2024届天津一中市级名校中考适应性考试数学试题含解析

2024学年天津一中市级名校中考适应性考试数学试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．据调查，某班20为女同学所穿鞋子的尺码如表所示， 尺码（码） 34 35 36 37 38 人数 2 5 10 2 1
则鞋子尺码的众数和中位数分别是( )
A ．35码，35码
B ．35码，36码
C ．36码，35码
D ．36码，36码
2．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ）
A ．x ＝0
B ．x ＝3
C ．10x =，23x =-
D ．10x =，23x =
3．如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1，2，3，4，5，6的铁片．如果把其中编号为2，4的铁片取下来，再先后把它们穿回到铁环上的仼意位置，则铁环上的铁片（无论沿铁环如何滑动）不可能排成的情形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．8
5．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ）
A ．33
B ．55
C ．233
D ．255
6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 7．下列函数中，y 随着x 的增大而减小的是（ ）
A ．y=3x
B ．y=﹣3x
C ．3y x =
D ．3y x
=- 8．已知关于x 的不等式ax ＜b 的解为x ＞-2，则下列关于x 的不等式中，解为x ＜2的是（ ）
A ．ax+2＜-b+2
B ．–ax-1＜b-1
C ．ax ＞b
D ．1x a b
<- 9．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图所示．其中阅读时间是8~10小时的频数和频率分别是（ ）
A ．15，0.125
B ．15，0.25
C ．30，0.125
D ．30，0.25
106 的相反数是 （ ）
A ．6
B 6
C 6
D 6-二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．分解因式：2363m m -+=__________．
12．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（a ，3），点B 的坐标是（4，b ），若点A 与点B 关于原点O 对称，则ab=_____．
13．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，⊙C 的半径为1，点P 是斜边AB 上的点，过点P 作⊙C 的
一条切线PQ（点Q是切点），则线段PQ的最小值为_____．
14．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2
x
（x＞0）的图象经过矩形OABC的边AB、BC的中点E、F，则四边形
OEBF的面积为________．
15．因式分解：2b2a2﹣a3b﹣ab3=_____．
16．计算（﹣3）+（﹣9）的结果为______．
17．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为__________ ．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
19．（5分）发现
如图1，在有一个“凹角∠A1A2A3”n边形A1A2A3A4……A n中（n为大于3的整数），∠A1A2A3＝
∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+……+∠A n﹣（n﹣4）×180°．
验证如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D．证明3，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明；∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°．
延伸如图4，在有两个连续“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的四边形A1A2A3A4……A n中（n为大于4的整数），
∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠A n﹣（n﹣）×180°．
20．（8分）对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图．
（1）已知点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（3，3），则点A，B的“确定圆”的面积为______；
（2）已知点A的坐标为（0，0），若直线y＝x＋b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；
（3）已知点A在以P（m，0）为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线
3
3
=
y x上，若要使所有点A，B的
“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．
21．（10分）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A
求作：直线AP，使得AP∥l
作法：如图
①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．
②连接AC，AB，延长BA到点D；
③作∠DAC的平分线AP．
所以直线AP就是所求作的直线
根据小星同学设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）
完成下面的证明
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）
∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（填推理的依据）
∴∠DAC＝2∠ABC
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAC＝2∠DAP
∴∠DAP＝∠ABC
∴AP∥l（填推理的依据）
22．（10分）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. 填空：∠ABC= °，BC= ；判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1．sin∠A=4
5
，点D是BC的中点，点P是AB上一动点（不与
点B重合），延长PD至E，使DE=PD，连接EB、EC．
（1）求证；四边形PBEC是平行四边形；
（2）填空：
①当AP的值为时，四边形PBEC是矩形；
②当AP的值为时，四边形PBEC是菱形．
24．（14分）为响应“植树造林、造福后人”的号召，某班组织部分同学义务植树180棵，由于同学们的积极参与，实际参加的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵，问实际有多少人参加了这次植树活动？
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解题分析】
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【题目详解】
数据36出现了10次，次数最多，所以众数为36，
一共有20个数据,位置处于中间的数是：36,36,所以中位数是(36+36)÷2=36.
故选D.
【题目点拨】
考查中位数与众数，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数是解题的关键.
