概率建模真题

§2 在数模竞赛中用到概率论的一些实例
一、（2002年全国数模竞赛B 题）彩票中的数学
要求对各种彩票的设置方案，计算各个奖项的中奖概率、奖金额，以及对彩民的吸引力，评价各种方案的合理性，设计一种“更好”的方案，给彩票管理部门提出建议。

目前流行的彩票主要有下列两种类型： （1）“传统型”
例（“10选6+1”）投注者从0～9这10个号码中选出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4这5个号码中选出1个特别号码，构成一注。

开奖时，从0～9中摇出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从0～4中摇出1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级，如下表所示（其中abcdef 为摇出的基本号码，g 为摇出的特别号码，X 为其他号码）：
投注者选的每个基本号码，与摇出号码相符的概率都是10
1，不符的概率是10
9。

选的特
别号码，与摇出号码相符的概率是
5
1，选错的概率是
5
4。

因为各位号码的选对与否，是相
互独立的，所以，一组投注号码中奖的概率，等于各位号码选对与否的概率的乘积，即有
0000002.051)101(}{6
=⨯=一等奖P ； 0000008.05
4)101(
}{6=⨯=二等奖P ； 000018.0109)10
1(2}{5=⨯
⨯=三等奖P ；
000243.0109
)101(
3}{2
4
=⨯⨯=）（四等奖P ； 002916.010
9)101
(4}{3
3
=⨯⨯=）（五等奖P ； 032805.010
9)10
1(
5}{42=⨯⨯=）（
六等奖P 。

（2）“乐透(lottery)型”
例（“36选6+1”）投注者从01～36这36个号码中选出7个号码（无重复，不考虑排列次序），构成一注。

开奖时，从01～36中摇出6个基本号码（无重复，不考虑排列次序）和1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级，如下表所示（其中O 为摇出的基本号码，★为摇出的特别号码，X 为其他号码）：
36
从36个号码中任意选7个号码（无重复，不考虑排列次序），有7
36C 种不同选法。

在彩民选
出的7个号码中，恰好有i 个基本号码和j 个特别号码的情况，相当于先从6个基本号码中选i 个，再从1个特别号码中选j 个，再从29个其他号码中选j i --7个，共有j
i j
i
C C C --72916种不同选法，所以，中奖概率为
7
36
729
16}{C C C C j i P j
i j
i
--=
个特别号码个基本号码和
选中 （6,5,4,3=i ，1,0=j ）。

彩民购买一注彩票的金额为2元，获得的奖金金额由下列表格和计算公式给出（以上面的“乐透型36选6+1”为例）：
奖、三等奖称为“高项奖”，奖金额不固定，按照下列公式求出：
高项奖奖金总数低项奖奖金总数
彩票销售总额
-⨯=%50， 高项奖单项奖金总数
这一单项所占的比例
高项奖奖金总数
⨯=，
高项奖单项每注奖金额这一项中奖的投注数
高项奖单项奖金总数=。

高项奖单项每注奖金额，与彩票销售总额和这一项中奖的投注数有关。

但是，如果按照概率计算，可以求出高项奖单项平均每注奖金额，与彩票销售总额无关，与这一项中奖的投注数也无关：
高项奖单项每注奖金额这一项中奖的投注数
高项奖单项奖金总数=
投注数
这一项的中奖概率
所占比例
低项奖奖金总数）
彩票销售总额⨯⨯-⨯=
%50(
投注数
这一项的中奖概率
所占比例投注数）中奖概率低项奖每注奖金额
投注数元⨯⨯⨯⨯-
⨯⨯=
∑%502(
这一项的中奖概率
所占比例
）中奖概率低项奖每注奖金额
元⨯⨯-
⨯=
∑%502( 。

按照这一公式，可以求得高项奖平均每注奖金额为
设投注者每购买一注彩票可以得到的奖金额为随机变量ξ，他能得到的平均奖金额就是ξ的数学期望ξE ，把上面求出的奖金额和中奖概率代入，可以求得
ξE ∑==
i
i i
x P x
}{ξ∑⨯=
中奖概率各项奖每注奖金额
1=（元）。

得到这一结果是必然的，因为，投注者每购买一注彩票付出的金额为2元，按照规定，
返回给彩民的奖金总数为彩票销售总额的50%，所以平均每注彩票的奖金额显然应该就是
元元1%502=⨯ 。

