2020-2021深圳西乡中学高三数学下期末第一次模拟试题(带答案)

2020-2021深圳西乡中学高三数学下期末第一次模拟试题(带答案)
一、选择题
1．()22
x x
e e
f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆
229x y +=内的概率为（ ）
A ．
536
B ．
29
C ．
16
D ．
19
3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i
C ．3+i
D ．-1+i
4．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据
分为( ) A ．10组
B ．9组
C ．8组
D ．7组
5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ）
A ．28
B ．32
C ．33
D ．27
7．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面；
③若M α∈，M β∈，l αβ=I ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x
⎧---≤⎪
=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．30a -≤<
B ．0a <
C ．2a ≤-
D ．32a --≤≤
9．已知,a b ∈R ，函数32
,0
()11(1),03
2x x f x x a x ax x <⎧⎪
=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<
D ．1,0a b >-> 10．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ） A
x << B
5x < C
．2x <<
D
5x <<
11．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
12．sin 47sin17cos30cos17-o o o
o
A
． B ．12
-
C ．
12
D
二、填空题
13．已知函数2
1,1
()()1
a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．
14．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1
sin 3
α=
，则cos()αβ-=___________. 15．若x ，y 满足约束条件x y 102x y 10x 0
--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则x
z y 2=-+的最小值为______．
16．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在
线段BC 和CD 上,且21,,36
BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为 ．
17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则
a =__________．
18．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.
19．已知实数,x y 满足不等式组201030
y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩
，则y
x 的取值范围为__________．
20．设α 为第四象限角，且
sin3sin αα＝13
5
，则 2tan ＝α ________. 三、解答题
21．
已知直线352:{
1
32
x t
l y t
=+
=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点
的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值.
22．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图的的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.
23．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；
()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期
望．
24．已知2256x ≤且21log
2x ≥
，求函数2()log 2
x f x =⋅的最大值和最小值． 25．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()
0,5，且()f x 在区间[]
1,4-上的最大值是12.
（1）求()f x 的解析式；
（2）设函数()f x 在[]
,1x t t ∈+上的最小值为()g t ，求()
g t 的表达式.
26．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，
c .
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性，排除D ；根据函数解析式可知定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1，利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项． 【详解】
由函数解析式()22x x e e f x x x --=+-，易知()2
2x x
e e
f x x x ---=+-=() f x - 所以函数()22
x x
e e
f x x x --=+-为奇函数，排除D 选项
根据解析式分母不为0可知,定义域为{}
1x x ≠±,所以y 轴右侧虚线部分为x=1， 当x=0.01时，代入()f x 可得()0f x <，排除C 选项 当x=1.001时，代入()f x 可得()0f x >，排除B 选项 所以选A 【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．
2．D
解析：D 【解析】
掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,
∴P=
41369=. 故选D
3．C
解析：C 【解析】
因为2
(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.
4．B
解析：B 【解析】
由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；
分3种情况讨论可得，
甲在星期一有A 42=12种安排方法， 甲在星期二有A 32=6种安排方法， 甲在星期三有A 22=2种安排方法， 总共有12+6+2=20种； 故选A ．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x
【详解】
因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯， 可得2043x -=⨯，解得32x =，故选B. 【点睛】
本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；
两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；
空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，
综上所述只有一个说法是正确的， 故选A ．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】
要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，
所以21,20,115,
1a a a a ⎧-≥⎪⎪
<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩
，解得32a --≤≤.
故选D. 【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.
解析：C 【解析】 【分析】
当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …
时，32321111
()(1)(1)32
32
y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=
-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】 当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b x a
=
-；()y f x ax b =--最多一个零点； 当0x …
时，32321111
()(1)(1)3232
y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，
当10a +„，即1a -„时，0y '…
，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；
当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，
1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：
∴01b a <-且32
11(1)(1)(1)03
2b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31
0(116
,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
10．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐
角为角α，根据余弦定理得22223
cos 04x x
α+-=>，解得x >x 边对的锐角为
β
，根据余弦定理得222
23cos 012
x β+-=>，解得0x <<x 的取值范
x << A. 考点：余弦定理.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2
25
2
R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】
设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得
2R =2
252R =
，所以球的表面积为2
2544502
S R πππ==⨯
=球. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由(
)
sin 473017sin θ=+o
o o
，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可. 【详解】
0000
sin 47sin17cos30cos17
-sin()sin cos cos 1730173017︒+︒-︒︒
=︒
sin17cos30cos17sin 30sin17cos30cos17︒︒+︒︒-︒︒=
︒
1
302sin =︒=．故选C ．
【点睛】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则： （1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
二、填空题
13．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3
【解析】 【分析】
由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】
由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，
当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，
解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪
-≤⎨⎪-≠-⎩
，解得13a <?；
当1x >时，由2
()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以11
11
a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，
综上可得：实数a 的取值范围为(]
2,3. 【点睛】
本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
14．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边
解析：7
9
-
【解析】
试题分析：因为
α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么
1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22
cos cos 3
βα=-=），
所以()2
2
2
7
cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19
αβαβαβααα-=+=-+=-=-
. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈.
