【数学】广东省揭阳市2016届高三上学期学业水平考试.docx

揭阳市 2016 届高三上学期学业水平考试
数学 (文 )
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题 5分，共 60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
．已知集合2
2x 0}， B{0,1,2,3} ，则
A B ( )
1 A { x | x
(A){1，2}(B) {0，1，2}(C){1}(D){1，2，3} 2．已知复数z满足(2 z1)i 2 ，则z()
(A) 1 2i(B)1
(C)1i(D) 1 i
i
222
3．已知向量a( 1,2), b(1,1) ，则( a b) a ()
(A) 8(B)5(C) 4(D)4 4．若方程f (x) 2 0 在区间 (0,) 有解，则函数 y f ( x) 的图象可能是( )
5．在等差数列a n中，已知 a3a5 2, a7a
10
a
139, 则此数列的公差为( )
(A)1
(B)3(C)
11 32
(D)
6
．利用计算机在区间
(0,1)上产生随机数
a
，则不等式ln(3a 1)0 成立的概率是
( )
6
(A)121
(D)
1 2
(B)(C)
4
33
7．抛物线y28x 的焦点到双曲线x2y21的渐近线的距离是()
3
13
(A)2(B) 2(C) 1(D)3 8．函数f ( x)cos2 ( x) cos2 ( x) 的最大值和最小正周期分别为( )
44
(A) 1 ,(B)1,(C) 1 ,
2(D) 1,
222
9．某人以 15 万元买了一辆汽车，此汽车将以每年
20%的速度折旧，图 1
是描述汽车价值
变化的算法流程图，则当
n
4 时，最后输出的 S 为 ( )
(A) 9.6
(B) 7.68 (C) 6.144
(D) 4.9152
10．已知棱长为 2 的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的一个面 A 1B 1C 1 D 1 在一半球底面 上，且 A 、 B 、 C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为
( )
(A) 4
6
(B)
2 6
(C) 16 3
(D)
8 6
11
C ： y 2 8x
的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直线
．已知抛物线
PF 与 C 的一个交点，若 FP 2FQ
0 ，则 |QF |=(
) (A)3
(B)4
(C)6
(D)8
12．若关于 x 的方程 4sin 2 x m sin x 1 0 在 (0, ) 内有两个不同的实数解
,则实数 m 的取
值范围为 ( )
(A) m
4 或 m
4
(B) 4
m 5
(C) 4
m 8
(D) m
5 或 m 4
第Ⅱ卷
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题
5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的
横线上．
( 1
) x , x ( ,1);
13． 已知 f (x)
4
，则 f ( f ( 2)) ．
log 1 x, x [1,
).
2
y x
．设变量
x ， y 满足约束条件
x 2 y 2 ，则 z x 3 y 的最小值为
．
14
x 2
15．如图 2，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是一正方体
被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截去部分的几何体的表
面积为
．
16．数列 { a n } 的通项公式 a n ( 1)n 2n n cos(n ) ，其前 n 项和
为 S n ，则 S 10 等于
.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
17. （本小题满分
12 分）
已知 a, b,c 分别是ABC 内角 A, B,C 的对边，且3csin A a cosC .
（I ）求C的值；
（II ）若c7a ， b 2 3 ，求ABC 的面积．
18．（本小题满分12 分）某中学随机抽取50 名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分
钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0， 100] ，样本数据分组为[0,20),[20,40),
[40,60), [60,80),[80,100] .
（Ⅰ）求直方图中x 的值；
（Ⅱ）定义运动的时间不少于 1 小时的学生称为“热爱运动”，
若该校有高一学生1200 人，请估计有多少学生“热爱运动”；
（Ⅲ）设 m, n 表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的时间，且已知m, n [40,60) [80,100]| m n | 20
”的概率 .
，求事件“
19．（本小题满分 12 分）如图4，在三棱柱 ABC -A1B1C1中，底面△ABC 是边长为 2 的
等边三角形， D 为 AB 中点．
(Ⅰ )求证： BC1∥平面 A1CD ；
(Ⅱ )若四边形 CB B 1C1是正方形，且
A1D =5,求多面体 CAC BD 的体积.