对各种彩票设置方案，都可以用上述方法求出各项奖的中奖概率和奖金额，在此基础上，便可进一步考虑彩票设置方案的合理性，对彩民的吸引力，设计出“更好”的方案来。

二、（2004年国际数模竞赛A 题）指纹是唯一的吗？
人们普遍相信一种说法：在世界上曾经生活过的任何两个人，他们的指纹，都是不相同的。

要求建立一个模型，分析评估一下，这种说法，成立的可能性有多大。

（1）任意选出两个人，他们的指纹相同的概率
设一个指纹中有m 个特征点，在每个特征点处，都有可能出现n 种不同的特征（如：核心、分岔、孤岛、孔洞、三角、端点、交叉、……，等等）。

设在第i 个特征点处，出现各种特征的概率分别为
1i p ，2i p ，…，in p （ 显然有 ∑=n
j ij p 1
1= ）。

于是，在第i 个特征点处，两个人的指纹特征恰好相同的概率，显然应该等于
∑
==
+++n
j j i in
i i p p
p
p
1
2
222
2
1
（ m i ,,2,1 = ）。

设各个特征点相互独立，则在所有m 个特征点处，两个人的指纹特征完全相同的概率就是
∏
∑∑∑∑=====⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m
i n
j j i n
j mj n
j j n
j j
p p p p p 1
1212
12
2
1
2
1 。

作为特例，如果在所有m 个特征点处，出现n 种不同特征的概率都相等，即有
n
p j
i
1= （m i ,,2,1 =，n j ,,2,1 =）。

这时，两个人的指纹特征完全相同的概率就是
∏
∑∏
∑====⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
m
i n j m
i n
j j i n p p 1
121
121m
m
i m
i n
n
n n 1111
1
2=
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
∏
∏
== 。

（2）在世界上曾经生活过的N 个人中，至少有两个人指纹相同的概率
上面，我们已经求出了“任意选出两个人，他们的指纹相同”的概率∏
∑==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
m
i n
j j i p p 1
12。

在此基础上，我们进一步来求“在N 个人中，至少有两个人指纹相同”的概率。

为此，我们先来求“在N 个人中，任何两个人的指纹都不相同”的概率。

将这N 个人编号为：第1人，第2人，…，第N 人。

第1人与第2人指纹相同的概率为p ，第1人与第2人指纹不同的概率为p -1。

在已知第1人、第2人指纹不同的条件下，第3人与第1人、第2人中至少一人指纹相同的概率为p p p 2=+，第3人与前两人指纹都不同的概率为p 21-。

在已知第1人、第2人、第3人指纹都不同的条件下，第4人与第1人、第2人、第3人中至少一人指纹相同的概率为p p p p 3=++，第4人与前三人指纹都不同的概率为
p 31-。

……
在已知第1人、第2人、…、第1-N 人指纹都不同的条件下，第N 人与前1-N 人中至少一人指纹相同的概率为p N )1(-，第N 人与前1-N 人指纹都不同的概率为
p N )1(1--。

所以，“在N 个人中，任何两个人的指纹都不相同”的概率为
∏-=-=
-----1
1
)1(])1(1[)31)(21)(1(N k kp p N p p p 。

“在N 个人中，至少有两个人的指纹相同”的概率为
∏-=--
1
1
)1(1N k kp 。

作为特例，当m
n
p 1=
时，有
∏
-=--
1
1
)1(1N k kp ∏
-=-
-
=1
1
)1(1N k m
n
k )11()21)(11(1m
m
m
n
N n
n
--
-
-
-=
N
m
m
m
m
m n N n
n
n
n )
()
1()2)(1(1+----
= N
m
N
n n P m )
(1-
= 。

（3）概率∏-=--1
1
)1(1N k kp 的计算
上面求出了“在N 个人中，至少有两个人指纹相同”的概率∏-=--1
1
)1(1N k kp ，在这个式
子中，要计算多达1-N 项的连乘积，当N 很大时（例如N 是世界上曾经生活过的人口数），这个连乘积，即使用计算机，也是很难计算的。

所以，我们要考虑它的近似计算。

设
∏-=-1
1
)
1(N k kp 1
1332210)
)(()()()()(---++-+-=N N p N F p N F p N F p N F N F
∑-=-=
1
)
)((N i i
i
p N F
其中，)(N F i 是展开式中i p )(-的系数，当0<i 或N i ≥时规定0)(=N F i 。