15．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A 时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为
解析：-1 【解析】 【分析】
画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数1
z x y 2
=-+的最小值． 【详解】
画出约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域如图所示，
由图形知，当目标函数1
z x y 2
=-+过点A 时取得最小值，由{
x 0
x y 10=--=，解得
()A 0,1-，代入计算()z 011=+-=-，所以1
z x y 2
=-+的最小值为1-．
故答案为1-． 【点睛】
本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．
16．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积
解析：29
18
【解析】
在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o
得
12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r
,12
DC AB =u u u r u u u r ,所以()()
AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积.
17．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化
解析：1【解析】 【分析】
根据2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】
因为2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，
由2cos ρθ=，得2
=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，
1101a a a =∴=±>∴=+Q ，，
【点睛】
（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2
cos ,sin ,ρθρθρ的形式，
进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
18．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求
得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：
1015
π
【解析】 【分析】
先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】
由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，
因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，
令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23
SBA ∠=, ∴sin 5SBA ∠=
，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得222
1R r OF =+，
计算得，2
81101
12020R =
+= ， 所以2
101
45
S R ππ==. 故答案为
101
.5
π 【点睛】
本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.
19．【解析】【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率
的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单
解析：1 ,
2
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【解析】
【分析】
作出可行域，
y
x
表示()
,x y与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.
【详解】
如图，不等式组
20
10
30
y
x y
x y
-
⎧
⎪
--
⎨
⎪+-
⎩
„
„
…
表示的平面区域ABC
V（包括边界），所以
y
x
表示()
,x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()
1,22,1
A B
，，所以
1
2
2
OA OB
k k
==
，，故
1
,2
2
y
x
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
.【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.
20．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同
解析：－
3
4
【解析】
因为
3
sin
sin
α
α
＝
()
2
sin
sin
αα
α
+
＝
22
sin cos cos sin
sin
αααα
α
+
＝
()
22221sin cos cos sin sin αααα
α
+-
＝24sin cos sin sin αααα
-
＝4cos 2α－1＝2(2cos 2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝
135，所以cos 2α＝45
. 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－
35，tan 2α＝－3
4
. 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
三、解答题
21．（1）；（2）.
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）在方程=2cos ρθ两边同乘以极径ρ可得2
=2cos ρρθ，再根据
222=,cos x y x ρρθ+=，代入整理即得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程
代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到MA MB ⋅的值.
试题解析：（1）=2cos ρθ等价于2
=2cos ρρθ①
将222
=,cos x y x ρρθ+=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为
2220x y x +-=，②
（2）将35132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入②得2
53180t t ++=，
设这个方程的两个实根分别为12,,t t
则由参数t 的几何意义既知，1218MA MB t t ⋅==.
考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用. 22．(1) ； (2)36000；（3）
.
【解析】 【分析】
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的
频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数. 【详解】
（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×
0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ， 解得a=0.30.
（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000. （Ⅲ）设中位数为x 吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5， 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5.
由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨. 【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】
本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础． 23．（1）1
3
； （2）()1E X =. 【解析】 【分析】
（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；
（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】
（1）由已知有11
23432
101
()3
C C C P A C ⋅+==， 所以事件A 的发生的概率为
13
； （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；
2223342104(0)15C C C P X C ++===；1111
33342107
(1)15
C C C C P X C ⋅+⋅===；
11342
104
(2)15
C C P X C ⋅===； 所以随机变量X 的分布列为：
数学期望为()
0121151515
E X =???. 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题． 24．最小值为1
4
-，最大值为2. 【解析】 【分析】 由已知条件化简得21
log 32
x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】
由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即
21
log 32
x ≤≤ ()()()2
22231log 1log 2log 24f x x x x ⎛
⎫=-⋅-=-- ⎪⎝
⎭.
当23log ,2x = ()min 1
4
f x =-，当2lo
g 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】
熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．
25．（1）2
()210f x x x =-（2）2
2
3268,,22535(),,22
25210,,2t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪
⎪=-
<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩
【解析】
(1)因为()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()
0,5，所以可设
()(5)(0).f x ax x a =->,然后因为-1比5离对称轴的距离远，所以最大值为(-1)=6a,求出a
值，从而求出f(x)的解析式.
（II ）本小题属于二次函数轴定区间动的问题，分三种情况讨论分别求其最小值即可. 解：（1）Q ()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),
∴可设()(5)(0).f x ax x a =->
()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=
由已知，得612,a =2,a ∴=
2()2(5)210().f x x x x x x R ∴=-=-∈
（2）由（1）知2
2525()2102.
22f x x x x ⎛⎫∴=-=-- ⎪⎝
⎭，开口向上，对称轴为52x = ①当512t +≤
，即3
2
t ≤时，()f x 在[],1t t +上是单调递减， ()()()2
221101268g t t t t t ∴=+-+=--
②当5
2
t ≥
时，()f x 在[],1t t +上是单调递减 ()22210210g t t t t t ∴=-=-
③当512t t ≤
≤+，即35
22
t ≤≤时，()f x 在对称轴处取得最小值 ()52522g t f ⎛⎫
∴==- ⎪⎝⎭
26．（1）19；（2）8
9
. 【解析】
试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的
(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；
（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．
试题解析：（1） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种， 而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个 故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为
31
279
= （2） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种
满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个
故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率为
31279
=
所以“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率为
18 1
99 -=
考点：独立事件的概率．
【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．。