2019年高考数学一轮总复习(文)专题22 解斜三角形

1 2. 三 角 形 的 面 积 ： S △ ABC ＝ __________________ ＝ 2absinC 1 1 abc acsin B bcsin A ____________________ ＝___________________ ＝ 4R ＝ 2 2 1 r(R 为三角形外接圆半径，r 为内切圆半径)． 2(a＋b＋c)·
2B
5.在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对
3 2 4 边，若 b＝1，c＝ 3，C＝ π ，则 S△ABC＝____. 3
【解析】因为 c＞b，所以 B＜C，所以由正弦定 b c 1 3 1 理得 ＝ ，即 ＝ ＝2，即 sin B＝ ， sin B sin C sin B 2 2π sin 3 π π 2π π 所以 B＝ ，所以 A＝π－ － ＝ .所以 S△ABC＝ 6 6 3 6 1 1 1 3 bcsin A＝ × 3× ＝ . 2 2 2 4
三、正、余弦定理综合应用 例3 如图，在平面四边形 ABCD 中，AD＝1，CD＝2，AC＝ 7. (1)求 cos∠CAD 的值； 7 (2)若 cos∠BAD＝－ ， 14 21 sin∠CBA＝ ，求 BC 的长. 6
【解析】(1)在△DAC 中，由余弦定理可得 AD2＋AC2－DC2 1＋7－4 2 7 cos∠CAD＝ ＝ ＝ ， 7 2AD·AC 2×1× 7 2 7 所以 cos∠CAD＝ . 7 (2)因为∠BAD 为四边形内角， 所以 sin∠BAD>0，sin∠BAD＝ 1－cos2∠BAD 3 21 21 2 ＝ ，且 sin∠CAD＝ 1－cos ∠CAD＝ ， 14 7 再由正弦的和差角公式可得 sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－sin∠CADcos∠BAD 3 21 2 7 21 3 3 7 3 3 ＝ × － ×－ ＝ ＋ ＝ . 14 7 7 7 14 2 14
2.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，ac＝3，且 a＝3bsin A，则△ABC 的面积等于( A ) 1 3 3 A. B. C.1 D. 2 2 4
【解析】∵a＝3bsin A，∴由正弦定理得 sin A＝ 1 3sin Bsin A，∴sin B＝ .∵ac＝3，∴△ABC 的面积 S 3 1 1 1 1 ＝ acsin B＝ ×3× ＝ ，故选 A. 2 2 3 2
3π π 2 因为 C＝ ，A＋B＝ ，所以 sin(A＋B)＝ ， 4 4 2 因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B， 3 2 2 3 2 2 2 即 －sin Asin B＝ ，解得 sin Asin B＝ － ＝ . 5 2 5 2 10 由①得 tan2α－5tan α＋4＝0，解得 tan α＝1 或 tan α＝4.
同时三角形内角和为 180°也可实现内角的转化.
二、余弦定理及应用 例2在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的 cos B b 对边，且 ＝－ . cos C 2a＋c (1)求 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积.
a2＋c2－b2 【解析】(1)由余弦定理知，cos B＝ ， 2ac a2＋b2－c2 cos B b cos C＝ ， 将上式代入 ＝－ 得 2ab cos C 2a＋c a2＋c2－b2 2ab b 2 2 · 2 ＝－ ， 整理得 a ＋ c 2ac a ＋b2－c2 2a＋c －b2＝－ac. a2＋c2－b2 －ac 1 ∴cos B＝ ＝ ＝－ . 2ac 2ac 2 2 ∵B 为三角形的内角，∴B＝ π. 3
〔备选题〕例4在△ABC 中，内角 A，B，C 的对 边分别是 a，b，c，且 a2＋b2＋ 2ab＝c2. (1)求 C； 3 2 cos（α＋A）cos（α＋B） (2)设 cos Acos B＝ ， 5 cos2α 2 ＝ ，求 tan α 的值. 5
【解析】(1)因为 a2＋b2＋ 2ab＝c2，由余弦定理有 a2＋b2－c2 － 2ab 2 cos C＝ ＝ ＝－ ， 2ab 2ab 2 3π 故 C＝ . 4 (2)由题意得 （sin αsin A－cos αcos A）（sin αsin B－cos αcos B） 2 ＝ . 5 cos2α 2 因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝ . 5 tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝ tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝ 2 5 ① 2 . 5
4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形 的问题： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角； (3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角. (4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范 围及函数值的正负确定.
1.在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cos B ＝( D ) 2 2 2 2 6 6 A.－ B. C.－ D. 3 3 3 3 a b 15 【解析】根据正弦定理 ＝ 可得 ＝ sin A sin B sin 60° 10 3 ，解得 sin B＝ ， sin B 3 又因为 b<a，则 B<A，故 B 为锐角， 6 2 所以 cos B＝ 1－sin B＝ ，故 D 正确. 3

2.在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对 的边，已知 a＝ 3，b＝3，C＝30°，则 A＝( A ) A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120°
【解析】 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝3＋9 － 2× 3×3cos 30°＝ 3.∴c ＝ 3＝ a.∴A＝ C＝ 30° .故 选 A.
a＋ c 4.在△ABC 中，cos ＝ ，(a，b，c 分别为角 2 2c A，B，C 的对边)，则△ABC 是( B ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
2B
a＋ c cos B＋1 a＋c 【解析】∵cos ＝ ，∴ ＝ ，∴ 2 2c 2 2c a2＋c2－b2 a a cos B＝ ，∴ ＝ ，∴a2＋c2－b2＝2a2，即 c 2ac c a2＋b2＝c2，∴△ABC 为直角三角形.