由于
∑=-+N
i i
i
p N
F 0
))(1(∏=-=
N
k kp 1
)1(∏-=--=1
1
)
1()1(N k kp Np ∑-=--=1
))(()1(N i i
i p N F Np
∑∑-=+-=-+
-=
1
1
1
)
)(()
)((N i i i
N i i
i
p N NF
p N F ∑∑=--=-+
-=
N
i i
i N i i
i
p N NF
p N F 1
1
1
))(()
)((
∑=--+=
N
i i
i i
p N NF
N F 0
1
))](()([ ，
对比等式两边，可以看出，有递推公式：
)()()1(1N NF N F N F i i i -+=+ （N i ,,2,1 =）。

再加上显然有1)(0=N F ，就可以逐步递推得到
2)1()(1N
N N F -=
，
24
)
13()1)(2()(2---=
N N N N N F ，
48
)1)(2)(3()(2
23N
N N N N F ---=
，
5760
)
253015()1)(2)(3)(4()(2
3
4++-----=
N N
N
N N N N N N F ，
…… 。

即有
∏-=--
1
1
)
1(1N k kp ∑-=--
=1
)
)((1N i i
i
p N F -+-=3
3221)()()(p N F p N F p N F
p N
N 2
)1(-=
2
24
)
13()1)(2(p N N N N ----
----+
3
2
248
)1)(2)(3(p N
N N N 。

作为特例，设一个指纹中共有25个特征点，每个特征点处可能出现10种不同的特征，出现各种特征的概率都相等，即有 25=m ，10=n ，25
25
10
10
11-==
=
m
n
p 。

设在世界上曾经生活过的人口数为300亿，即10103⨯=N 。

代入上面的公式，可以求得“在世界上曾经生活过的N 个人中，至少有两个人指纹完全相同”的概率为
∏-=--
1
1
)1(1N k kp
p N
N 2
)1(-=
2
24
)
13()1)(2(p N N N N ----
----+
3
2
248
)1)(2)(3(p N
N N N
25
10
10
10
2
103)110
3(-⨯⨯⨯-⨯=
50
10
10
10
10
10
24
)
11033(103)110
3()210
3(-⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯-
-⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯+
-75
2
10210
10
10
10
48
103)110
3()210
3()310
3(）
（
≈ +-1250000000010.00000000450000.0≈000045.0 。

这个概率非常小，也就是说，“在世界上曾经生活过的人中，至少有两个人指纹完全相同”的概率几乎等于0。

由此可见，“在世界上曾经生活过的任何两个人，他们的指纹，都是不相同的”这种说法，是完全可信的。

三、（2006年华东地区数学建模邀请赛第一题）乒乓赛问题
A 、
B 两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为321,,ααα和321,,βββ）。

根据过去的比赛记录，可以预测出
如果A 队以i α次序出场而B 队以j β次序出场，则打满5局A 队可胜j i a 局。

由此得矩阵
)(j i a R =如下：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=
13
5430412
3
21321
αααβββR （1）根据矩阵R 能否看出哪一队的实力较强？
（2）如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ （3）如果你是A 队的教练，你会采取何种出场顺序？
首先要弄清楚：矩阵R 中的元素j i a 到底表示什么意思？是不是表示：如果A 队以i α次序出场而B 队以j β次序出场，A 队在5局中可以百分之百保证一定会胜j i a 局？显然不是这个意思，比较合理的看法，应该认为它只是对A 队平均获胜局数的一个估计。

当A 队以i α次序出场、B 队以j β次序出场时，设这时A 队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数j i p ，并且假设各局是否获胜是相互独立的（实际上也许并不是这样，但是题目中给我们的信息太少，我们只能这样假设）。

这样，5局比赛就是一个独立重复试验序列。

设ξ是A 队在5局比赛中获胜的局数，显然，ξ服从二项分布),5(j i p b ，概率分布为
k
j i k
j i k
p p C k P --==55)
1(}{ξ，5,,1,0 =k 。

容易求得它的数学期望为
j i p E 5=ξ 。

如果我们认为矩阵R 中元素j i a 给出的数据，不是完全确定的结果，而是估计A 队在5局比赛中平均获胜的局数，则有
j
i
a j i p E 5==ξ 。

这样，就可以得到j i p 的估计值
5
5
j
i j
i
a E p ==ξ 。

对应于矩阵==)(j i a R ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡13
5
430
412，我们可以得到这样一个矩阵
)(j i p P =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡=2.06
.01
8.06.00
8.02.04.0 。

