九年级数学总复习教案十一

第十一章相似形与中考
中考要求及命题趋势
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段、黄金分割；
2、通过具体实例认识图形的相似，理解相似图形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；
3、了解两个三角形相似的概念，理解两个三角形的相似的条件；
4、了解图形的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小；
5、灵活运用图形的相似解决一些实际问题；
6、认识并能画出平面直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点位置写出它的坐标；
7、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；
8、在同一直角坐标系中，感受图形变换后的坐标的变化；
9、灵活运用不同的方式确定物体的位置。

应试对策
1、要掌握基本知识和基本技能；
2、运用相似形的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养数学建模的思想；
3、在综合题中，注意相似形的灵活运用，并熟练掌握等线段、等比代换，等代换技巧的运用，培养综合运用知识的能力；
4、会画直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标，会灵活运用不同的方式确定物体的位置，由点的位置写出它的坐标，
5.在坐标系描述物体的位置。

6.感受图形变化后的坐标的变化
第一节图形的相似与位似
【回顾与思考】
【例题经典】
辨别图形相似与位似
例1．下列说法中不正确的是（）
A．位似图形一定是相似图形; B．相似图形不一定是位似图形;
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比;
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
分析:本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系，A、B、C•正确，因为一对位似对应点与位似中心共线，所以D错误．
会用定义判定相似多边形
例2．在AB=20m，AD=30m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B•′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y 的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．
分析：因为矩形每个角都为90°，所以判断矩形A′B′C′D′和矩形ABCD 是否相似关键在它们的长和宽之比是否相等．灵活应用相似与位似的性质．
例3．如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，•沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（•用点C标出）；
（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m．求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．
分析：位似形的图形必相似但相似的图形不一定位似，位似对应点与位似中心共线．
第二节 相似三角形（1）
【回顾与思考】
相似三角形,⎧⎪
⎧⎪
⎨⎪
⎨⎪
⎪⎪
⎩⎩
定义两对应边的比相等夹角相等判定方法两条对应角相等三条对立边的比相等
【例题经典】
会判定两三角形相似
例1．如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上．
（1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？
分析：注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．
例2．如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ． 分析：结合判定方法补充条件．
例3．如图所示，在△ABC 中，AB=AC=1，点D 、E 在直线BC 上运动，设BD=x ，CE=y ．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC 的度数为α，∠DAE 的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y 与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由．
分析：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．
第三节 相似三角形（2）
【回顾与思考】
【例题经典】
相似三角形性质的应用 例1．如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C
处时，
测得影子CD•的长为1
米，继续往前走2米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高
是1.5米，那么路灯A 的高度等于（ ）
A ．4.5米
B ．6米
C ．7.2米
D ．8米
例2．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少？
图形的放大与缩小
例3．一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm ×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m ×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？
解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解
例4.三角形的两条边长分别为3cm 和4cm ，第三边的长度量数是奇数，那么这个
三角
是形的周长 （ ）B A 、8cm 或10cm B 、10cm 或12cm C 、12cm 或14cm D 、12cm 答案：B
例5.如图8，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 、CE 分别
为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中 的等腰三角形有 （ ）C
A 、6个
B 、7个
C 、8个
D 、9个
图9
图8
A
B C
D
E
F
A B
C P
答案：C
例3.已知：如图9，△ABC 中，P 为AB 上的一点，在下列四
个条件中： ① ∠ACP=∠B ② ∠APC=∠ACB ③ AC 2
=AP ·AB ④ AB ·CP=AP ·CB ，能满足△APC 和 △ACB 相似的条件是 （ ）D
A 、①②④
B 、①③④
C 、②③④
D 、①②③ 答案：D
例4.如图7，在正方形网格上有6个三角形
① △ABC ，② △BCD ，③ △BDE ， ④ △BFG ，⑤ △FGH ，⑥ △EFK ，其中 ②～⑥中与三角形①相似的是 （ ）B A 、②③④ B 、③④⑤ C 、④⑤⑥ D 、②③⑥
A B
C
D
E
F
H
K G 12
3
4
5
6答案：B
图7
例5.如图，在．△ABC 中，AC>AB ，点D 在AC 边上(点D 不与A 、C 重合)，若再增加一个条件就能使△ABD∽△ACB，则这个条件可以是 答案：∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC AD/AB=AB/AC
例6.如图，正方形ABCD 边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动，当DM= 时，△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似．
答案：
5/5或25/5
例7. 如图3，在△ABC 中，如果AB=30cm ，BC=24cm ，
CA=27cm ，AE=EF=FB ，EG ∥DF ∥BC ，FM ∥EN ∥AC ， 图中阴影部分的三个三角形周长的和为 cm ； 答案：81；
例8.在△ABC 中AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相
交所得的锐角为50°，则底角B 的大小为 。

