第25讲 指派问题
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指派问题
• 本讲主要介绍指派问题（Assignment Proble模型处理某些实际问题 的例子。
引例：指派问题
• 问题：有4项工作A，B，C，D需要由甲，乙，丙，丁四 人完成，每人完成其中的一项工作。已知各人完成各项 工作的时间如下表所示。问应该如何给他们指派工作， 才能够使完成总时间最少？指派问题最优解
匈牙利法（第四步）
• 第四步：变换当前系数矩阵，增加独立0元素个数， 具体作法如下：
（1）在当前系数矩阵没有被直线覆盖部分找出最 小元素； （2）将所有未被直线覆盖的元素都分别减去这 个最小元素； （3）将覆盖直线十字交叉处的 元素加上这个 最小元素； （4）当前系数矩阵其余元素不变。
• 这样使得0元素发生移动得到新系数矩阵，返回第二步重新寻 找独立0元素并判断是否能够得到最优解。如此进行下去，直 到得到最优解为止。
• 第一步：简化系数矩阵，制造0元素； • 第二步：寻找n个独立0元素，判断是否得 到最优解； • 第三步：如果不存在n个独立0元素，则在 系数矩阵上面作出最少直线覆盖所有0元素； • 第四步：变换当前系数矩阵（不改变最优 解），增加独立0元素个数，返回第二步。 如此进行下去，直到得到最优解为止。
匈牙利法（第一步）
D 7 6 14 6 10
E 9 6 9 10 9
非标准的指派问题
• （1）最大化问题。
令 bij = M – Cij，将目标函数转化为求最小。 注：通常M 取为Cij中最大者。
• （2）某人不能够完成某项工作。
引入充分大正数 M，令 Cij = M 即可。
• （3）人员数大于工作数。
引入虚工作
• （4）人员数小于工作数。
• 以上为指派问题的一个可行解矩阵，即可行解： X12 =1， X23 =1， X31 =1， X44 =1，其余Xij =0 工作安排为甲完成B，乙完成C，丙完成A，丁完成D。 • 注意：非零元素1有4个，而且它们的相互位置是既不 同行也不同列。这样的位置我们称为是独立的。 • 可行解个数共有n!个。
匈牙利法的来历
• 匈牙利法是一个求解指派问题的简便易行的 方法。 • 库恩（W.W.Kuhn）于1955年提出指派问题的 解法，他引用了匈牙利数学家康尼格一个关 于矩阵中0元素的定理： 系数矩阵中独立0元素的最多个数等于能 够覆盖所有0元素的最少直线个数。 这种解法被称为匈牙利法。
匈牙利法的求解步骤
课堂练习：指派问题
• 问题：有5项工作A，B，C，D，E需要由甲，乙，丙， 丁，戊五人完成，每人完成其中的一项工作。已知各人 完成各项工作的时间如下表所示。问应该如何给他们指 派工作，才能够使完成总时间最少？
工作 人员 甲 乙 丙 丁 戊
A 12 8 7 15 4
B 7 9 17 14 10
C 9 6 12 6 7
匈牙利法（第三步）
• 第三步：如果不存在n个独立0元素，在当前 系数矩 阵上面作出最少直线覆盖所有0元素，具体方法如下： （1）对无划圈0元素的行打√号； （2）对打√号的行上所有含0元素的列打√号； （3）再对已经打√号的列中含有划圈0元素所 在的行打√号； （4）重复（2），（3）直到不再出现新的 打√号的行、列为止。 （5） 对没有打√号的行 和 已经打√号的列画一条直 线，就得到覆盖所有0元素的最少直线，这些直线数 目小于n。
谢 谢！ 再 见！
个
• 个 • 个
指派问题最优解
• 指派问题最优解的性质： 从系数矩阵（Cij）的每一行（或每一列）元 素中分别减去该行（或列）的最小元素，得到新 矩阵（bij）,以（bij）为系数矩阵求得的指派问 题最优解和原系数矩阵的最优解相同。引例：指 派问题 • 求解思路：如果能够在（bij）中找出n个既不同 行也不同列的独立0元素，就可以令解矩阵（xij） 中对应于这n个独立0元素的决策变量取值为1，其 它决策变量取值为0，这样就得到以（bij）为系 数矩阵的指派问题的最优解，也是原问题的最优 解。
LP :
s.t.