方法总结：
1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形 的问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 (从而进一步求出其他的边和角). 2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大 边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大 的角也较大，即 A＞B⇔a＞b⇔sin A＞ sin B. 3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时， 利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况 (存 在两解、 一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般 方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.
2 (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝ π代入 b2＝a2＋c2 3 2 2 －2accos B，得 13＝4 －2ac－2accos π，解得 ac＝3. 3 1 3 3 ∴S△ABC＝ acsin B＝ . 2 4
【点评】 ①根据所给等式的结构特点利用余弦定理 将角化边进行变形是迅速解答本题的关键 .②熟练运用 余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想 在解题过程中的运用.
第四章
三角函数、平面向量与复数
第22讲
解斜三角形
【学习目标】 掌握正、 余弦定理， 能利用这两个定理及面积计算 公式解斜三角形，培养运算求解能力．
【基础检测】 π 1.在△ABC 中，∠A＝ ，BC＝3，AB＝ 6，则 3 ∠C＝( C ) π 3π 3π A. 或 B. 4 4 4 π π C. D. 4 6 BC AB 【解析】由正弦定理得 ＝ ，则 sin C＝ sin A sin C π 6sin 3 ABsin A 2 ＝ ＝ ， 又 BC>AB， 所以∠A>∠C， BC 3 2 π 所以∠C＝ ，故选 C. 4
3.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，若 sin2A＋sin2C－sin2B＝ 3sin Asin C，则角 B 为( A ) π π 2 5 A. B. C. π D. π 6 3 3 6
【解析】由正弦定理可得 a2＋c2－b2＝ 3ac，所 a2＋c2－b2 π 3ac 3 以 cos B＝ ＝ ＝ ，所以 B＝ . 2ac 2ac 2 6
3.在△ABC 中， 三个内角 A， B， C 所对的边为 a， b，c，且 b2＝a2－ac＋c2，C－A＝90°，则 cos Acos C ＝( C ) 1 2 1 2 A. B. C.－ D.－ 4 4 4 4 【 解 析 】 依 题 意 得 a2 ＋ c2 － b2 ＝ ac ， cos B ＝ a2＋c2－b2 ac 1 ＝ ＝ .又 0°<B<180°，所以 B＝60°， 2ac 2ac 2 C＋A＝120°.又 C－A＝90°，所以 C＝90°＋A，A 1 ＝15°，cos Acos C＝cos Acos(90°＋A)＝－ sin 2A 2 1 1 ＝－ sin 30°＝－ ，故选 C. 2 4
一、正弦定理及应用 例1在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， π π π b，c，已知 A＝ ，bsin ＋C－csin ＋B ＝a. 4 4 4 π (1)求证：B－C＝ ； 2 (2)若 a＝ 2，求△ABC 的面积.
π π 【解析】 (1)由 bsin ＋C－csin ＋B 应用正 ＝a， 4 4 π π 弦定理，得 sin Bsin ＋C－sin Csin ＋B＝sin A, 4 4 2 2 2 2 sin B sin C＋ cos C － sin C sin B＋ cos B ＝ 2 2 2 2
2 ， 2 整理得 sin Bcos C－cos Bsin C＝1， 即 sin(B－C)＝1， 3π 3π 由于 0<B< ，0<C< ， 4 4 π 从而 B－C＝ . 2
3π 5π π (2)B＋C＝π－A＝ ，因此 B＝ ，C＝ ， 4 8 8 π 5π asin B 由 a＝ 2，A＝ ，得 b＝ ＝2sin ， 4 sin A 8 π asin C c＝ ＝2sin ， sin A 8 所以△ABC 的面积 5π π π π 1 S＝ bcsin A＝ 2sin sin ＝ 2cos sin 2 8 8 8 8 1 ＝ . 2 【点评】 应用正弦定理可实现三角形的边角转化，
AC 再 由 △ABC 的 正 弦 定 理 可 得 ＝ sin∠CBA BC sin∠BAC 7 3 ⇒BC＝ × ＝3. 2 21 6
【点评】知识：正、余弦定理及同角三角函数关 系，两角差的正弦公式.能力：通过对三角形的分析求 解，考查了推理论证能力以及分析解决问题的能力； 通过求 sin∠BAC 及边 BC 考查运算求解能力.
4.在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a， 30° b， c， 若 a2－b2＝ 3bc， sin C＝2 3sin B， 则 A＝____.
【解析】根据正弦定理及 sin C＝2 3sin B 得 c＝ 2 3b， b2＋c2－a2 c2－（a2－b2） c2－ 3bc ∵cos A＝ ＝ ＝ 2bc 2bc 2bc 3 ＝ ， 2 ∵0°<A<180°，∴A＝30°.