第三章 运输问题1

例：
二、表上作业法
B1
4
1 2
第三章
销地 产地 A1
A2 A3 销量
B2
12
B3
4 10
B4
11 6
产量 16
10 22 48
2
8
1
10
2
3
-1
9 6
8 14
8
10
5
14 14
12
11
12
8
二、表上作业法
例： 销地 产地 B1 4 0 2 8 8 9 8 14 14 2 5 12 12 2 10 1 11 8 14 B2 12 12 3 2 6 B3 4 4 9 B4 11 产量
第三章
A1
A2
16
10
A3
销量
22
48
由于所有非基变量的检验数全非负，故这个解为最优解。 又由于非基变量有零检验数，所以有无穷多最优解。
练习题
练习题
销地 产地 A1 A2 A3 销量 22
二、表上作业法
第三章
B1
6 14 8 8 5
B2
7 4 13 9 6 13 6
B3
5 2 10
B4
3 7 6 13 13
)
三、运输问题的进一步讨论
第三章
上一节讲述的运输问题的算法，是以总产量 等于总销量(产销平衡)为前提的。实际上，在很
多运输问题中，总产量不等于总销量。
三、运输问题的进一步讨论
1、产销不平衡的运输问题
第三章
表上作业法 —— 以产销平衡 为前提。 ai b j
min z
C x
i 1 j 1 n
2、再对现行解作最优性判别； 3、若这个解不是最优解，就在运输表上对它进行调整 改进，得出—个新解； 4、再判别，再改进； 5、直至得到运输问题的最优解为止。 迭代过程中得出的所有解都要求是运输问题的基可行解。
二、表上作业法
例1 ：
销地 产地 A1 A2 A3 销量 8
第三章
B1
4 2 8
B2
12 10 5 14
B3
4 3 11 12
B4
11 9 6 14
产量
16 10 22 48
二、表上作业法
1、初始基可行解－－最小元素法 销地 产地 A1 A2 A3 销量 8 B1 4 2 B2 12 B3 4 B4 11 产量 16 10 22 48
第三章
10
10 3
6
9
8
8 5
2
11 6
14
14 12
8
14
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝246
二、表上作业法
1、初始基可行解－－沃格尔法 沃格尔法计算步骤： 1) 分别算出各行、各列的罚数。
第三章
2) 从行、列中选出差额最大者，选择它所在行、 列中的最小元素，进行运量调整。 3) 对剩余行、列再分别计算各行、列的差额。返 回1)、2)。
二、表上作业法
销地 产地 A1 A2 A3 销量 8 B1 4 B2 12 B3 B4 4 产量 16 10 22 48
一、运输问题及其数学模型
3.运输问题的解 (1)解x必须满足模型中的所有约束条件；
第三章
(2)基变量对应的约束方程组的系数列向量线性无关； (3)解中非零变量xij的个数不能大于(m+n-1)个，原因是 运输问题中虽有(m+n)个结构约束条件，但由于总产量等 于总销量，故只有(m+n-1)个结构约束条件是线性独立的； (4)为使迭代顺利进行，基变量的个数在迭代过程中保 持为 (m+n-1)个。 运输问题解的每一个分量，都唯一对应其运输表中的 一个格 填有数字的格 或 空格
第三章
12
4 2
11
2
10
5
3
11
9
6
8
8
14
14 12
8
14
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
二、表上作业法
2、解的最优性检验－－闭回路法
第三章
某空格的检验数是以该空格为第一个 顶点，某回路的奇数顶点运价和减去 其偶数顶点运价和。
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
产量 16 10 22 48
运输问题数学模型的特点：
第三章
1．运输问题有有限最优解
是一个可行解。同时，目标函数有下界，且不会趋
于负无穷。所以，必存在有限最优解。
一、运输问题及其数学模型
2．运输问题约束条件的系数矩阵
第三章
m 行
A =
n 行
第i个 第m+ j个
系数列向量：
一、运输问题及其数学模型
由此可知，运输问题具有下述特点：
第三章
(1)约束条件系数矩阵的元素等于0或1； (2)约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，这 对应于每一个变量在前m个约束方程中出现一次，在后n 个约束方程中也出现一次；
对产销平衡运输问题，除上述两个特点外，还有以 下特点： (3)所有结构约束条件都是等式约束； (4)各产地产量之和等于各销地销量之和。 秩 ( A) =m+n-1 运输问题的基可行解中应包含m+n-1个基变量.
