高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第2讲不等式的证明知能训练轻松闯关文北师大版选修4_5

第2讲 不等式的证明
1．如果x >0，比较(x －1)2与(x ＋1)2的大小． 解：(x －1)2－(x ＋1)2
＝[(x －1)＋(x ＋1)][(x －1)－(x ＋1)]
＝－4x .
因为x >0，所以x >0，所以－4x <0，
所以(x －1)2<(x ＋1)2. 2．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b
. 证明：法一：a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b
＝a 3－b 3－ab 2＋a 2b －a 3＋b 3＋a 2b －ab 2
（a 2＋b 2）（a ＋b ）
＝2a 2b －2ab 2（a 2＋b 2）（a ＋b ）
＝2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）， 因为a >b >0，所以a －b >0，ab >0，a 2＋b 2>0，a ＋b >0.
所以a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b >0，所以a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b
. 法二：因为a >b >0，
所以a ＋b >0，a －b >0.
所以a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b
＝a 2－b 2a 2＋b 2·a ＋b a －b ＝（a ＋b ）2a 2＋b
2 ＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2
＝1＋2ab a 2＋b 2
>1. 所以a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b
. 3．(2015·高考湖南卷)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b
.证明： (1)a ＋b ≥2；
(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．
证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab
，a >0，b >0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.
(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；
同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．
故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．
4．已知a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c
. 证明：法一：因为a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，
所以a ＋b ＋c ＝ 1
bc ＋ 1
ca ＋ 1ab <1
b ＋1
c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c . 所以a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c
. 法二：因为1a ＋1b
≥21ab ＝2c ； 1b ＋1c ≥21bc ＝2a ；1c ＋1a ≥21ac ＝2b . 所以以上三式相加，得1a ＋1b ＋1c
≥a ＋b ＋c . 又因为a ，b ，c 互不相等，所以1a ＋1b ＋1c
>a ＋b ＋c . 法三：因为a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1， 所以1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2
>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .
所以a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c
. 5．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b
＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；
(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．
解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．
所以a 3＋b 3的最小值为4 2.
(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.
由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.
6．(2016·贵州省六校第一次联考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab
≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，
所以1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ×a b ＋4 ＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立， 所以1a ＋1b ＋1ab
≥8.
(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab
＋1， 由(1)知1a ＋1b ＋1ab
≥8. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1b ≥9.。