2025届湖北省宜昌市第一中学高三数学第一学期期末预测试题含解析

2025届湖北省宜昌市第一中学高三数学第一学期期末预测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．24π+
B ．24π-
C ．242π-
D ．243π- 3．要得到函数()sin(3)3f x x π=+
的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ） A ．向右平移
3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移
6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移
3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6
π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 4．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为（ ）
A B C ．2 D ．3
5．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有
A ．72种
B ．36种
C ．24种
D ．18种
6．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题
q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝
D ．p q ⌝∧⌝
7．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）
A B ．C ．D ．8．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*
2,2,a n N ∈-∈，不等式21211
n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞
B ．(][),22,-∞-⋃+∞
C ．(][),12,-∞-⋃+∞
D ．[]2,2- 9．已知函数()(N )k f x k x
+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )
A ．3
B ．2
C ．4
D ．5
10．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）
A ．22n n -
B ．212n -
C ．212n (-)
D ．22
n 11．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）
A ．12
B ．33
C ．22
D ．32
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知()sin[
(1)3cos[(1)]33f x x x ππ=+-+，则(1)(2)(3)...(2020)f f f f ++++=_____ 14．若复数Z 满足1(12)(2)2i Z i -=-+，其中i 为虚数单位，则Z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____． 15．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
16．将函数()sin f x x =的图象向右平移
3π个单位长度后得到()y g x =函数的图象，则函数()()y f x g x =⋅的最大值为______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()21()1ln ()2
f x m x x m =--∈R . （1）若1m =，求证：()0f x ≥.
（2）讨论函数()f x 的极值；
（3）是否存在实数m ，使得不等式111()x f x x e
->
-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.
18．（12分）已知抛物线1C ：22y px =（0p >）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.
（1）求p 的值；
（2）设()00,P x y （002x <≤）为抛物线1C 上的动点，过P 作圆()2
211x y ++=的两条切线分别与y 轴交于A 、B 两点.求AB 的取值范围.
19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，113AB BC AA AC ====，，点D E ，分别为AC 和11B C 的中点.
（Ⅰ）棱1AA 上是否存在点P 使得平面PBD ⊥平面ABE ？若存在，写出PA 的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
（Ⅱ）求二面角A BE D --的余弦值.
20．（12分）如图，点T 为圆O ：22
1x y +=上一动点，过点T 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 延长至点P ，使得BA AP =，点P 的轨迹记为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）若点A ，B 分别位于x 轴与y 轴的正半轴上，直线AB 与曲线C 相交于M ，N 两点，且1AB =，试问在曲线C 上是否存在点Q ，使得四边形OMQN 为平行四边形，若存在，求出直线l 方程；若不存在，说明理由.
21．（12分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[]15,25，(]25,35，(]35,45，(]45,55分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.
()1从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶的概率；
()2试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30瓶，批发
成本60元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为(]45,55时看作销量为50瓶）.
①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X ，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y ，求X 和Y 的分布列和数学期望；
②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？
注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本.
22．（10分）在本题中，我们把具体如下性质的函数()f x 叫做区间D 上的闭函数：①()f x 的定义域和值域都是D ；②()f x 在D 上是增函数或者减函数.
（1）若()tan()f x x ω=在区间[1,1]-上是闭函数，求常数ω的值；
（2）找出所有形如3()log f x a x =+的函数（,a b 都是常数），使其在区间[1,9]上是闭函数.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解析】 建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将a b -的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示，设()cos ,sin c θθ=，,OA a OB b ==，且()(),0,0,A m B n ，由于
5a c b c -=-=，所以[],4,6m n ∈.
()()cos ,sin ,cos ,sin a c m b c n θθθθ-=---=--.所以
2222222cos cos sin 252sin sin cos 25
m m n n θθθθθθ⎧-++=⎨-++=⎩，即22482cos 2sin m n m n θθ+=++. ()()()()()()22
2a b a c b c a c a c b c b c -=---=---⋅-+-=
222m n mn =+≥.当且仅当m n =时取得最小值，此时由22482cos 2sin m n m n θθ+=++得
()22482sin cos 4822sin 4m m m πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭，当54πθ=时，22m 有最小值为4822m -，即224822m m =-，22240m m +-=，解得32m =.所以当且仅当532,4
m n πθ===时a b -有最小值为()2232
6⨯=.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 2、B
【解析】
由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体为边长为2正方体ABCD A B C D ''''-挖去一个以B 为球心以2为半径球体的
18， 如图，故其表面积为2
124342248πππ-+⨯⨯⨯=-，
故选：B.
