北京市怀柔区2021届新高考数学第一次调研试卷含解析

北京市怀柔区2021届新高考数学第一次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433x
f x =+
，则33log 2f ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．2-
B ．3
C ．3-
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】 判断32
1log 03
-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵32
1log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭．
故选：D 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
2．已知12,F F 分别为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、
右两支分别交于,A B 两点，若2224
0,
5
BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（
） A B ．4
C ．2
D
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知得2AB BF ⊥，24BF x =，由已知比值得25,3AF x AB x ==，再利用双曲线的定义可用a 表示
出1AF ，2AF ，用勾股定理得出
,a c 的等式，从而得离心率． 【详解】
2220,0,0,90AB BF AB BF ABF ⋅=≠≠∴∠=︒.又
224
5
BF AF =，∴可令24BF x =，则25,3AF x AB x ==.设1AF t =，得21122AF AF BF BF a -=-=，即()5342x t x t x a -=+-=，
解得3,t a x a ==，∴24BF a =,116BF AB AF a =+=,
由22
2
1212BF BF F F +=得222(6)(4)(2)a a c +=，2213c a =，13c a =，∴该双曲线的离心率
13c
e a
=
=. 故选：A.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点,A B 到焦点的距离都用a 表示出来，从而再由勾股定理建立,a c 的关系．
3．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）
A ．22(3)2x y -+=
B ．22(3)8x y -+=
C ．22(3)2x y ++=
D ．22(3)8x y ++=
【答案】A 【解析】 【分析】
计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为2r =，得到圆方程.
【详解】
AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22
2222
2
AB
r +==
=， 圆方程为2
2
(3)2x y -+=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 4．函数()2ln x
f x x x
=-
的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】
因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.
当0x >时，()2ln x x f x x =-，()33
2ln 1
'x x f x x
=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.
5．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率
355
113
≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为 A ．24
(4h 2π+π+
B ．216
(2)h π+π+
C ．2(8421)h π+π+
D ．2(2216)h ππ+
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
设胡夫金字塔的底面边长为a ，由题可得
42a h =π，所以2
h a π=， 2
22222
2162()28a h h h h ππ+++ 所以需要灯带的总长度约为221644(22
h
h +π+π⨯=π+
2216)h π+，故选D ．
6．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5
i 12i
z =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+
C ．12i -
D ．12i +
【答案】A 【解析】
分析：题设中复数满足的等式可以化为5
12z i i
=++，利用复数的四则运算可以求出z . 详解：由题设有5
12112z i i i i i
=
+=-+=-+，故1z i =+，故选A. 点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.
7．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则cos2α等于（ ） A ．
19
B ．79
-
C ．23
-
D ．
13
【答案】B 【解析】 【分析】
先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α. 【详解】
解：角α的终边与单位圆22
1x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
1
cos 3
α=，
2
2
17cos 22cos 12139αα⎛⎫
=-=⨯-=- ⎪⎝⎭
，
故选：B 【点睛】
考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.
8．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1
B ．结余最高的月份是7月份
C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D ．前6个月的平均收入为40万元 【答案】D 【解析】
由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确； 结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；
1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；
前6个月的平均收入为1
(406030305060)456
+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．
9．已知函数2()ln(1)33x x f x x x -=++-，不等式()
22(4)50f a x f x +++对x ∈R 恒成立，
则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(,2]-∞-
C ．5,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
D ．5,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【答案】C 【解析】 【分析】
确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为2222
444a x x x ⎫=-+++，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】
2()ln(1)33(),()x x f x x x f x f x --=++-=-是奇函数，
())3333x x x x f x x --=+=+--，
易知,33x x y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，
不等式()
2(5
0f f x ++
，即()2(5f f x --，
结合函数的单调性可得25x --
，即224a
x ⎫=-+， 设t
=，2t
≥，故1y t t ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故max 5
2⎫-=-， 当2t =，即0x =时取最大值，所以5
2
a -
. 故选：C . 【点睛】
本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.
10．设F 为抛物线24x y =的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则
|||||FA FB FC ++=（ ）.
