高考数学压轴专题最新备战高考《集合与常用逻辑用语》易错题汇编含答案解析

【最新】数学《集合与常用逻辑用语》高考复习知识点
一、选择题
1．数列{}n a 的通项公式为()
n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
2．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
3．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x >- B ．{|3}x x <-
C ．{|3}x x ≤-
D ．{|23}x x ≤<
【答案】C 【解析】 【分析】
化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】
因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-， 所以A B U {|3}x x =>-，
()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.
【点睛】
本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.
4．已知集合(){}2log 1,0A y y x x ==+≥，{}
0.5,1x
B y y x ==>，则A B =U （ ）
A ．()0.5,+∞
B ．[)0,+∞
C ．()0,0.5
D ．[)0,0.5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据指数函数和对数函数的性质，化简集合,A B ，再求并集即可. 【详解】
0x ≥Q ，11x ∴+≥，2log (1)0x ∴+≥，故{|0}A y y =≥
1111,0,|0222x
x B y y ⎛⎫⎧
⎫>∴<<∴=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩
⎭Q
1{|0}0{|0}2A B y y y y y y ⎧⎫
∴⋃=≥⋃<<=≥⎨⎬⎩
⎭
故选B 【点睛】
本题主要考查了集合并集的运算，属于中档题.
5．“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
方程22
117x y m m +=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案.
【详解】
因为方程2
2
117x y
m m +=+-表示椭圆，所以1070
17m m m m
+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩
，解得13m -<<或37m <<. 故“13m -<<”是“方程22
117x y m m
+=+-表示椭圆”的充分不必要条件.
故选：A 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
6．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】
22x y +≥Q 且224x y
+≤ ，
422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤，
反过来，当1
2,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
7．下列三个命题中，真命题的个数为（ ） ①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，
002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02
x x ≤-； ②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件； ③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题； A ．3 B ．2
C ．1
D ．0
【答案】C 【解析】 【分析】
对三个命题逐一判断即可. 【详解】
①中p ⌝：()1
x ∀∈+∞，，02
x
x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题；
③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C . 【点睛】
本题考查命题的真假，属于基础题.
8．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤2
n ； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心
率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①
错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得
22
m n m n
+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.
④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭，则11
10221121
112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪
-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1
m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
9．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3
C π
<”，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，
求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，
整理得，22
12cos a b C ab
++>，
由基本不等式，2222
22a b a b ab ab
+≥=，
当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1
cos 2C >，解得3
C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291
cos 247562
C +-==>⨯⨯，
故3
C π
<
，但228ab c =<，故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
10．设
，则
"是"
"的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.
【详解】
，当
时，
，充分性；
当，取
，验证成立，故不必要.
故选：. 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
11．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫
==+∈⎨⎬⎩⎭
，则（ ） A ．M N = B ．M N C ．N M D ．M N ⋂=∅
【答案】C 【解析】 【分析】
化简集合2|,4k M x x k Z +⎧
⎫==
∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫
==∈⎨⎬⎩⎭
，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解. 【详解】
由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==
+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫
==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，
因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数， 所以集合,M N 的关系为N M .