【点睛】
(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
3、D
【解析】
先求得()'f x ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意()'553cos 33cos 33sin 33626f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3
f x x π
=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
4、B
【解析】 设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2
a x c =，a
b y
c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由
16PF OP =，列出相应方程，求出离心率. 【详解】 解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b
=--， 由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
解得2
a x c =，a
b y
c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由16PF OP =，所以有2222
4222226a b a a a b c c c c
c ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率3=
=c e a ． 故选：B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题． 5、B
【解析】
根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．
【详解】
2名内科医生，每个村一名，有2种方法，
3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，
若甲村有1外科,2名护士,则有
，其余的分到乙村， 若甲村有2外科,1名护士,则有
，其余的分到乙村， 则总共的分配方案为2×
(9+9)=2×18=36种， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.
6、B
【解析】
根据∆<0，可知命题p 的真假，然后对x 取值，可得命题 q 的真假，最后根据真值表，可得结果.
【详解】
对命题p ：
可知()2140∆=--<，
所以x ∀∈R ，210x x -+>
故命题p 为假命题
命题 q ：
取3x =，可知2332>
所以x ∃∈R ，22x x >
故命题q 为真命题
所以p q ⌝∧为真命题
故选：B
【点睛】
本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.
7、C
【解析】
联立方程解得M (3，，根据MN ⊥l 得|MN |＝|MF |＝4，得到△MNF 是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.
【详解】
依题意得F (1,0)，则直线FM 的方程是y (x －1)．由214y y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩得x ＝13或x ＝3.
由M 在x 轴的上方得M (3，，由MN ⊥l 得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4
又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形
点M 到直线NF 的距离为4= 故选：C .
【点睛】
本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8、B
【解析】
先根据题意，对原式进行化简可得()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++，然后利用累加法求得11=3-11
n a n n +++，然后不等式21211
n a t at n +<+-+恒成立转化为2213t at +-≥恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案. 【详解】
由题，()()11111n n n n n n a a a na n a ++-=+⇒=++ 即()1111111
n n a a n n n n n n +-==-+++ 由累加法可得：11121111121n n n n n a a a a a a a a n n n n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ 即1111111123311121n a n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=-< ⎪ ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211
n a t at n +<+-+恒成立 即22213240t at t at +-≥⇒+-≥
令()[]()
222424,2,2f a t at at t a =+-=+-∈- 可得()20f ≥且()20f -≥
即2212202120t t t t t t t t ⎧≥≤-⎧+-≥⇒⎨⎨≥≤---≥⎩⎩
或或 可得2t ≥或2t ≤-
故选B
【点睛】
本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.
9、A
【解析】
根据条件将问题转化为
ln 11x k x x +>-，对于1x >恒成立，然后构造函数ln 1()1x h x x x +=⋅-，然后求出()h x 的范围，进一步得到k 的最大值.
【详解】
()(N )k f x k x
+=
∈，ln 1()1x g x x +=-，对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，
∴易得()()()g c f b f c =>，即ln 11c k
c c
+>-恒成立，
ln 11x k x x +∴>-，对于1x >恒成立,
设ln 1
()1
x h x x x +=⋅
-，则22ln ()(1)x x h x x --'=-，
令()2ln q x x x =--，1
()10q x x
'∴=-
>在1x >恒成立， (3)32ln30(4)42ln 40q q =--<=-->，，
故存在0(3,4)x ∈，使得()00q x =，即002ln x x -=， 当0(1,)x x ∈时，()0q x <，()h x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0q x >，()h x 单调递增.