A ．9
B ．6
C ．38
D ．
316
【答案】C 【解析】 【分析】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=可得1233
16
x x x ++=
，利用定义将|||||FA FB FC ++用123,,x x x 表示即可.
【详解】
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，由0FA FB FC ++=及1
(,0)16
F ， 得111(,)16x y -
+221
(,)16x y -331(,)(0,0)16x y +-=，故123316
x x x ++=， 所以123111|||||161616FA FB FC x x x ++=+++++=38
. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.
11．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为
n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n
+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．
917
B ．
817
C ．
1735
D ．
935
【答案】A 【解析】 【分析】
设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程22
1x y m n
+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分
别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()
(/)()
P AB P B A P A =计算即可. 【详解】
设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程22
1x y m n
+=表示焦点在y 轴上
的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯=
=⨯，339
()7535
P AB ⨯==⨯，则所求的概率为
()9
(/)()17
P AB P B A P A =
=. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.
12．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A ．28π
B ．7π
C ．14π
D ．21π
【答案】A 【解析】 【分析】
画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；
法二：根据1
3OO =，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可求半径从而求外接球表面积； 【详解】
如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.
法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =
28S π=；
法二：13OO =7R =
，28S π=；
法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，
7AE =AC 3
3=cos 27427
AEC ∠=
=⋅⋅，
33sin 27
AEC ∠=，33227sin 3327
AC R AEC =
==∠7R =28S π=. 故选：A 【点睛】
此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为_______．
5 【解析】 【分析】
根据题意，由双曲线的渐近线方程可得
1
2
b a =，即a ＝2b ，进而由双曲线的几何性质可得
c 225a b =+=，由双曲线的离心率公式计算可得答案．
根据题意，双曲线()22
22100x y a b a b
-=＞，＞的渐近线方程为y ＝±b a x ，
又由该双曲线的一条渐近线方程为x ﹣2y ＝0，即y 1
2
=x ， 则有
1
2
b a =，即a ＝2b ，
则c =，
则该双曲线的离心率e c a =
==
；
故答案为：2
． 【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a 、b 之间的关系，属于基础题．
14．在ABC 中，4a =，5b =，6c =，则cos A =________，ABC 的面积为________．
【答案】34 【解析】 【分析】
利用余弦定理可求得cos A 的值，进而可得出sin A 的值，最后利用三角形的面积公式可得出ABC 的面积. 【详解】
由余弦定理得2222225643cos 22564
b c a A bc +-+-===⨯⨯，则sin A =，
因此，ABC 的面积为11sin 5622ABC
S
bc A ==⨯⨯=
.
故答案为：34. 【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题. 15．已知2
30x dx n =⎰，则12(1)n x x ⎛⎫
-+
⎪⎝⎭
展开式2x 的系数为__________． 【答案】8- 【解析】
先根据定积分求出n 的值，再用二项展开式公式即可求解. 【详解】
因为2
2
3
440
0112444x dx x ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭⎰
所以4n =
4(1)x +的通项公式为414
41r r r r r
r T C x C x -+=⨯⋅= 当2r
时，4222
34416r r r T C x C x x -=⨯⋅==
当3r =时，333
444T C x x ==
故12(1)n x x ⎛⎫
-+
⎪⎝⎭
展开式中2x 的系数为4(2)68+-⨯=- 故答案为：8- 【点睛】
此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.