故选：C . 【点睛】
本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
12．给出下列命题，则假命题的个数是（ ）
①若,,a b c ∈R ，则“a b >”的充要条件是“22ac bc >”；
②给定两个命题p ，q ，p ⌝是q 的必要不充分条件，则p 是q ⌝的充分不必要条件； ③设,x y R ∈，若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠；
④命题“若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根”的否命题．（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，即可判断①；利用原命题与逆否命题的关系可判断②③，写出否命题即可判断④. 【详解】
若a b >，当0c =时，22ac bc >不成立，反过来，若22ac bc >，则可得a b >，故
22ac bc >是a b >的充分不必要条件，故①错误；
若p ⌝是q 的必要不充分条件，由原命题与逆否命题的等价性可知，q ⌝是p 的必要不充分
件，即p 是q ⌝的充分不必要条件，故②正确；
若7x y +≠，则3x ≠或4y ≠的逆否命题为若3x =且4x =，则7x y +=，显然逆否命 题为真命题，则原命题也为真命题，故③正确；
若0m >，则方程2230x x m +-=有实数根的否命题为若0m ≤，则方程
2230x x m +-=无实根，
显然是假命题，因为0m =时，方程就有实根，故④错误. 故选：C 【点睛】
本题考查判断命题的真假，涉及到充分条件、必要条件、四种命题之间的关系，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
13．“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）
A ．“6m =”
B ．“67m <<”
C ．“57m <<”
D ．“57m <<”且“6m ≠”
【答案】C 【解析】 【分析】
由椭圆的定义可列出m 满足的不等式组，从而求出m 的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件． 【详解】
因为方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆，
则由椭圆的定义可知：705075m m m m ->⎧⎪
->⎨⎪-≠-⎩
，解得：57m <<且6m ≠，
所以“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“57m <<且6m ≠”，
Q “57m <<”推不出“57m <<且6m ≠”，反之可推出，
所以“57m <<”是方程“22
175x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
所以“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“57m <<”．
故选：C ． 【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.
14．已知集合*4
x
M x N ⎧=∈⎨⎩且*10x N ⎫∈⎬⎭，集合40x N x
Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N = B ．N M ⊆ C ．20x M N x
Z ⎧⎫
⋃=∈⎨⎬⎩⎭
D ．*40x M N x
N ⎧⎫
⋂=∈⎨⎬⎩⎭
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：集合M 表示能被20整除的正整数， 而集合N 表示能被40整除的整数，
据此可得，集合N 与集合M 的公共元素为能被40整除的正整数， 即*40x M N x
N ⎧⎫
⋂=∈⎨⎬⎩⎭
， 本题选择D 选项.
15．已知实数a b 、满足0ab >，则“11
a b
<成立”是“a b >成立”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 由
11b a a b ab
--=， 0ab >Q ，∴若11
a b
< 成立,
则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >， 0ab >Q ，110b a a b ab
-∴
-=<， 即
11
a b
<成立， ∴“
11
a b <成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应
注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试
,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直
观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
16．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要
条件 【答案】C 【解析】
当0a <时，方程210ax +=，即2
1
x a
=-
，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方程210ax +=至少有一个负数根时，a 不可以为0，从而2
1
x a
=-
，所以0a <，由上述推理可知，“0a <”是方程“210ax +=至少有一个负数根”的充要条件，故选
C.
17．已知集合{}
2|log ,1,|A y y x x B x y ⎧==>==
⎨⎩，则A B =I （ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】
∵集合{}
2log ,1A y y x x == ∴集合(0,)A =+∞ ∵集合|
B x y ⎧==
⎨⎩ ∴集合1(,)2
B =-∞ ∴1(0,)2
A B ⋂= 故选A.
18．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数()e 2(0)x f x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即
可.
【详解】
e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，
令()e 2(0)x f x x x =->，则()e 2x f x '=-，
令()0f x '=，解得ln 2x =，
因为()'
f x 为R 上的增函数,
所以当()0,ln 2x ∈时,()'0f x <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >, 故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，
所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-,
即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；
但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-,
所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<，
故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.
综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件.
故选:A
【点睛】
本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)x f x x x =->,利用函数的单调性
进行判断;属于中档题.
19．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）
A ．21,2n n n ∀>>
B ．21,2n n n ∃≤≤
C ．21,2n n n ∀>≤
D ．21,2n n n ∃>≤
【答案】C
【解析】
根据命题的否定，可以写出p ⌝：21,2n n n ∀>≤，所以选C.
20．若命题“[1,2]x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．5,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(,1)-∞ D ．(1,)+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
分离参数，将问题转化为[]1,2x ∀∈，2111()22x a x x x
+<=+恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.
【详解】
若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，
则[]1,2x ∀∈，2
12x ax +>，即2111()22x a x x x +<=+恒成立，
11()12x x +≥=Q ，当且仅当1x =时等号成立， ∴1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞.
故选：C ．
【点睛】
此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.。