要比较A ，B 两队实力的大小，可以比较两队在每一局比赛中获胜的平均概率大小。

矩阵)(j i p P =中的9个元素，是在9种不同的出场次序下A 队每局获胜的概率。

假设这9种不同的出场次序出现的概率相同，都是91，那么，根据全概率公式，就可以求出A 队在每一局比赛中获胜的平均概率
511111.09
6.49
2
.06.018.06.008.02.04.0==++++++++ ，
这个概率超过了5.0，也就是说，从每一局比赛来说，A 队的实力比B 队略微强一些。

以上是从每一局比赛获胜概率的大小来比较实力，但是，比赛实际上是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。

下面我们来计算在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率： A 队最后获胜，可以分成下列几种情况： （1）A 队连胜三局。

这种情况的概率为 3
j i p ；
（2）在前三局中A 队胜二局，最后A 队又胜一局。

这种情况的概率为
)1(3)1(3
2
2
3j i j i j i
j i j i p p p p p C -=- ；
（3）在前四局中A 队胜二局，最后A 队又胜一局。

这种情况的概率为
2
32
2
2
4)1(6)1(j i j i j
i
j i j i p p p p p C -=- ；
把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率
=j
i
q 2
333)1(6)1(3j i j i j i j i j
i
p p p p p -+-+
)]21(6)1(31[2
3
j i j i j i j i p p p p +-+-+=)61510(2
3
j i j i j i p p p +-= 。

根据以上公式，从矩阵)(j i p P =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡=2.06
.01
8.06.00
8.02.04.0 出发，可以计算出这样一个矩阵 ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==05792.068256
.0194208.068256.00
94208.005792.031744
.0)(j i q Q 。

矩阵Q 中元素j i q 表示：当A 队以i α次序出场、B 队以j β次序出场时，在五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率（也就是B 队最后失败的概率）。

如果两队都随机排阵，9种出场次序出现的可能性相等，都是91，根据全概率公式，就可以算出A 队在五局三胜制比赛中最后获胜的平均概率
9
05792
.068256.0194208.068256.0094208.005792.031744.0++++++++
520284.0= 。

这个数字大于5.0，同样也说明A 队的实力比较强。

下面来看，如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？
什么是“稳妥的方案”？我们的理解是：所谓“稳妥的方案”，就是对自己的每一种出场次序，都考虑最坏的情况，求出在最坏的情况下，我方失败的概率是多少，然后在各种出场次序中，选择一种最坏情况下失败概率最小的出场次序，作为我方的排阵方案。

从矩阵 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
=05792.068256
.0194208
.068256.0094208.005792.031744
.0)(3
213
2
1
αααβββj i q Q （其中的元素j i q ，是A
队获胜的概率，也是B 队失败的概率）可以看出：
对于B 队来说，采用出场次序1β时，最坏情况是A 队采用出场次序3α，B 队失败概率为1；采用出场次序2β时，最坏情况是A 队采用出场次序2α或3α，B 队失败概率为
68256.0；采用出场次序3β时，最坏情况是A 队采用出场次序1α或2α，B 队失败概率为94208.0。

3个失败概率中，68256.0为最小，所以，B 队最稳妥的方案是采用出场次序2β。

对于A 队来说，采用出场次序1α时，最坏情况是B 队采用出场次序2β，A 队获胜概率为05792.0；采用出场次序2α时，最坏情况是B 队采用出场次序1β，A 队获胜概率为0；采用出场次序3α，最坏情况是B 队采用出场次序3β，A 队获胜概率为05792.0。

3个获胜概率中，05792.0为最大，所以，A 队最稳妥的方案是采用出场次序1α或3α。

那么，A 队到底采用1α还是3α呢？如果A 队预料到B 队一定会采用最稳妥的出场次序2β，那么，这时A 队采用1α，获胜的概率只有05792.0，A 队采用3α，获胜的概率就会有68256.0，当然，A 队应该采用3α。