1 1
20. （本小题满分12 分）
已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4，离心率等于2
. 2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若椭圆 C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直
线 PA ， PB 分别交椭圆C于另外两点 A ， B ，求证：直线AB 的斜率为定值．
21．（本小题满分12 分）
已知函数 f ( x) a ln x b(x 1) ,曲线y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y 2.
x
（Ⅰ）求 a 、b的值；
（Ⅱ）当 x 0 且 x 1时，求证： f ( x)(x1)ln x .
x1
22．（本小题满分10 分）选修4— 1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 内接于，过点 A 作的切线EP 交 CB 的延长线于P，已知PAB 250．
（I ）若 BC 是⊙ O 的直径，求 D 的大小；
(II ）若DAE 250，求证： DA2DC BP ．
23． (本小题满分10 分 )选修 4— 4：坐标系与参数方程
x t cos
2
在平面直角坐标系
xOy 中，已知直线 l 的参数方程为
3
（ t 为参数），以坐标
y 4 t sin
2
3
原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
C 的极坐标方程是
4 ．
（Ⅰ）写出直线
l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标系方程；
（Ⅱ）设直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点，求
AOB 的值 .
24．（本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲
已知函数 f ( x) | x 2 |.
（Ⅰ）解不等式 f ( x) f (x 1) 2 ；
（Ⅱ）若 a 0 ,
f ( ax) af ( x) f (2 a).
求证：
参考答案
一、选择题：
1-5 BCADA6-10CDBCA11-12CD
二、填空题：
13. 4；14. -8 ；15. 5418 3 ；16.687．
三、解答题：
17．解：（ I ）∵A、C为ABC 的内角，
由 3c sin A a cosC 知sin A0,cos C0 ，结合正弦定理可得：
3 sin A a sin A
---------------------------------------3分
cosC c sin C
tan C
3
------------------------------------4分3
,
∵ 0 C∴ C
6
.-------------------------5分
（II ）解法1：∵c7a， b23，
由余弦定理得： 7a2a21243a 3 ，---------------------------7 分
2
整理得：a2a20解得： a 1 或 a 2 （不合舍去）---------------------9分
∴ a 1，由 S ABC 1
ab sin C 得2
ABC 的面积 S ABC1 1 231 3 ．
--------------------------------------12分
222
解法 2：由c7a 结合正弦定理得：sin A1sin C7， ---------------------6分
714
∵ a c，∴ A C ,∴ cos A1sin 2A 3 21,-----------------------------7分
14
∴ sin B sin[( A C )] sin( A C )
sin A cosC cos Asin C =73 3 21121
. ----------------------------9分
1421427
由正弦定理得： a
bsin A
-------------------------------------------------
10
分
sin B
1，
∴ ABC 的面积
S
ABC
1 1
2 3
1 3
12
22
． ------------------------------------
分】
2
18.解：（ I ）由 20 (0.002 0.003 2 x 0.025)
1 得 x 0.017 ； -------------------
2 分 （Ⅱ）运动时间不少于
1 小时的频率为 20 (0.002
0.003) 0.1 ， --------------------
3 分 不少于 1 小时的频数为 1200 0.1 120 ，所以该校估计 “热爱运动 ”的学生有 120 人；--- 5 （Ⅲ）由直方图知，成绩在 [40,60) 的人数为 50 20 0.003 3 人，设为 A, B, C ；----6 成绩在 [80,100]
的人数为 50 20 0.002 2 人，设为 x, y .---------------------------
7 分
若 m, n [40,60) 时，有 AB, AC , BC 三种情况；
若 m, n [80,100] 时，只有 xy 一种情况；
-------------------------------------------
8 分
若 m, n 分别在 [40,60),[80,100] 内时，则有 Ax, Ay, Bx, By,Cx, Cy 共有 6 种情况 .