答案：70°或20° 例9. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边三角形ADB ，连结DC ，
以DC 为边作等边三角形DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB=2，求：BE 的值。

. 解：∵∠ADC=60°－∠BDC ，∠BDE=60°－∠BDC ，
∴∠ADC=∠BDE ，
再由AD=BD ，CD=ED ，∴△ADC ≌△BDE
∴AC=BE ，在等腰三角形ABC 中，AB=2，∴AC=1，即BE=1
例10. 如图，△ACB 、△ECD 都是等腰直角三角形，且C 在AD 上，AE 的延长线与BD 交
于F ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。

解：△ACE ≌△BCD ；证明过程如下： ∵△ACB 、△ECD 都是等腰直角三角形 ∴AC=BC ，∠ACE=∠BCD=90°，CE=CD ∴△ACE ≌△BCD
图5
A
B
C
D
F
A
B
C D
E
例11. 如图，已知：AD=AE ，DF=EF ；求证：△ADC ≌△AEB
证明：连结AF AD=AE DF=EF △ADF ≌△AEF AF=AF
∠ADC = ∠
AEB
AD=AE △ADC ≌△AEB
∠DAC = ∠EAB
例12. 如图，F 、C 是线段BE 上的两点，BF=CE ，AB=DE ，∠B=∠E ，QR ∥BE ；
求证：△PQR 是等腰三角形
证明：∵ BF=CE ∴ BC=EF
又∵ ∠B=∠E ，AB=DE ∴ △ABC ≌△DEF ∴ ∠ACB=∠DEF
又∵ QR ∥BE ∴ ∠ACB=∠Q ，∠DFE=∠R ∴ ∠Q=∠R ∴ △PQR 是等腰三角形
A
B
D
E
F
C
A
B
C
D
E F
P
Q R
A
B
C
D
E F P Q
R
A
B
C D
E
F
例13. 如图，在△ABC 中，∠A=90°P 为AC 边的中点，PD ⊥BC ，D 为垂足；
求证：BD 2
－CD 2 = AB
2
证明：连结BP ，在Rt △BPD 中，BD 2
= BP 2
－PD
2
① 在Rt △CDP 中，CD 2= PC 2－PD 2
②
由①－② 得： BD 2
－CD 2
= BP 2
－PC 2
∵ AP=PC ∴ BD 2
－CD 2
= BP 2
－AP 2
又∵ ∠A=90° ∴ 在Rt △ABP 中，AB 2
= BP 2
－AP 2
∴ BD 2
－CD 2
= AB 2
例14. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为DC 中点，直线BE 交AC 于F ，交AD 的延长
线于G ；求证：EF ·BG=BF ·EG
证明：∵ AB ∥DC ∴ △EFC ∽△BFA ，△GDE ∽△GAB
∴ EF/BF = EC/AB ， EG/BG = DE/AB 又∵ DE = EC ∴ EC/AB = DE/AB
∴ EF/BF = EG/BG 即EF ·BG = BF ·EG
A B C
P D
A
C
D
E F
G
A
B C
D
E F
G
A C D
P。