2、D
【解题分析】
先将方程左边提公因式x，解方程即可得答案．
【题目详解】
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：D．
【题目点拨】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
3、D
【解题分析】
摘掉铁片2，4后，铁片1，1，5，6在铁环上按逆时针排列，无论将铁片2，4穿回哪里，铁片1，1，5，6在铁环上的顺序不变，观察四个选择即可得出结论．
【题目详解】
解：摘掉铁片2，4后，铁片1，1，5，6在铁环上按逆时针排列，
∵选项A，B，C中铁片顺序为1，1，5，6，选项D中铁片顺序为1，5，6，1．
故选D．
【题目点拨】
本题考查了规律型：图形的变化类，找准铁片1，1，5，6在铁环上的顺序不变是解题的关键．
4、C
【解题分析】
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=1
2 CD，
∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=CE，
设OE=CE=x，∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=22，
即：CE=22，
∴CD=42，
故选C．
5、D
【解题分析】
过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，AB=22
1310
+=，AD=22
2222
+=，
cosA=AD
AB
=
22
10
=
25
5
，
故选D．
6、C
【解题分析】
先根据勾股定理求出BC得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可．
【题目详解】
如图，根据勾股定理得，BC==12，
∴sinA=．
故选C．
【题目点拨】
本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．7、B
【解题分析】
试题分析：A 、y=3x ，y 随着x 的增大而增大，故此选项错误；
B 、y=﹣3x ，y 随着x 的增大而减小，正确；
C 、3y x
=，每个象限内，y 随着x 的增大而减小，故此选项错误； D 、3y x
=-
，每个象限内，y 随着x 的增大而增大，故此选项错误； 故选B ． 考点：反比例函数的性质；正比例函数的性质．
8、B
【解题分析】
∵关于x 的不等式ax ＜b 的解为x ＞-2，
∴a<0，且2b a
=-，即2b a =-， ∴（1）解不等式ax+2＜-b+2可得：ax<-b ，2b x a >-
=，即x>2； （2）解不等式–ax-1＜b-1可得：-ax<b ，2b x a <-
=，即x<2； （3）解不等式ax>b 可得：2b x a
<=-，即x<-2； （4）解不等式1x a b <-可得：12a x b >-=，即12
x >； ∴解集为x<2的是B 选项中的不等式.
故选B.
9、D
【解题分析】
分析：
根据频率分布直方图中的数据信息和被调查学生总数为120进行计算即可作出判断.
详解：
由频率分布直方图可知：一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的：频率：组距=0.125，而组距为2，
∴一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的频率=0.125×2=0.25，
又∵被调查学生总数为120人，
∴一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的频数=120×0.25=30.
综上所述，选项D 中数据正确.
故选D.
点睛：本题解题的关键有两点：（1）要看清，纵轴上的数据是“频率：组距”的值，而不是频率；（2）要弄清各自的频
数、频率和总数之间的关系.
10、A
【解题分析】
根据相反数的定义即可判断.
【题目详解】
的相反数是
故选A.
【题目点拨】
此题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟知相反数的定义即可求解.
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、3（m-1）2
【解题分析】
试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可，即3m 2-6m +3=3（m 2-2m +1）=3（m-1）2.
故答案为：3（m-1）2
点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2
222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 12、1
【解题分析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a ，b 的值，进而得出答案．
【题目详解】∵点A 的坐标为（a ，3），点B 的坐标是（4，b ），点A 与点B 关于原点O 对称，
∴a=﹣4，b=﹣3，
则ab=1，
故答案为1．
【题目点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.
13 ．
【解题分析】
当PC ⊥AB 时，线段PQ 最短；连接CP 、CQ ，根据勾股定理知PQ 2=CP 2﹣CQ 2，先求出CP 的长，然后由勾股定理即可求得答案．
【题目详解】
连接CP 、CQ ；如图所示：
∵PQ 是⊙C 的切线，∴CQ ⊥PQ ，∠CQP =90°，根据勾股定理得：PQ 2=CP 2﹣CQ 2，∴当PC ⊥AB 时，线段PQ 最短． ∵在Rt △ACB 中，∠A =30°，BC =2，∴AB =2BC =4，AC =23，∴CP =AC BC AB ⋅=2324⨯=3，∴PQ =22CP CQ -=312-=
，∴PQ 的最小值是2．
故答案为：2． 【题目点拨】
本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC ⊥AB 时，线段PQ 最短是关键． 14、2
【解题分析】
设矩形OABC 中点B 的坐标为()a b ，，
∵点E 、F 是AB 、BC 的中点，
∴点E 、F 的坐标分别为：1(?)2a b ，
、1
()2
a b ，， ∵点E 、F 都在反比例函数2y x
=的图象上， ∴S △OCF =1122a b ⨯⋅=1212⨯=，S △OAE =1212⨯=， ∴S 矩形OABC =4ab =，
∴S 四边形OEBF = S 矩形OABC - S △OAE -S △OCF =4112--=.