所以基本事件总数为 10 种， ------------------------------------------------------------------ 10
分
事件 “
n | 20 ”所包含的基本事件个数有
6 种 .
| m
∴P （ | m n | 20 ） =
6
3 . ---------------------------------------------------- 12分
10
5
19.（ I ）证法 1：连结 AC 1，设 AC 1 与 A 1C 相交于点 E ，连接 DE ， 则 E 为 AC 1 中点，
-------------------------------
2
分
A
∵D 为 AB 的中点，∴ DE ∥ BC 1， ------------------ 4 分
E
∵BC 1? 平面 A 1CD ， DE ì平面 A 1CD ，
D
------------ 5 分
C
分
分
A 1
C 1
∴BC 1∥平面 A 1CD . ----------------------------- 6 分
证法 2：取 A 1B 1 中点 D 1 ，连结 BD 1 和 C 1 D 1 ， B
B 1
1 分
∵
BD
平行且等于 A 1 D 1 ∴四边形 BD A 1D 1 为平行四边形
∴ A 1 D / / BD 1
-----------------------------------
2
分
A
A 1
∵ A D 平面 ACD ， BD
平面 ACD
1
1
1 1
D
D 1
∴ BD 1 / / 平面 ACD 1
,------------------------------3
分
C
C 1
同理可得 C 1D 1 / / 平面 ACD 1 ------------------------ 4
分
B 1
B
∵ BD 1 C 1D 1
D 1
∴平面 ACD 1 / / 平面 BD 1C 1
又∵ BC 1 平面 BD 1C 1
∴BC 1∥平面 A 1CD. -------------------------------
6 分】
(Ⅱ ) AD 2+A 1 A 2 = 5=A 1D 2
A 1 A^ A D,-------------------------------------7 分
又
B 1 B ^ BC, B 1 B / / A 1A
A 1 A ^ BC ，
又 AD
BC
B
A 1 A ^ 面 ABC
-------------------------------------------
9 分
（法一）∴所求多面体的体积
V
V ABC A 1B 1C 1
V
A 1 ACD
V
B
A 1
B 1
C 1 -----------------------
10 分
AA 1
S
ABC
1
AA 1
S
ACD
1
BB 1
S
A B C
A
A 1
3
3
1 1
1 AA 1 S
ABC
1 2 1 3 22
3
D
E
2
2
2 2
C
C 1
即所求多面体 CAC 1 1BD 的体积为 3 .----------------
12 分
H
B
B 1
（法二）过点 A 1 作 A 1H B 1C 1 于 H ，
∵平面 BB 1C 1C
平面 A 1 B 1 C 1 且平面 BB 1C 1C 平面 A 1 B 1 C 1 B 1C 1
∴ A 1 H 平面 BB 1C 1C ,----------------------------------------------------------10 分
∴所求多面体的体积
V
V A
ACD
V A ACC
1
1
S BCD AA 1
1
S BCC 1 A 1H
1
1
1
3
3
1 1 3
4 2 1 1
3
3 .------------------------------------------
12
分】
3 2
4
3 4
2
20.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
y 2 x 2 1 ( a b
0) --------------------------------
1
分
a
2
b
2
a 2
b 2
c 2
由题意
2a 4
，解得 a 2,b
2 ．
-----------------------------------------
4
分
c
2
a
2
所以，椭圆的方程为 y 2 x 2 1 ． -------------------------------------------------
5
分
4 2
（Ⅱ）由椭圆的方程
y 2 x 2 1 ，得 P(1, 2) ． -------------------------------------
6
分
4
2
由题意知，两直线
PA 、 PB 的斜率必存在，设 PA 的斜率为 k ，
则 PA 的直线方程为 y
2 k ( x 1) ．
--------------------------------------------
7
分
y
2
k( x 1)
得： (2 k 2 )x 2 2 k) x ( 2 k) 2
由
x 2 y 2 1
2k( 4 0 ．-------------
8 分
2
4
设 A(x A , y A )， B(x B , y B ) ，则 x A 1 x A
k 2
2 2k 2 ， -------------------------------
9
分
2 k 2
同理可得 x B
k 2 2 2k
2
----------------------------------------------------
10
分
2 k 2
则
x B
x A
4 2k ， y B y A
k( x B
1) k (x A
1)
8k
．
2 k 2
2 k 2
所以直线 AB 的斜率 k AB
y A y B 2为定值． ----------------------------------