000
min 00ln ()()1x x x h x h x x +∴==
-,将002ln x x -=代入得：
000
min 000(2)()()1
x x x h x h x x x -+∴==
=-，
N k +∈，且min 0()k h x x <=，
3k ∴≤
故选：A 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 10、B 【解析】
直接代入检验，排除其中三个即可． 【详解】
由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =， 故选：B ． 【点睛】
本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解． 11、B
【解析】
先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【详解】
解不等式327x <可得3x <，
解绝对值不等式||3x <可得33x -<<， 由于{|33}-<<x x 为{|3}x x <的子集，
据此可知“327x <”是“||3x <”的必要不充分条件． 故选：B 【点睛】
本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题. 12、C 【解析】
根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率. 【详解】
由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.
由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有2
2
2
22BF AB AF +=，即()()2
2
22x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以
21BF a BF ==；
在直角21BF F 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率e =. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13 【解析】
化简得()2sin 3
f x x π
=，利用周期即可求出答案．
【详解】
解：()sin[
(1)]cos[(1)]2sin 333
f x x x x π
ππ
=++=， ∴函数()f x 的最小正周期为6，
∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，
(1)(2)(3)...(2020)(1)(2)(3)(4)f f f f f f f f ∴++++=+++=
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
14、10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 得答案． 【详解】
()()1112i z 2i 1i 22
-=-+=--，()()()
111i 12i 1i 122z i 12i 12i 12i 2⎛⎫--+--
⎪⎝⎭∴===---+， 则1z i 2=
，z ∴的共轭复数在复平面内对应点的坐标为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭， 故答案为10,.2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题． 15、1． 【解析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解. 【详解】
由题意，高三学生占的比例为
15005
1200900150012
=++，
所以应从高三年级学生中抽取的人数为5
72030012
⨯=.
【点睛】
本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16、
34
【解析】
由三角函数图象相位变换后表达()g x 函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理()()f x g x 的表达式，进而由三角函数值域求得最大值. 【详解】
将函数()sin f x x =的图象向右平移
3π
个单位长度后得到()sin 3y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝
⎭函数的图象，
则211()()sin sin sin sin sin cos 322
y f x g x x x x x x x x x π⎛⎫⎡⎤
⎛
⎫==-
=-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦⎝⎭
11cos 2111111sin 2cos 22cos 222224222423x x x x x π⎛⎫-⎛
⎫=⋅-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以，当cos 213x π⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭函数最大，最大值为113424+=
故答案为：3
4
【点睛】
本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1. 【解析】
（1）1m =，求出()f x '
单调区间，进而求出min ()0f x ≥，即可证明结论；
（2）对()0f x '≥（或()0f x '≤）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出()0,()0
f x f x ''
><的解，即可求出结论； （3）令111
,(1,)()x h e
x x x --∈+∞=
，可证()0,(1,)h x x >∈+∞恒成立，而(1)0f =，由（2）得，0,()m f x ≤在(1,)+∞
为减函数，01,()m f x <<在
⎛ ⎝上单调递减，在(1,)+∞都存在()0f x <，不满足()()f x g x >，当m 1≥时，设()21111
()1ln 2x F x m x x x e
-=---+，且(1)0F =，只需求出()F x 在(1,)+∞单调递增时m 的取值范围即可. 【详解】
（1）1m =，()2
1()1ln (0)2
f x x x x =
-->， 211
()x f x x x x
-'=-+=
，当(0,1)x ∈时，()0f x '<， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴min ()(1)0f x f ==，故()0f x ≥.
（2）由题知，0x >，211
()mx f x mx x x -'=-+=，
①当0m ≤时，21
()0mx f x x
-'=<，
所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；
②当0m >时，21()0
mx f x
x
-'==，得x =， 当x
⎛
∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0f x '>， 所以()f x 在
⎛ ⎝
上单调递减，在⎫
+∞⎪⎭
上单调递增.