16．已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过F 作直线与C 相交于,P Q 两点，且Q 在第一象限，若2PF FQ =，则直线PQ 的斜率是_________．
【答案】【解析】 【分析】
作出准线，过,P Q 作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率． 【详解】
设l 是准线，过P 作PM l ⊥于M ，过Q 作QN l ⊥于N ，过P 作PH QN ⊥于H ，如图， 则PM PF =，QN QF =，∵2PF FQ =，∴2QF PF =，∴2QN PM =， ∴QH NH PM PF ===
，PH =
=，
∴tan PH
HQF QH
∠==PQ
斜率为
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设数列{}n a 满足2
11233333
n n n
a a a a -+++
+=
，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设,1,n n
n n b n a ⎧⎪
=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】（1）13n n a =；（2）()
()
21
2
21931,48
931,48
n n n n n n S n n -⎧+++-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数
. 【解析】 【分析】
（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥时，由2
11233333
n n n
a a a a -+++
+=
可得出2212311
3333
n n n a a a a ---++++=
，两式相减可得n a 的表达式，然后对1a 是否满足n a 在2n ≥时的表达式进行检验，由此可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）求出数列{}n b 的通项公式，对n 分奇数和偶数两种情况讨论，利用奇偶分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】 （1）
211233333
n n n a a a a -+++
+=
， 当1n =时，113
a =
；
当2n ≥时，由2
11233333
n n n a a a a -++++=
得2
212311
3333
n n n a a a a ---++++=
， 两式相减得1
1
3
3n n a -⋅=
，13
n n a ∴=. 11
3a =满足13
n n a =.
因此，数列{}n a 的通项公式为1
3
n n a =； （2）
,3,n n n n b n ⎧=⎨⎩
为奇数为偶数.
①当n 为奇数时，
1
224111919112213333122219
n n n n n n S n --⎛⎫++⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=++++
++=⨯+
⨯+-()21
2193148
n n n -++=+-；
②当n 为偶数时，
()()()222491911921333133121948
n
n n n n n n S n ⎛⎫- ⎪⋅+-⎡⎤⎣⎦⎝⎭=++++
+-+=⋅+=+--. 综上所述，()
()
21
2
21931,48
931,48
n n n n n n S n n -⎧+++-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数. 【点睛】
本题考查数列通项的求解，同时也考查了奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题. 18．设函数()f x x a x b =++-，
（1）当1a =，2b =，求不等式()6f x ≥的解集； （2）已知0a >，0b >，()f x 的最小值为1，求证：
149
21214
a b +≥++. 【答案】（1）5|2x x ⎧
≤-⎨⎩
或72x ⎫
≥
⎬⎭
；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）将()f x 化简，分类讨论即可； （2）由（1）得1a b +=，
14
114[(21)(21)]2121
42121a b a b a b ⎛⎫
+=++++ ⎪++++⎝⎭
，展开后再利用基
本不等式即可. 【详解】
（1）当1a =时，21,1()213,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪-≥⎩
，
所以1()6216x f x x ≤-⎧≥⇔⎨-+≥⎩或1236x -<<⎧⎨≥⎩或2
216
x x ≥⎧⎨
-≥⎩ 解得52x ≤-
或72
x ≥， 因此不等式()6f x ≥的解集的5{|2x x ≤-
或7
}2
x ≥ （2）()|||||()()|1f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+= 根据()()21214a b +++=
14
114[(21)(21)]212142121a b a b a b ⎛⎫
+=++++ ⎪++++⎝⎭
1214(21)542121b a a b ++⎛⎫=
++ ⎪++⎝⎭
19
(544
≥+=，当且仅当15,66a b ==时，等式成立.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.
19．设a 为实数,在极坐标系中,已知圆2sin a ρθ=（0a >）与直线cos 14πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
相切,求a 的值．
【答案】2a =+【解析】 【分析】
将圆2sin a ρθ=和直线cos 14πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭化成普通方程.再根据相切,圆心到直线的距离等于半径,列等式
方程,解方程即可. 【详解】
解:将圆2sin a ρθ=化成普通方程为22
2x y ay +=,整理得()2
22x y a a +-=．
将直线cos 14πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
化成普通方程为0x y -=．
因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即
22
a
a +=
解得22a =+． 【点睛】
本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,是基础题.
20．已知六面体ABCDEF 如图所示，BE ⊥平面ABCD ，//BE AF ，//AD BC ，1BC =，5CD =，
2AB AF AD ===，M 是棱FD 上的点，且满足
1
2
FM MD =.