但是，如果B 队又预料到A 队会采用3α，那么，B 队就不会采用失败概率为68256.0的2β，而是应该采用失败概率更小（失败概率为05792.0）的3β。

如果A 队又预料到B 队会采用3β，A 队又会改变出场次序。

……。

这样的推理，可以无穷无尽地进行下去。

其实，这是一个博弈论（Game Theory ）中的两人零和博弈（Zero-Sum Two-Person Game ）
问题。

A 队可以采用的3种出场次序321,,ααα，是A 队可以采用的3种策略；B 队可以采用的3种出场次序321,,βββ，是B 队可以采用的3种策略。

矩阵)(j i q Q =是A 队的得分矩阵，也是B 队的失分矩阵（支付矩阵Payout Matrix ）。

当博弈的双方都只采用一种固定的策略（称为纯策略）时，两人零和博弈问题要得到一个稳定的解，矩阵)(j i q Q =中必须有一个鞍点（Saddle Point ），即在同一列中取到最大值、又在同一行中取到最小值的元素。

在矩阵)(j i q Q =中找不到这样的鞍点，所以，这个问题不可能有一个稳定的纯策略解。

但是，在这种情况下，可以考虑混合策略解。

所谓混合策略，就是博弈双方不是固定采用一种纯策略，而是以某种概率混合采用各种策略。

设A 队以概率321,,x x x 采用策略321,,ααα。

因为321,,x x x 是概率，所以必须满足
1321=++x x x ，01≥x ，02≥x ，03≥x 。

设z 是A 队采用这种混合策略时，不管B 队采用什么策略，A 队的得分（最后获胜概率）能够保证的最小值。

由全概率公式可知，当B 队采用纯策略j β时，A 队的得分（最后获胜概率）为
332211x q x q x q j j j ++ ，3,2,1=j 。

因为z 是A 队的得分（最后获胜概率）能够保证的最小值，所以必须有
332211x q x q x q j j j ++z ≥ ，3,2,1=j 。

容易看出，只要上述不等式成立，当B 队以某种概率混合采用各种策略时，A 队的得分同样也可以保证大于z ，所以不必另外再列式子了。

A 队的目标，是要使得这个能够保证的最小得分达到最大，所以，整个问题就可以表示成一个线性规划问题：
目标函数 z max
约束条件 ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧≥≥≥=++≥++≥++≥++0
,0,01321321333223113332222112331221111x x x x x x z x q x q x q z x q x q x q z x q x q x q 。

解这个线性规划问题，可以求得：A 队采用策略321,,ααα的概率应该分别为
235987.01=x ，303772.02=x ，460241.03=x ，
当A 队采用这种混合策略时，A 队能够保证的获胜概率为 535135.0=z 。

对于B 队，也可以列出类似的线性规划问题，正好是上述A 队问题的对偶问题。

解这个对偶的线性规划问题，可以求得：B 队采用策略321,,βββ的概率应该分别为
378901.01=y ，192556.02=y ，428543.03=y ，
当B 队采用这种混合策略时，B 队能够保证的获胜概率为 464865.0='z 。

混合策略是以一定的概率混合采用各种策略，但是实际上，在一次具体的比赛中，必须取定其中的一种策略，到底取那一种呢？这又是一个值得研究的问题。

四、（2000年国际数模竞赛A 题）空中交通管理
一个空中交通管理员，负责管理一个空中区域。

现在的问题是：
（1）为了避免区域中飞机发生碰撞，管理员在什么情况下，必须对飞机的飞行进行干涉处理？
（2）从管理员工作量的角度来看，怎样测量空中交通管理的复杂度？这个复杂度与区域中飞机的架数是什么关系？
解决问题（1）的关键是：已知两架飞机现在的位置、飞行的方向和速度，判断这两架飞机会不会碰撞。

这是一个物体运动问题，实际上，可以化为一个几何问题来求解，是比较容易解决的。

因为我们主要关心的是概率论在数模竞赛中的应用，这个几何问题的解法就不在此详细讨论了。

解决问题（2）的关键是：怎样计算管理员的工作量？ 管理员的工作量与他管理空中交通的工作方式有关。

设想管理员用下列方式管理这个区域的空中交通：每当一架飞机进入区域时，就计算一下它会不会与现在已经在区域内的任何一架飞机发生碰撞。

如果会发生碰撞，就调整一次它的飞行路线。

调整后，再计算它会不会发生碰撞。

如果会发生碰撞，再调整一次它的飞行路线。

调整后，再计算它会不会发生碰撞。

……。

这样一直进行下去，直到这架飞机不会与区域内任何一架飞机发生碰撞为止。

管理员的工作量由下列两部分组成：
（1）计算是否碰撞：设一共要计算ξ次，每一次计算的工作量为1W 。

（2）调整飞行路线：设一共要调整1-ξ次（从上面的流程图可以看出，调整总是要比计算
少1次），每一次调整的工作量为2W 。

所以，每一架飞机进入区域，管理员的工作量为
22121)()1(W W W W W W -+=-+=ξξξ ，
平均工作量，即工作量W 的数学期望为
221)(W E W W EW -+=ξ 。