故()f x 在x
=
处取得极小值1
11ln 222f m m =+-，无极大值. （3）不妨令111
11()x x x e x
h x x e xe ----=-=，
设1
1(),(1,),()10x x u x e
x x u x e --'=-∈+∞=->在(1,)+∞恒成立，
()u x 在[1,)+∞单调递增，()(1)0u x u ∴>=， 10x e x -∴-≥在(1,)+∞恒成立，
所以，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，
由（2）知，当0,1m x ≤>时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，
()(1)0f x f <=恒成立；
所以不等式111
()x f x x e
->
-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >. 当01m <<1
>，由（1）知()f x 在⎛ ⎝
上单调递减， 所以(1)0f f
<=，不满足题意. 当m 1≥时，设()21111()1ln 2x F x m x x x e
-=
---+， 因为1,1m x ≥>，所以1
1
1
11,1,01,10x x x mx x e e
e
---≥><
<-<-
<，
322122
111111
()1x x x x F x mx x x x e x x x
---+'=-++->-++-=， 即()
22
(1)1()0x x F x x
--'>
>，
所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，
又(1)0F =，所以(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立， 即()()0f x h x ->恒成立，
故存在m 1≥，使得不等式111
()x f x x e
->-在(1,)+∞上恒成立， 此时m 的最小值是1. 【点睛】
本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题. 18、（1）2p =；（2）02AB <≤ 【解析】
（1）根据横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4，由抛物线的定义得到342
p
+
=求解.
（2）设过点()00,P x y 的直线方程为00()y y k x x -=-，根据直线与圆()2
2
11x y ++=相切，
1=，
整理得：()()()
2
2
2
0000022110x x k y x k y +-++-=，根据题意()()0010020,,0,k A y x B y k x --，建立
012k k A x x B -==.
【详解】
（1）因为横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4， 由抛物线的定义得：342
p
+=， 解得:2p =.
（2）设过点()00,P x y 的直线方程为00()y y k x x -=-， 因为直线与圆()2
211x y ++=相切，
1=，
整理得：()()()
2
2
2
0000022110x x k y x k y +-++-=，
()200012122
20000
211
,22y x y k k k k x x x x +-+=⋅=++， 由题意得：()()0010020,,0,k A y x B y k x --
所以012k k A x x B -==
==
因为002x <≤，
所以0112
214x +≤<， 所以02AB <≤. 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义及点与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19、（Ⅰ）存在点P 满足题意，且3
4PA =，证明详见解析；（Ⅱ）
1119
. 【解析】
（Ⅰ）可考虑采用补形法，取11A C 的中点为F ，连接EF AF DF ，，，可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证
BD ⊥平面1ACC ，即BD AF ⊥，若能证明AF PD ⊥，则可得证，可通过Rt PAD Rt ADF △∽△我们反推出点P 对
应位置应在3
4
PA =
处，进而得证； （Ⅱ）采用建系法，以D 为坐标原点，以DB DC DF ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应法向量，再结合向量夹角公式即可求解； 【详解】
（Ⅰ）存在点P 满足题意，且3
4
PA =. 证明如下：
取11A C 的中点为F ，连接EF AF DF ，，. 则11EF A B AB ∥∥，所以AF ⊂平面ABE . 因为AB BC D =，是AC 的中点，所以BD AC ⊥.
在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面1ACC ，且交线为AC ， 所以BD ⊥平面1ACC ，所以BD AF ⊥. 在平面1ACC 内，
3
2
AP AD AD DF ==
，90PAD ADF ∠=∠=︒， 所以Rt PAD Rt ADF △∽△，从而可得AF PD ⊥. 又因为PD BD D ⋂=，所以AF ⊥平面PBD . 因为AF ⊂平面ABE ，所以平面PBD ⊥平面ABE .
（Ⅱ）如图所示，以D 为坐标原点，以DB DC DF ，，分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系. 易知()0,0,0D ，1,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，134E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以134BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，132AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，1,0,02DB ⎛⎫
= ⎪⎝⎭. 设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =，则有
10,410.2m BE x y z m AB x y
⎧⋅=-++=⎪⎪⎨
⎪⋅=+=⎪
⎩
取2y =，得(2m =-. 同理可求得平面BDE 的法向量为(0,4,n =. 则11
cos ,19
12m n m n m n ⋅=
==+. 由图可知二面角A BE D --为锐角，所以其余弦值为11
19
. 【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题
20、（1）2
214
x y +=（2）不存在；详见解析
【解析】
（1）设0(T x ，0)y ，(,)P x y ，通过BA AP =，即A 为PB 的中点，转化求解，点P 的轨迹C 的方程．
（2）设直线l 的方程为y kx t =+，先根据||1AB =，可得2
221t t k +=，①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得
22441t k =+，②，将①代入②可得42410k k ++=，该方程无解，问题得以解决
【详解】
（1）设(),P x y ，()00,T x y ，则()0,0A x ，()00,B y ， 由题意知BA AP =，所以A 为PB 中点，
由中点坐标公式得00202
x x y y ⎧
=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即002x x y y ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩，
又点T 在圆O ：2
2
1x y +=上，故满足2
2
001x y +=，得2
214
x y +=.
