x﹣1），解得x＝，∵≠1，∴a≠1，由题意得＞0，解得a＜2，故实数a的取值范围是a＜2且a≠1．故答案为：a＜2且a≠1．23．【解答】解：∵关于x的方程a2x2﹣（2a+1）x+1＝0有实数根，1）当a≠0时，方程式一元二次方程，△＝b2﹣4ac≥0，即解之得a≥﹣且a≠0．2）当a＝0时，方程是﹣x+1＝0，方程有实根．总之a≥﹣．24．【解答】解：如图，延长AD、EF相交于点H，∵F是CD的中点，∴CF＝DF，∵菱形对边AD∥BC，∴∠H＝∠CEF，在△CEF和△DHF中，，∴△CEF≌△DHF（AAS），∴EF＝FH，∵EG⊥AD，∴GF＝FH，∴∠DGF＝∠H，∵四边形ABCD是菱形，∴∠C＝∠A＝70°，∵菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，∴CE＝CF，在△CEF中，∠CEF＝（180°﹣70°）＝55°，∴∠DGF＝∠H＝∠CEF＝55°．故答案为：55°．25．【解答】解：如图，连接EE′，交AD于N，连接CE，在正方形ABCD中，∠EDN＝45°，由折叠得，AD垂直平分EE′，且∠EDN＝∠E′DN＝45°，DE＝DE′，∴△DEE′、△DEN、△DE′N均为等腰直角三角形，∵DE＝2，＝，∴OE＝，DN＝EN＝E′N＝2，DO＝3，DE′＝2，∴AC＝6，AD＝6，∵EO⊥AC，∴S△ACE＝×6×＝6，又∵点F是AE的中点，∴S△ACF＝×S△ACE＝3，∵AN⊥EE′，AN＝AD﹣DN＝6﹣2＝4，∴S△AE′E＝×4×4＝8，又∵点F是AE的中点，∴S△AE′F＝×S△AE′E＝4，∵∠E′DO＝∠AOD＝90°，∴DE′∥AC，∴S梯形ACDE′＝＝＝24，∴四边形CDE′F的面积＝S梯形ACDE′﹣S△ACF﹣S△AE′F＝24﹣3﹣4＝17．故答案为：17二、解答题（本题共3个小题，共30分）26．【解答】解：（1）设帐篷有x件，食品有y件．则，解得，；答：帐篷有440件，食品有240件（2）设租用A种货车a辆，则租用B种货车（16﹣a）辆，则，解得6≤a≤8，故有3种方案：A种车分别为6，7，8辆，B种车对应为10，9，8辆（3）设总费用为W元，则W＝800a+720（16﹣a）＝80a+11520，k＝80＞0，W随a的增大而减少，所以当a＝6时费用最少，为12000元．27．【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝30°．∵CD＝2t，AE＝t，又∵在Rt△CDF中，∠C＝30°，∴DF＝CD＝t，∴DF＝AE；解：（2）∵DF∥AB，DF＝AE，∴四边形AEFD是平行四边形，当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，即30﹣2t＝t，解得：t＝10，即当t＝10时，▱AEFD是菱形；（3）当t＝时，△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．理由如下：当∠EDF＝90°时，DE∥BC．∴∠ADE＝∠C＝30°∴AD＝2AE∵CD＝2t，∴DF＝t＝AE，∴AD＝2t，∴2t+2t＝30，∴t＝时，∠EDF＝90°．当∠DEF＝90°时，DE⊥EF，∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD∥EF，∴DE⊥AD，∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∵∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠DEA＝30°，∴AD＝AE，AD＝AC﹣CD＝30﹣2t，AE＝DF＝CD＝t，∴30﹣2t＝t，解得t＝12．当∠DFE＝90°时，点E和点F都和点B重合，不能构成三角形，所以，此种情况不存在；综上所述，当t＝时，△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF ＝90°）．28．【解答】解：（1）①如图1﹣1中，延长AG交BC于K．∵AG⊥ED，∴∠EGA＝∠EGK＝90°，∵∠GEA＝∠GEK，EG＝EG，∴△EGA≌△EGK，∴AG＝GK，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABK＝90°，∴BG＝AK＝AG．②如图1﹣2中，连接AQ交DE于O，作DM⊥PA交PA的延长线于M，DN⊥PQ于N．∵ABE＝∠AGE＝90°，∴∠GAB＝∠GEB＝∠AEG，∵∠PAG＝∠PAB+∠BAG，∠APG＝∠AEG+∠EAP，∵∠EAP＝∠BAP，∴∠GAP＝∠APG＝45°，∵DA＝DQ，∠ADQ＝90°，∴∠APO＝∠DQO＝45°，∵∠AOP＝∠DOQ，∴△AOP∽△DOQ，∴＝，∴＝，∵∠AOD＝∠POQ，∴△AOD∽△POQ，∴∠OPQ＝∠OAD＝45°，∴∠APD＝∠QPD＝45°，∠APQ＝90°，∵DM⊥PM，DN⊥PQ，∴DM＝DN，易证四边形PMDN是正方形，∴PN＝PM＝DM＝DN，∠MDN＝90°，∵∠MDN＝∠ADC＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，∵∠M＝∠DNQ＝90°，DM＝DN，∠ADM＝∠QDN，∴△DAM≌△DQN，∴AM＝MQ，∴PA+PQ＝PM﹣AM+PN+NQ＝2PN，∵PA＝AG＝BG，2PN＝PD，∴PQ＝（PD﹣BG）；（2）如图2中，作PM⊥AB交AB的延长线于M，PN⊥BC于N．∵∠PNE＝∠C＝90°，∠PEN＝∠DEC，PE＝DE，∴△PNE≌△DCE，∴CD＝PN，∵∠PAB＝∠PAE，PM⊥AM，PN⊥AF，∴PM＝PF，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝∠PEF，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝∠PEN，∴∠PEF＝∠PEN，∵PF⊥EF，PN⊥EB，∴PN＝PF，∵AB＝CD，四边形BMPN是矩形，∴AB＝BM＝PM＝PN＝BN＝PF，设AB＝BM＝PM＝x，则AM＝AF＝2x，EF＝EN＝CE＝2x﹣a，∵BC＝BN+CN，∴x+2（2x﹣a）＝a，∴x＝a，∴PB＝x＝ a。