m in Z cijxij i j xij 1 (i 1,2,...,n) j xij 1 ( j 1,2,...,n) i xij 0,1 (i, j 1,2,...,n)
引例的可行解矩阵
0 0 ( xij)n n 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
• 第一步：简化系数矩阵，目的在于使每行每列 都产生0元素，具体方法： （1）将系数矩阵的每行元素都分别减去该行 的 最小元素； （2）将系数矩阵的每列元素都分别减去该列 的最小元素；
• 注：如果某行（列）已有0元素，则不必再减。
匈牙利法（第二步）
• 第二步：寻找n个独立0元素，判断是否得到最优解： 如果已经找出n个独立0元素，令解矩阵（xij）中对 应的决策变量取值为1，其它决策变量取值为0，这样就 得到最优解； 如果不存在n个独立0元素，则转第三步。 • 寻找独立0元素的方法：检查当前系数矩阵（bij）的 每行每列，从0元素最少的行或列开始，给这个0元素 加圈，记作◎（若该行或列有多个0元素则任圈一个）， 然后划去加圈0元素所在行或列的其他0元素，记作 ， 重复进行直到所有0元素都被圈出或者被划去为止。
例：翻译选择
语种 人员 甲 乙 丙 丁 戊 900 800 900 400 1000 400 500 700 800 500 600 900 300 600 300 800 1000 500 900 600 500 600 800 500 800 英 俄 日
德
法
• 以上为五人翻译五种外文的速度（印刷符号 / 小时），若规定 每人专门负责一个语种的翻译工作，那么，试回答下列问： （1）应如何指派，使总的翻译效率最高？ （2）若甲不懂德文，乙不懂日文，其他数字不变，应如何指派？
引入虚拟人员
练习：游泳组队
• 五名游泳运动员的四种泳姿的百米最好成绩如下表所 示，应该从中选择哪四个人组成一个4100米混合泳接 力队伍？
人
泳姿 蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲
乙
丙
丁
戊
1’06’’8 57’’2 1’18 ’’ 1’10’ 1’07’’4 1’15’’8 1’06’’ 1’07’’8 1’14’’2 1’11’’ 1’27’’ 1’06’’4 1’24’’6 1’09’’6 1’23’’8 58’’6 53’’ 59’’4 57’’2 1’02’’4
工作 人员 甲 乙 丙 丁
A 14 11 13 17
B 9 7 2 9
C 4 9 10 15
D 15 10 5 3
指派问题的LP模型
•
Xij：决策变量（0-1变量），表示是否指派第i个人 去完成第j项工作： 若Xij =1，则指派；若Xij =0，则不指派。 • Cij: 表示指派第i个人去完成第j项工作需要的时间。
• 本讲主要介绍指派问题（Assignment Proble模型处理某些实际问题 的例子。
引例：指派问题
• 问题：有4项工作A，B，C，D需要由甲，乙，丙，丁四 人完成，每人完成其中的一项工作。已知各人完成各项 工作的时间如下表所示。问应该如何给他们指派工作， 才能够使完成总时间最少？指派问题最优解
匈牙利法（第四步）
• 第四步：变换当前系数矩阵，增加独立0元素个数， 具体作法如下：
（1）在当前系数矩阵没有被直线覆盖部分找出最 小元素； （2）将所有未被直线覆盖的元素都分别减去这 个最小元素； （3）将覆盖直线十字交叉处的 元素加上这个 最小元素； （4）当前系数矩阵其余元素不变。
• 这样使得0元素发生移动得到新系数矩阵，返回第二步重新寻 找独立0元素并判断是否能够得到最优解。如此进行下去，直 到得到最优解为止。
• 第一步：简化系数矩阵，制造0元素； • 第二步：寻找n个独立0元素，判断是否得 到最优解； • 第三步：如果不存在n个独立0元素，则在 系数矩阵上面作出最少直线覆盖所有0元素； • 第四步：变换当前系数矩阵（不改变最优 解），增加独立0元素个数，返回第二步。 如此进行下去，直到得到最优解为止。
匈牙利法（第一步）
D 7 6 14 6 10
E 9 6 9 10 9
非标准的指派问题
• （1）最大化问题。
令 bij = M – Cij，将目标函数转化为求最小。 注：通常M 取为Cij中最大者。
• （2）某人不能够完成某项工作。
引入充分大正数 M，令 Cij = M 即可。
• （3）人员数大于工作数。
引入虚工作
• （4）人员数小于工作数。
• 以上为指派问题的一个可行解矩阵，即可行解： X12 =1， X23 =1， X31 =1， X44 =1，其余Xij =0 工作安排为甲完成B，乙完成C，丙完成A，丁完成D。 • 注意：非零元素1有4个，而且它们的相互位置是既不 同行也不同列。这样的位置我们称为是独立的。 • 可行解个数共有n!个。
