2018版高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第十三章

第十三章计数原理
考点1 排列与组合
1.(2016·全国Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24
B.18
C.12
D.9
1.B [从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G 点的最短路径为6×3＝18种，故选B.]
2.(2016·全国Ⅲ，12)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数.若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A.18个
B.16个
C.14个
D.12个
2.C [第一位为0，最后一位为1，中间3个0，3个1，三个1在一起时为000111，001110；只有2个1相邻时，共A24种，其中110100；110010；110001，101100不符合题意，三个1都不在一起时有C34种，共2＋8＋4＝14.]
3.(2016·四川，4)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A.24
B.48
C.60
D.72
3.D [由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C13，再将剩下的4个数字排列得到A44，则满足条件的五位数有C13·A44＝72.选D.]
4.(2016·北京，8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
4.B [取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1个；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；因为红球和黑球个数一样，
所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中
的黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.]
5.(2015·四川，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A.144个
B.120个
C.96个
D.72个
5.B [由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A34＝72个；若万位是4，则有2×A34个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.]
6.(2014·大纲全国，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A.60种
B.70种
C.75种
D.150种
6.C [从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C.]
7.(2014·辽宁，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144
B.120
C.72
D.24
7.D [3人中每两人之间恰有一个空座位，有A33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A33×A22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法.]
8.(2014·四川，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
8.B [当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C14A44种.故不同的排法共有A55＋C14A44＝9×24＝216种.]
9.(2014·重庆，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A.72
B.120
C.144
D.168
9.B [依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.]
10.(2014·安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°
的共有( )
A.24对
B.30对
C.48对
D.60对
10.C [法一直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.
法二间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C212－12－6＝48对.]
11.(2014·福建，10)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
11.A [分三步：第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.]
12.(2014·广东，8)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )
A.60
B.90
C.120
D.130
12.D [易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论.其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C15C12＝10种情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C25＋C25C12＝40种情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，
从x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C 3
5＋C 35C 1
3＋C 35C 2
3＝80种情况.由于10＋40＋80＝130，故答案为D.]
13.(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).
13.1 560 [依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 2
40＝40×39＝1 560条毕业留言.]
14.(2014·北京，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品
C 不相邻，则不同的摆法有________种.
14.36 [将A 、B 捆绑在一起，有A 2
2种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A 4
4种摆法，共有A 22A 4
4＝48种摆法，而A 、B 、C 3件在一起，且A 、B 相邻，A 、C 相邻有CAB 、BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A 3
3＝12种摆法，故A 、B 相邻，A 、C 不相邻的摆法有48－12＝36种.]
15.(2014·浙江，14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).
15.60 [分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C 23C 11A 2
4
＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 3
4＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).]
考点2 二项式定理及其应用
1.(2016·四川，2)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4
的项为( ) A.-15x
4
B.15x
4
C.-20i x
4
D.20i x
4
1. A [由题可知，含x 4
的项为C 26x 4i 2＝－15x 4
.选A.]
2.(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x 2
＋x ＋y )5
的展开式中，x 5y 2
的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 2.C [T k ＋1＝C k
5(x 2
＋x )
5－k y k
，∴k ＝2.∴C 25(x 2＋x )3y 2的第r ＋1项为C 25C r 3x
2(3－r )x r y 2
， ∴2(3－r )＋r ＝5，解得r ＝1，∴x 5y 2
的系数为C 25C 1
3＝30.]
3.(2015·湖南，6)已知⎝
⎛⎭⎪⎫x －a x 5
的展开式中含32x 的项的系数为30，则a ＝( )
A. 3
B.－ 3
C.6
D.－6
3.D [⎝
⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式通项T r ＋1＝C r 5x 5－r 2(－1)r a r ·x －r 2＝(－1)r a r C r 5x 5
2－r
，
令52－r ＝32，则r ＝1，∴T 2＝－a C 15x 3
2，∴－a C 1
5＝30，∴a ＝－6，故选D.]
4.(2015·陕西，4)二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2
的系数为15，则n ＝( ) A.4 B.5 C.6 D.7
4.C [由题意易得：C n －2
n ＝15，C n －2
n ＝C 2
n ＝15，即n （n －1）
2
＝15，解得n ＝6.]
5.(2014·湖北，2)若二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x
3的系数是84，则实数a ＝( )
A.2
B.5
4 C.1 D.24
5.C [T r ＋1＝C r
7·(2x )7－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫a x r
＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5
＝84得a
＝1，故选C.]