设p 是一架飞机进入区域时，它与区域内任何一架飞机都不碰撞的概率。

从上面的流程图可以看出，完成这架飞机的飞行路线管理工作，保证这架飞机与区域内任何一架飞机都不碰撞，只需要计算1次的概率为
p P ==}1{ξ ，
完成这架飞机的飞行路线管理工作，需要计算2次，调整1次的概率为
p p P )1(}2{-==ξ ，
完成这架飞机的飞行路线管理工作，需要计算3次，调整2次的概率为
p p P 2
)1(}3{-==ξ ，
……，
一般地，完成这架飞机的飞行路线管理工作，需要计算k 次，调整1-k 次的概率为
p p k P k 1
)
1(}{--==ξ 。

由此可见，所需计算次数ξ服从几何分布，即有ξ～)(p g ，它的数学期望p
E 1=
ξ。

设0p 是一架飞机进入区域时，它与区域内的某一架飞机不碰撞的概率。

概率0p 可以通过随机模拟的方法求出，具体做法是：在区域边界上随机地取一个点，作为进入区域的飞机的位置，随机地确定这架飞机飞入区域的飞行路线。

再在区域内部随机地取一个点，作为区域内的飞机的位置，随机地确定这架飞机的飞行路线。

然后判断这两架飞机会不会碰撞（在问题（1）的解答中已经给出了判断方法）。

这作为一次模拟试验。

重复多次做这样的模拟试验，计算出飞机不碰撞的频率（即不碰撞的试验次数与总的试验次数之比）。

随着试验次数越来越多，不碰撞的频率会越来越接近不碰撞的概率0p ，这样，就得到了0p 的近似值。

设区域内共有N 架飞机，作为近似，设这些飞机是相互独立的。

由于一架飞机进入区域时，它与区域内的某一架飞机不碰撞的概率为0p ，所以，一架飞机进入区域时，它与区
域内N 架飞机中的任何一架飞机都不碰撞的概率为N
p p 0=。

这样，就有
221)(W E W W EW -+=ξ22
1W p
W W -+=
20
2
1W p
W W N -+=。

同时，上式中的1W 也与N 有关。

1W 是一架飞机进入区域时，判断它是否与区域内N 架飞机都不碰撞所需的计算工作量。

设0W 是一架飞机进入区域时，判断它是否与区域内某一架飞机碰撞所需的计算工作量。

显然应该有
01NW W = 。

所以，
EW 20
2
1W p
W W N
-+=
20
2
W p
W NW
N -+=。

这只是一架飞机进入区域时管理员的平均工作量。

要考虑空中交通管理的复杂度，不能只考虑这一架飞机进入时管理员的平均工作量，还要考虑管理员整个一天的平均工作量。

设M 是一天24小时内进入区域的飞机总数，显然，一天的工作量应该是一架飞机进入时的工作量的M 倍，即有
EW M ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=2020W p W NW M N 。

但M 也与区域内的飞机数N 有关。

设一天24小时中的每一时刻，区域内的飞机数N 都近似是一个常数。

设T 是平均每架
飞机进入区域后，在区域内飞行的时间（可以用随机模拟的方法，求出T 的近似值）。

则有
N T M 2424==的总的飞行时数
小时，区域内所有飞机
一天 。

因此有
T
N M 24=。

我们把“空中交通管理的复杂度”定义为“管理员一天的平均工作量”。

于是有 空中交通管理的复杂度=管理员一天的平均工作量EW M =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=2020W p W NW M N ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=
20
2024W p W NW T N N ≈N
p kN )1(02 。

因为100<<p ，所以式子中的
110
>p 。

作为N 的函数，复杂度的图像为
从图像可以看出，空中交通管理的复杂度随着飞机架数N的增加而增大，一开始，复杂度增大的速度不是很快，但随着N越来越大，复杂度增大的速度会越来越快。