即四边形OEBF 的面积为2.
点睛：反比例函数k y x =中“k ”的几何意义为：若点P 是反比例函数k y x
=图象上的一点，连接坐标原点O 和点P ，
过点P向坐标轴作垂线段，垂足为点D，则S△OPD=1
2 k.
15、﹣ab（a﹣b）2
【解题分析】
首先确定公因式为ab，然后提取公因式整理即可．
【题目详解】
2b2a2﹣a3b﹣ab3=ab（2ab-a2-b2）=﹣ab（a﹣b）2，所以答案为﹣ab（a﹣b）2. 【题目点拨】
本题考查了因式分解-提公因式法，解题的关键是掌握提公因式法的概念.
16、-1
【解题分析】
试题分析：利用同号两数相加的法则计算即可得原式=﹣（3+9）=﹣1，
故答案为﹣1．
17、16
【解题分析】
设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：
π·4
=8
180
n
，解得
360
π
n=
所以
2
2
360
S==16
360360
扇形
π4
πrπ
=
n
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、(1)PM＝PN，PM⊥PN；(2)△PMN是等腰直角三角形，理由详见解析；(3)49
2
．
【解题分析】
（1）利用三角形的中位线得出PM＝1
2
CE，PN＝
1
2
BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位
线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝1
2
BD，PN＝
1
2
BD，即可得出PM＝PN，
同（1）的方法即可得出结论；
（3）方法1、先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．
方法2、先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可．
【题目详解】
解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝1
2 BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝1
2 CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN，
（2）由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN＝1
2
BD，PM＝
1
2
CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
（3）方法1、如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A上面，
∴MN最大＝AM+AN，
连接AM，AN，
在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，
∴AM＝22，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝52，
∴MN最大＝22+52＝72，
∴S△PMN最大＝1
2
PM2＝
1
2
×
1
2
MN2＝
1
4
×（72）2＝
49
2
．
方法2、由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝1
2 BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝14，
∴PM＝7，
∴S△PMN最大＝1
2
PM2＝
1
2
×72＝
49
2
【题目点拨】
本题考查旋转中的三角形,关键在于对三角形的所有知识点熟练掌握.
19、（1）见解析；（2）见解析；（3）1．
【解题分析】
（1）如图2，延长AB交CD于E，可知∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，即可解答
（2）如图3，延长AB交CD于G，可知∠ABC＝∠BGC+∠C，即可解答
（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1A n于B，可知∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，再找出规律即可解答
【题目详解】
（1）如图2，延长AB交CD于E，
则∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，
∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D；
（2）如图3，延长AB交CD于G，则∠ABC＝∠BGC+∠C，
∵∠BGC＝180°﹣∠BGC，∠BGD＝3×180°﹣（∠A+∠D+∠E+∠F），
∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣310°；
（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1A n于B，
则∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，
∵∠1+∠3＝（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A1……+∠A n），
而∠2+∠4＝310°﹣（∠1+∠3）＝310°﹣[（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A1……+∠A n）]，
∴∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A1……+∠A n﹣（n﹣1）×180°．
故答案为1．
【题目点拨】
此题考查多边形的内角和外角，，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质，属于中考常考题型
20、（1）25π；（2）点B的坐标为
3232
⎛
⎝⎭
或
3232
⎝⎭
；（3）m≤－5或m≥2
【解题分析】
(1)根据勾股定理，可得AB的长，根据圆的面积公式，可得答案；
(2)根据确定圆,可得l与⊙A相切,根据圆的面积,可得AB的长为3,根据等腰直角三角形的性质,可得
32
2
BE AE
==，
可得答案；
(3)根据圆心与直线垂直时圆心到直线的距离最短,根据确定圆的面积,可得PB的长,再根据30°的直角边等于斜边的一半，可得CA的长.