匈牙利法的来历
• 匈牙利法是一个求解指派问题的简便易行的 方法。 • 库恩（W.W.Kuhn）于1955年提出指派问题的 解法，他引用了匈牙利数学家康尼格一个关 于矩阵中0元素的定理： 系数矩阵中独立0元素的最多个数等于能 够覆盖所有0元素的最少直线个数。 这种解法被称为匈牙利法。
匈牙利法的求解步骤
课堂练习：指派问题
• 问题：有5项工作A，B，C，D，E需要由甲，乙，丙， 丁，戊五人完成，每人完成其中的一项工作。已知各人 完成各项工作的时间如下表所示。问应该如何给他们指 派工作，才能够使完成总时间最少？
工作 人员 甲 乙 丙 丁 戊
A 12 8 7 15 4
B 7 9 17 14 10
C 9 6 12 6 7
匈牙利法（第三步）
• 第三步：如果不存在n个独立0元素，在当前 系数矩 阵上面作出最少直线覆盖所有0元素，具体方法如下： （1）对无划圈0元素的行打√号； （2）对打√号的行上所有含0元素的列打√号； （3）再对已经打√号的列中含有划圈0元素所 在的行打√号； （4）重复（2），（3）直到不再出现新的 打√号的行、列为止。 （5） 对没有打√号的行 和 已经打√号的列画一条直 线，就得到覆盖所有0元素的最少直线，这些直线数 目小于n。
谢 谢！ 再 见！
个
• 个 • 个
指派问题最优解
• 指派问题最优解的性质： 从系数矩阵（Cij）的每一行（或每一列）元 素中分别减去该行（或列）的最小元素，得到新 矩阵（bij）,以（bij）为系数矩阵求得的指派问 题最优解和原系数矩阵的最优解相同。引例：指 派问题 • 求解思路：如果能够在（bij）中找出n个既不同 行也不同列的独立0元素，就可以令解矩阵（xij） 中对应于这n个独立0元素的决策变量取值为1，其 它决策变量取值为0，这样就得到以（bij）为系 数矩阵的指派问题的最优解，也是原问题的最优 解。
LP :
s.t.
m in Z cijxij i j xij 1 (i 1,2,...,n) j xij 1 ( j 1,2,...,n) i xij 0,1 (i, j 1,2,...,n)
引例的可行解矩阵
0 0 ( xij)n n 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
• 第一步：简化系数矩阵，目的在于使每行每列 都产生0元素，具体方法： （1）将系数矩阵的每行元素都分别减去该行 的 最小元素； （2）将系数矩阵的每列元素都分别减去该列 的最小元素；
• 注：如果某行（列）已有0元素，则不必再减。
匈牙利法（第二步）
• 第二步：寻找n个独立0元素，判断是否得到最优解： 如果已经找出n个独立0元素，令解矩阵（xij）中对 应的决策变量取值为1，其它决策变量取值为0，这样就 得到最优解； 如果不存在n个独立0元素，则转第三步。 • 寻找独立0元素的方法：检查当前系数矩阵（bij）的 每行每列，从0元素最少的行或列开始，给这个0元素 加圈，记作◎（若该行或列有多个0元素则任圈一个）， 然后划去加圈0元素所在行或列的其他0元素，记作 ， 重复进行直到所有0元素都被圈出或者被划去为止。
例：翻译选择
语种 人员 甲 乙 丙 丁 戊 900 800 900 400 1000 400 500 700 800 500 600 900 300 600 300 800 1000 500 900 600 500 600 800 500 800 英 俄 日
德
法
• 以上为五人翻译五种外文的速度（印刷符号 / 小时），若规定 每人专门负责一个语种的翻译工作，那么，试回答下列问： （1）应如何指派，使总的翻译效率最高？ （2）若甲不懂德文，乙不懂日文，其他数字不变，应如何指派？
引入虚拟人员
练习：游泳组队
• 五名游泳运动员的四种泳姿的百米最好成绩如下表所 示，应该从中选择哪四个人组成一个4100米混合泳接 力队伍？
人
泳姿 蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲
乙
丙
丁
戊
1’06’’8 57’’2 1’18 ’’ 1’10’ 1’07’’4 1’15’’8 1’06’’ 1’07’’8 1’14’’2 1’11’’ 1’27’’ 1’06’’4 1’24’’6 1’09’’6 1’23’’8 58’’6 53’’ 59’’4 57’’2 1’02’’4
工作 人员 甲 乙 丙 丁
A 14 11 13 17
B 9 7 2 9
C 4 9 10 15
D 15 10 5 3
指派问题的LP模型
•
Xij：决策变量（0-1变量），表示是否指派第i个人 去完成第j项工作： 若Xij =1，则指派；若Xij =0，则不指派。 • Cij: 表示指派第i个人去完成第j项工作需要的时间。