12 分
x A x B
21.解：（Ⅰ）∵ f ( x) a
b
2 , ----------------------------------------------------1
分
x
x
由直线 y
2 的斜率为 0，且过点 (1,2)
f (1) 2,
b 1,
得
1
即
------------------------------------------------------
3
分
f (1) , a b 0,
2
解得 a 1, b
1. -----------------------------------------------------------------
5
分
（Ⅱ）当 x
1 时，不等式
( x 1)ln x
x
1 2ln x
0. --------------------------
6
分 f ( x)
x 1
x
当 0
x 1 时，不等式 f (x)
( x 1)ln x
x 1 2ln x
0. -----------------------------
7
分
x 1
x
令 g( x)
x
1 1
1 2
x 2 2x 1
,
2ln x, g (x)
x 2 x
x 2
x
当 x 0 时， g ( x) 0, 所以函数 g( x) 在 (0,
) 单调递增， ------------------------
9 分
当 x 1时， g( x)
( x
g(1) 0, 故 f ( x)
当 0
x 1时， g( x) g(1) 0, 故 f ( x)
所以当 x
0 且
x
( x 1
时，不等式
f ( x)
x
1) ln x
成立 ------------------------------ 10 分
1
( x 1) ln x
也成立 -------------------------
11 分
x 1
1) ln x
总成立 ----------------------------
12 分
x
1
22.解：（ I ） EP 与⊙ O 相切于点 A ，ACB
PAB 250 ， ----------------------- 1 分
又 BC 是⊙ O 的直径，
ABC 650
----------------------------------------------3 分
四边形 ABCD 内接一于⊙ O ，
ABC
D
1800
D
1150. -------------------------------------------------------------------
5
分
（II ）
DAE
250 ,
ACD
PAB, D
PBA ,
ADC PBA.---------------------------------------------------------------
7 分 DA DC
. -------------------------------------------------------------------
8
分
BP
BA
又 DA
BA,
DA 2
DC
BP.--------------------------------------------------
10 分
23.解：（ I ）直线 l 的普通方程为 3x y 4 0 ， ------------------------------------ 2 分
曲线 C 的直角坐标系方程为
x 2
y 2
16.--------------------------------------------
4 分
（II ）⊙ C 的圆心（ 0， 0）到直线 l : 3x y 4 0 的距离
d
4
2, ------------------------------------------------------------6
分
3)2
( 12
∴ cos
1
AOB
2 1 , --------------------------------------------------------8 分
2
4
2
1 AOB
,
∵ 0
2
2
1
, 故 2 -----------------------------------------------
10
分
AOB
3 AOB ．
2
3
24.解：（ I ）由题意，得 f ( x) f (x 1) | x 1|
| x 2 | ，
因此只须解不等式
| x 1| | x 2 | 2
---------------------------------------------
1 分
当 x ≤1时，原不式等价于 -2x+3≤2，即
1
x 1 ； ------------------------------------ 2
分
2
当 1 x 2 时，原不式等价于
1≤2，即 1 x 2 ； ------------------------------------ 3
分
当 x>2 时，原不式等价于 2x- 3≤2，即 2
x
5 .-------------------------------------- 4
分
2
综上 ,原不等式的解集为
x |
1
x
5 .
-------------------------------------------
5
分
2
2
（II ）由题意得 f (ax) af (x)
ax 2 a x 2 ------------------------------------
6
分
= ax 2
2a ax ax 2 2a
ax ---------------------------------------------
8
分
2a2 f (2a). --------------------------------------------------------------9分
所以 f (ax)af ( x) f (2 a) 成立．------------------------------------------------10分
11。