（1）求证：直线//BF 平面MAC ； （2）求二面角A MC D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2318
【解析】 【分析】
（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO .通过证明//MO BF ，证得直线//BF 平面MAC . （2）建立空间直角坐标系，利用平面MAC 和平面MCD 的法向量，计算出二面角A MC D --的正弦值. 【详解】
（1）连接BD ，设BD AC O ⋂=，连接MO ， 因为AD BC ∥，所以BOC DOA △∽△，所以2
1
DO AD OB BC ==， 在FBD 中，因为21MD DO
MF OB
==， 所以MO
BF ，且MO ⊂平面MAC ，
故BF ∥平面MAC .
（2）因为AD BC ∥，2AB =，1BC =，2AD =，5CD =，所以AB AD ⊥， 因为BE
AF ，BE ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥平面ABCD ，
所以AF AB ⊥，AF AD ⊥，
取AB 所在直线为x 轴，取AD 所在直线为y 轴，取AF 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得(2,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，(2,0,3)E ，(0,0,2)F
所以(0,2,2)DF =-，因为
1
2
FM MD =， 所以2440,,333DM DF ⎛
⎫=
=- ⎪⎝
⎭， 所以点M 的坐标为240,,33⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以(2,1,0)AC =，240,,33AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，设(,,)m x y z =为平面MAC 的法向量，
则20024
0033x y m AM y z m AC ⎧+=⎧⋅=⎪⎪
⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩
，令1x =，解得2y =-，1z =， 所以(1,2,1)m =-，即(1,2,1)m =-为平面MAC 的一个法向量.
142,,33CM ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，(2,1,0)CD =-
同理可求得平面MCD 的一个法向量为,,(1)22n = 所以cos ,6336
m n 〈〉=
=⨯ 所以二面角A MC D --318
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 21．已知动圆M 经过点(2,0)N ，且动圆M 被y 轴截得的弦长为4，记圆心M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的标准方程；
（2）设点M 的横坐标为0x ，A ，B 为圆M 与曲线C 的公共点，若直线AB 的斜率1k =，且0[0,4]x ∈，求0x 的值． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】
（1）设(,)M x y ，则点M 到y 轴的距离为||x ， 因为圆M 被y 轴截得的弦长为4，所以22|||4|MN x =+， 又222|2|()MN x y =-+，所以2224|2|()x x y +=-+， 化简可得2
4y x =，所以曲线C 的标准方程为2
4y x =．
（2）设211(,)4y A y ，2
2
2(,)4
y B y ，
因为直线AB 的斜率1k =，所以可设直线AB 的方程为y x m =+，
由y x m =+及24y x =，消去x 可得2
440y y m -+=，所以124y y +=，124y y m =，
所以21212|2()442|1AB y y y y m +-=-
设线段AB 的中点为T ，点M 的纵坐标为0y ，则,(2)2T m -，MT AB ⊥，
所以直线MT 的斜率为1-，所以0021(2)y x m -=---，所以00200
4
44m x y y y ==----，
所以0
024214||34
2y AB m y =-+- 易得圆心M
到直线AB 的距离0200||22
2|4d y m y y =
-+=-，
由圆M
经过点(2,0)N ，可得2
420
2
02||||42(2)16
2y AB MN d y -=-=+-，
所以200042032()4[]342(2)416
y y y y +--=+-，整理可得42
0643200y y -+=， 解得20
32811y =+或2032811y =-，所以08211x =+或08211x =-， 又0[0,4]x ∈，所以08211x =-．
22．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，2AB =，()0PD t t =>.
（1）若2t =，证明：平面DMA ⊥平面PBC ； （2）若三棱锥C DBM -的体积为4
3
，求二面角B DM C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）23
【解析】 【分析】
(1)由已知可证得AD ⊥平面PDC ,则有AD PC ⊥,在PDC △中,由已知可得DM PC ⊥,即可证得PC ⊥平面ADM ,进而证得结论.
(2) 过M 作//MN PD 交DC 于N ,由M 为PC 的中点,结合已知有MN ⊥平面ABCD . 则14
33
C DBM M DBC DBC V V S MN --==
⋅=△,可求得4t =.建立坐标系分别求得面DBM 的法向量()2,2,1n =-,平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =,利用公式即可求得结果.
【详解】 （1）证明：
PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
AD PD ∴⊥,又四边形
ABCD 为正方形，
AD DC ∴⊥.