【题目详解】
（1）(1)∵A的坐标为(−1,0)，B的坐标为(3,3)，
∴22
3+4=5，
根据题意得点A，B的“确定圆”半径为5，
∴S圆=π×52=25π．
故答案为25π；
（2）∵直线y＝x＋b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积
为9π，
∴⊙A的半径AB＝3且直线y＝x＋b与⊙A相切于点B，如图，
∴AB⊥CD，∠DCA＝45°．
，
①当b＞0时，则点B在第二象限．
过点B作BE⊥x轴于点E，
∵在Rt△BEA中，∠BAE＝45°，AB＝3，
∴
32
2
BE AE
==．
∴
3232
,
22
B
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
．
②当b＜0时，则点B'在第四象限．
同理可得
3232
,
22
B
⎛⎫'-
⎪⎝⎭
．
综上所述，点B的坐标为
3232
,
22
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
或
3232
,
22
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．
（3）如图2，
，
直线
3
3
3
=-
y x当y＝0时，x＝3，即C（3，0）．
∵tan∠BCP＝
3
3
，
∴∠BCP＝30°，∴PC＝2PB．
P到直线
3
3
3
=-+
y x的距离最小是PB＝4，
∴PC＝1．
3－1＝－5，P1（－5，0），
3＋1＝2，P（2，0），
当m≤－5或m≥2时，PD的距离大于或等于4，点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π．
点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，m的范围是m≤－5或m≥2．
【题目点拨】
本题考查了一次函数综合题，解（1）的关键是利用勾股定理得出AB的长；解（2）的关键是等腰直角三角形的性质
得出
32
2
BE AE
==；解（3）的关键是利用30°的直角边等于斜边的一半得出PC=2PB.
21、(1)详见解析；（2）（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【解题分析】
（1）根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．
【题目详解】
解：（1）如图所示，直线AP即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），
∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），
∴∠DAC＝2∠ABC，
∵AP 平分∠DAC ，
∴∠DAC ＝2∠DAP ，
∴∠DAP ＝∠ABC ，
∴AP ∥l （同位角相等，两直线平行），
故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．
【题目点拨】
本题主要考查作图能力，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定．
22、 (1) (2)△ABC ∽△DEF .
【解题分析】
（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC 的度数，根据，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC 的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC 与△DEF 相似．
【题目详解】
(1)9045135ABC ∠=+=，
BC ===
故答案为
(2)△ABC ∽△DEF .
证明：∵在4×
4的正方形方格中， 135,9045135ABC DEF ∠=∠=+=，
∴∠ABC =∠DEF .
∵2,2,AB BC FE DE ====
∴
2AB BC DE FE ==== ∴△ABC ∽△DEF .
【题目点拨】
考查勾股定理以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
23、证明见解析；（2）①9；②12.5.
【解题分析】
（1）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形证明即可；（2）①若四边形PBEC是矩形，则∠APC=90°，求得AP即可；
②若四边形PBEC是菱形，则CP=PB，求得AP即可．
【题目详解】
∵点D是BC的中点，∴BD=CD．
∵DE=PD，∴四边形PBEC是平行四边形；
（2）①当∠APC=90°时，四边形PBEC是矩形．
∵AC=1．sin∠A=4
5
，∴PC=12，由勾股定理得：AP=9，∴当AP的值为9时，四边形PBEC是矩形；
②在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=1．sin∠A=4
5
，所以设BC=4x，AB=5x，则（4x）2+12=（5x）2，解得：x=5，∴AB=5x=2．
当PC=PB时，四边形PBEC是菱形，此时点P为AB的中点，所以AP=12.5，∴当AP的值为12.5时，四边形PBEC 是菱形．
【题目点拨】
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、矩形的判定，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．24、45人
【解题分析】
解：设原计划有x人参加了这次植树活动
依题意得：180180
2
1.5
x x
=+
解得x=30人
经检验x=30是原方程式的根
实际参加了这次植树活动1.5x=45人答实际有45人参加了这次植树活动．。