6.(2014·浙江，5)在(1＋x )6
(1＋y )4
的展开式中，记x m y n
项的系数f (m ，n )，则f (3,0)＋
f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )
A.45
B.60
C.120
D.210
6.C [在(1＋x )6
的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n
4，故f (m ，
n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60,f (1，2)＝C 16·C 2
4＝36,f (0，3)＝
C 3
4＝4，故选C.]
7.(2014·四川，2)在x (1＋x )6
的展开式中，含x 3
项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10
7.C [只需求(1＋x )6
的展开式中含x 2
项的系数即可,而含x 2
项的系数为C 2
6＝15，故选C.]
8.(2014·湖南，4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3
的系数是( )
A.－20
B.－5
C.5
D.20
8.A [展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(12
x )5－k ·(－2y )k ＝(－1)k ·22k －5C k 5x 5－k ·y k
，令5－k ＝2，得k
＝3.则展开式中x 2y 3的系数为(－1)3
·2
2×3－5C 3
5
＝－20，故选A.]
9.(2016·全国Ⅰ，14)(2x ＋x )5
的展开式中，x 3
的系数是______________(用数字填写答案).
9.10 [(2x ＋x )5
展开式的通项公式T k ＋1＝C k 5(2x )5－k
(x )k
＝C k 52
5－k x 5－
k
2，k ∈{0,1,2,3,4,5}，
令5－k
2＝3解得k ＝4，得T 5＝C 452
5－4x 5－4
2
＝10x 3，∴x 3的系数是10.]
10.(2016·北京，10)在(1－2x )6
的展开式中，x 2
的系数为________. 10. 60 [展开式的通项T r ＋1＝C r 6·16－r
·(－2x )r ＝C r 6(－2x )r .令r ＝2得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2
，
即x 2
的系数为60.]
11.(2015·北京，9)在(2＋x )5
的展开式中，x 3
的系数为________(用数字作答). 11.40 [展开式通项为：T r ＋1＝C r 525－r x r
，∴当r ＝3时，系数为C 35·25－3
＝40.]
12.(2015·天津，12)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2
的系数为________.
12.1516 [⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14r x 6－2r ；
当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2
的系数为C 26
⎝ ⎛⎭⎪⎫－142
＝15
16
.]
13.(2014·新课标全国Ⅰ，13)(x －y )(x ＋y )8
的展开式中x 2y 7
的系数为________(用数字填写答案).
13.－20 [由二项展开式公式可知，含x 2y 7
的项可表示为x ·C 7
8xy 7
－y ·C 68x 2y 6
，故(x －y )(x ＋y )8
的展开式中x 2y 7
的系数为C 7
8－C 6
8＝C 1
8－C 28＝8－28＝－20.]
14.(2014·新课标全国Ⅱ，13)(x ＋a )10
的展开式中，x 7
的系数为15，则a ＝________(用数字作答).
14.12 [T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ,令10－r ＝7,得r ＝3,∴C 310a 3
＝15，即10×9×83×2×1a 3＝15,∴a 3＝18，∴a ＝12.]
15.(2014·安徽，13)设a ≠0，n 是大于1的自然数，
⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋x a n 的展开式为
a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a
＝________.
15.3 [根据题意知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，
结合二项式定理得⎩⎪⎨⎪⎧C 1
n
·1
a ＝3，C 2
n ·1a
2
＝4，即⎩⎪⎨
⎪⎧n －1＝83a ，
n ＝3a ，解得a ＝3.]
16.(2014·山东，14)若⎝
⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2
的最小值为________.
16.2 [T r ＋1＝C r
6(ax 2)6－r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫b x r
＝C r 6a 6－r b r x 12－3r
，令12－3r ＝3，则r ＝3.
∴C 36a 3b 3＝20，即ab ＝1.∴a 2＋b 2≥2ab ＝2，即a 2＋b 2
的最小值为2.]
17.(2014·大纲全国，13)⎝ ⎛⎭⎪⎫ x y
－y x 8的展开式中x 2y 2
的系数为________(用数字作答).
17.70 [T r ＋1＝C r
8·⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ·⎝
⎛⎭⎪⎫－y x r ＝(－1)r ·C r
8·x 16－3r 2·y 3r －8
2，
令⎩⎪⎨⎪⎧16－3r
2＝2，3r －82＝2，
得r ＝4.所以展开式中x 2y 2
的系数为(－1)4
·C 4
8
＝70.]。