又PD 、DC ⊂平面PDC ，且PD DC D ⋂=，
AD ∴⊥平面PDC .AD PC ∴⊥.
PDC △中，2t PD DC ===，M 为PC 的中点， DM PC ∴⊥.
又AD 、DM ⊂平面ADM ，AD
DM D =，
PC ∴⊥平面ADM .
PC ⊂平面PBC ，∴平面DMA ⊥平面PBC .
（2）解：过M 作//MN PD 交DC 于N ，如图
M 为PC 的中点，1//
2MN PD ∴，12
MN t ∴=. 又PD ⊥平面ABCD ，MN ∴⊥平面ABCD .
21114
233223
C DBM M DBC DBC t V V S MN --==⋅=⨯⨯⨯=△，4t ∴=.
所以4PD =,又PD 、DA 、DC 两两互相垂直，以DP 、DA 、DC 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.()0,0,0D ，()2,2,1B ，()0,2,0C ，()0,1,2M
设平面DBM 的法向量(),,n x y z =，则
00n DB DM DM ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
，即220
20x y y z +=⎧⎨+=⎩. 令1z =，则2x =，2y =-.()2,2,1n ∴=-. 平面DMC 的一个法向量为()1,0,0m =
22
cos ,133
m n m n m n
⋅∴=
=
=⨯⋅. ∴二面角B DM C --的余弦值为
23
.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明方法,考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法,难度一般.
23．在四边形ABCP 中，2,3
AB BC P π
==∠=
，2PA PC ==；如图，将PAC 沿AC 边折起，连
结PB ，使PB PA =，求证：
（1）平面ABC ⊥平面PAC ；
（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 3
F PC A --的大小. 【答案】（1）证明见详解；（2）6
π 【解析】 【分析】
（1）由题可知，等腰直角三角形ABC 与等边三角形PAC ，在其公共边AC 上取中点O ，连接OB 、OP ，可得,OB AC OP AC ⊥⊥，可求出3OP =在OPB △中，由勾股定理可证得OP OB ⊥，结合
OP AC O ⋂=，可证明OB ⊥平面PAC .再根据面面垂直的判定定理，可证平面ABC ⊥平面PAC .
（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由点F 在线段AB 上，设
(01)AF mAB m =<<，得出CF 的坐标，进而求出平面PFC 的一个法向量n .用向量法表示出AP 与平
面PCF 3
n .再结合OB 为平面PAC 的一个法向量，用向量法即可求出n 与OB 的夹角，结合图形，写出二面角F PC A --的大小. 【详解】
证明：（1）在PAC ∆中，2,3
PA PC P π
==∠=
PAC ∴△为正三角形，且2AC =
在ABC 中，2AB BC ==
ABC ∴为等腰直角三角形，且AB BC ⊥
取AC 的中点O ，连接0,B OP
,OB AC OP AC ∴⊥⊥
1,3,2OB OP PB PA ====，
222PB OB OP ∴=+，
OP OB ∴⊥
OP AC O =，,AC OP ⊂平面PAC
OB ∴⊥平面PAC
OB ⊂平面ABC
..平面ABC ⊥平面PAC
（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则
(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0),A B C P -，
(1,1,0),AB AP ==， (0,1,3),(0,2,0)CP CA =-=-，
设(01)AF mAB m =<<.则(,2,0)CF CA AF m m =+=- 设平面PFC 的一个法向量为(,,)x y z =n .则
0n CF n CP ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
(2)030
mx y m y z +-=⎧⎪∴⎨-
+=⎪⎩，
令y =1x z ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩
n ⎫
∴=⎪⎭
AP 与平面PFC
||||
2n AP
n AP ⋅∴=
=
整理得2344
0m m +-
= 解得2
3
m =
或2m =-(含去) n ∴=
又OB 为平面PAC 的一个法向量
3cos ,n OB n OB n OB
⋅∴〈〉=
=
,6n OB π
∴〈〉=，
二面角F PA C --的大小为
6π.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解决线面角、二面角的问题，属于中档题.。