运价
6 7 5
需求地 1 d1=22
1
s2=27 s3 =19 3=24
2 3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
d2=13
3
d3=12 d4=13
需 求 量
+5
000
4
5
d5=5 假想销地
三、运输问题的进一步讨论
产销不平衡
产大于销 模型：
i
第三章
产销平衡
a b
m n
j
min z
C
4
12 9 11 12
2
2 10 4 13
7
6
二、表上作业法
4、需要说明的几个问题
第三章
1）若运输问题的某一基可行解有几个非基变量的 检验数均为负，在继续进行迭代时，取它们中的任一 变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常 取小于零的检验数中最小者对应的变量为换入变量。
2）当迭代到运输问题的最优解时，如果有某非 基变量的检验数等于零，则说明该运输问题有多重(无 穷多)最优解。
4
1 2
12
10 10
1
4
6 3
11
9
-1
2 8 8
10
2
5 11
12
6
8
14 14
8
14
12
二、表上作业法
2、解的最优性检验－－对偶变量法
第三章
原问题
设其对偶变量为：
二、表上作业法
对偶问题:
第三章
考虑原问题变量xj的检验数为：
二、表上作业法
则运输问题变量xij的检验数为：
第三章
假设已得到一个基可行解，其基变量为：
i 1 j 1 n
ij
xij i 1,2,...m j 1,2,...n
x
j 1 m i 1
ij
ai bj
x
ij
0
一、运输问题及其数学模型
运输问题的描述：
第三章
设某种物品有m个产地A1,A2,...,Am，各产地的产量 分别是a1,a2,...,am；有n个销地B1,B2,...,Bn，各销地的销
量分别为b1,b2,....bn。假定从产地Ai(i=1,2,…,m)向销地
出Bj(j＝l,2,….n)运输单位物品的运价是cij，问怎样调运
第三章
min z 6x 11 7x 12 5x 13 3x 14 8x 21 4x 22 2x 23 7x 24 5x 31 9x 32 10x 33 6x 34 14 供 27 地 19 约 22
束 需 13 求 12 地 约 13 束 应
二、表上作业法
B2 7 5 5 B3 5 -4 B4 3 产量 14 27 19
第三章
8
2 5 13
4
12 9
2
-2 10
7
6
6
22
8
13
11
12
13
13
答案
二、表上作业法
第三章
销地 产地 A1 A2 A3 销量 1
B1 6 5
B2 7 5
B3 5
B4 3 13
产量 14 27 19
8
2 5 19 22 8 13 13
需 求 量
运输问题网络图
4
一、运输问题及其数学模型
s.t. x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x 22 x 23 x 24 x 31 x 32 x 33 x 34 x 11 x 12 x 13 x 14 x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x 22 x 23 x 21 x 22 x 23 x 24 x 24 x 31 x 32 x 33 x 31 x 32 x 33 x 34 x 34
量，以得到另一个更好的基可行解。
二、表上作业法
解改进的具体步骤
第三章
(1)以xij为换入变量，找出它在运输表中的闭回路； (2)以空格(Ai,Bj)为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺(或逆) 时针方向前进，对闭回路上的顶点依次编号； (3)在闭回路上的所有偶数顶点中，找出运输量最小的顶 点(格子)，以该格中的变量为换出变量； (4)以换出变量的运输量为调整量，将该闭回路上所有奇 数顶点处的运输量都增加这一数值，所有偶数顶点处的运输 量都减去这一数值，从而得出一新的运输方案。该运输方案 的总运费比原运输方案减少，改变量等于换出变量的检验数。 然后，再对得到的新解进行最优性检验，加不是最优 解，就重复以上步骤继续进行调整，一直到得出最优解为止。