∴曲线C 的方程2214
x y +=. （2）由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx t =+，
因为1AB OT ==，故2
2
1t t k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，即2221t t k +=①，
联立22
14
y kx t
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()
222418410k x ktx t +++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，
122841kt x x k +=-+，()
212241
41
t x x k -=+，
()1212282241kt y y k x x t k t k ⎛
⎫+=++=-+ ⎪+⎝⎭2241t k =+，
因为四边形OMQN 为平行四边形，故22
82,4141kt t Q k k ⎛
⎫- ⎪++⎝⎭
， 点Q 在椭圆上，故2
22282411441kt t k k ⎛
⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪
+⎝⎭
，整理得22441t k =+②，
将①代入②，得42410k k ++=，该方程无解，故这样的直线不存在. 【点睛】
本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 21、()10.657；()2①详见解析；②应该批发一大箱. 【解析】
()1酸奶每天销量大于35瓶的概率为0.3，不大于35瓶的概率为0.7，设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸
奶销量大于35瓶”为事件A ，则A 表示“这三天酸奶的销量都不大于35瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.
()2①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况，分别求出相应概率，
列出分布列，求出X 的数学期望，若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20，30两种情况，分别求出相应概率，由此求出Y 的分布列和数学期望；②根据①中的计算结果，()()E X E Y >，从而早餐应该批发一大箱. 【详解】
解：()1根据图中数据，酸奶每天销量大于35瓶的概率为(0.020.01)100.3+⨯=，不大于35瓶的概率为0.7. 设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶”为事件A ，则A 表示“这三天酸奶的销量都不大于35
瓶”. 所以3()1()10.70.657P A P A .
()2①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况.
当销量为20瓶时，利润为520
7525元； 当销量为30瓶时，利润为530
7575元； 当销量为40瓶时，利润为540
75125元； 当销量为50瓶时，利润为550
75175元.
随机变量X 的分布列为
所以()250.3750.41250.21750.180E X （元）
若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20，30两种情况.
当销量为20瓶时，利润为520
6040元； 当销量为30瓶时，利润为530
6090元.
随机变量Y 的分布列为
所以()400.3900.775E Y （元）.
②根据①中的计算结果，()()E X E Y >，
所以早餐店应该批发一大箱.
【点睛】
本题考查概率，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，属于中档题.
22、（1）4
π±
；（2）3()3log f x x =+. 【解析】
（1）依据新定义，()f x 的定义域和值域都是[1,1]-，且()f x 在[1,1]-上单调，建立方程求解；（2）依据新定义，讨论()f x 的单调性，列出方程求解即可。

【详解】
（1）当0>ω时，由复合函数单调性知，()tan()f x x ω=在区间[1,1]-上是增函数，即有[],,22tan()1tan 1ππωωωω⎧⎛⎫-⊆- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-=-⎨⎪=⎪⎪⎩
，解得=4
πω ； 同理，当0ω<时，有[],,22tan()1tan 1ππωωωω⎧⎛⎫-⊆- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得=4πω-，综上，=4πω±。

（2）若()f x 在[1,9]上是闭函数，则()f x 在[1,9]上是单调函数， ①当()f x 在[1,9]上是单调增函数，则(1)1
(9)239
f b f a b ==⎧⎨=+=⎩ ，解得31a b =⎧⎨=⎩，检验符合； ②当()f x 在[1,9]上是单调减函数，则(1)9(9)231f b f a b ==⎧⎨=+=⎩，解得139a b =-⎧⎨=⎩
，
3()13log f x x =-+[1,9]上不是单调函数，不符合题意。

故满足在区间[1,9]
上是闭函数只有3()3log f x x =+。

【点睛】
本题主要考查学生的应用意识，利用所学知识分析解决新定义问题。