第三章运输问题(研究生)
运筹学 运输问题
运筹学运输问题
运筹学是一门研究如何最优地规划和管理资源以实现预定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是其中一个重要的应用领域。
运输问题主要关注如何有效地分配有限的资源到不同的需求点，以最小化总体运输成本或最大化资源利用效率。
这些资源可以是货物、人员或其他物资。
运输问题通常涉及到多个供应地点和多个需求地点之间的物流调度。
运输问题的目标是找到一种最佳的调度方案，使得满足所有需求的同时，总运输成本达到最小。
为了解决运输问题，可以采用线性规划、网络流和启发式算法等方法。
在运输问题中，需要确定以下要素：
1. 供应地点：确定从哪些地点提供资源，例如仓库或生产基地。
2. 需求地点：确定资源需要分配到哪些地点，例如客户或销售点。
3. 运输量：确定每个供应地点与需求地点之间的运输量。
4. 运输成本：确定不同供应地点与需求地点之间运输的成本，可以
包括距离、时间、燃料消耗等因素。
通过数学建模和优化技术，可以对这些要素进行量化和分析，以求得最佳的资源分配方案。
这样可以降低运输成本、提高物流效率，并且满足不同地点的需求。
总而言之，运输问题是运筹学中的一个重要领域，涉及到如何有效地规划和管理资源的物流调度。
通过数学建模和优化方法，可以找到最优的资源分配方案，从而实现成本最小化和效率最大化。
ch3运输问题.ppt
三.运输问题的解法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用 线性规划法中的单纯形法来解决。但是： 1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯 形表太大； 2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0， 会使问题更加复杂。 以上两个原因使得我们不得不利用运输 问题的特点设计出它的特殊解法——表 上作业法。
表上作业法
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含
有一个平衡关系式
ai bj ）
所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量
为m+n-1个。
3.m+n－1个变量组构成基变量的充要条件是它不
包含任何闭回路。一条回路中的顶点数一定是偶数。
【定理1】设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变 量数为m+n-1。
求检验数的方法有两种，闭回路法和位势法。
1．闭回路法求检验数 求某一非基变量的检验数的方法是：在基 本可行解矩阵中，以该非基变量为起点，以基变量为其它顶点， 找一条闭回路，由起点开始，分别在顶点上交替标上代数符号+、 -、+、-、…，以这些符号分别乘以相应的运价，其代数和就是 这个非基变量的检验数。
第三步：调整运量，即换基。选一个变量出基，对原运量进行 调整得到新的基可行解，转入第二步。
初始基础可行解—西北角法
1
2
3
4
6
7
5
3
1
14
14
左上角法(亦称西北角法)是优先从运价表的左上角的变量赋值，当行或列分
配完毕后，8再在表中余下4部分的左上角2赋值，依次类7推，直到右下角元素分
配个完变2毕量． 作当基出变现量同，8时以分保配 证完最一后1行的3和基一变列量时数，等仍于6然m+应n在－打1“×”的位2置7上选一
运筹学-3运输问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学 第三章 运输问题
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
第三章运输问题习题及答案(2012春)
运输问题习题1．甲、乙、丙三个城市每年分别需要煤炭320、250、350吨，由A 、B 两处煤矿负责供应。
已知煤炭年供应量为A ——400万吨，B ——450万吨。
由煤矿至各城市的单位运价(万元/万吨)。
见表1：由于需大于供，经研究平衡决定，甲城市供应量可减少0~30万吨，乙城市需要量应全部满足，丙城市供应量不少于270万吨。
试求将供应量分配完又使总运费为最低的调运方案。
2．已知运输问题的产销平衡表、单位运价表及最优调运方案分别见表2和表3。
（1） 从A 2→B2的单位运价C 22在什么范围内变化时，上述最优调运方案不变？提示: 只需检验数220σ≥（2） A 2→B4的单位运价C 24变为何值时，有无穷多最优调运方案。
提示: 检验数242424()c u v σ=-+=03．试分析分别发生下列情况时,运输问题的最优调运方案及总运价有何变化.(a) 单位运价表第i 行的每个ij c 都加上一个常数λ;对于任意基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λ==+，那么基变量的检验数等于***()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλσ=+-+=--=也就是检验数没有变化，因而最优调运方案没有变化 (b) 单位运价表第j 列的每个ij c 都加上一个常数λ; 对于第j 列基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λ==+，那么基变量的检验数等于***()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλσ=+-+=--=又由于其它列的位势不改变，因而检验数也不改变 也就是检验数没有变化，因而最优调运方案没有变化 (c) 单位运价表所有ij c 都乘上一个常数λ。
对于第j 列基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λλ==，那么基变量的检验数等于***()()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλλλσ=-+=--= 因此，当0λ≥时检验数的符号没有改变，因而最优调运方案没有变化；而0λ<时检验数的符号改变，因而最优调运方案变化。
运输问题小结资料
➢ 所有中间转运站的产量小于等于销量. ➢ 扩大的运输问题中原来的产地与销地因为也起转运站
作用，所以，在原来产量和销量的数字上加上总转运 量.
运输问题
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习题三
3.1已知运输问题的产销地的供需量与单位运价表如表 3-35至表3-36所示，试用表上作业法求各题最优解， 同时用Vogel法求出各题的近似最优解。
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一、产销不平衡的运输问题
（Ⅱ）i 1
j 1
令假想产地的产量为：
n
m
am1
bj
ai
j 1
i 1
运输问题
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二、有转运的运输问题
➢ 由于问题中所有产地、中间转运站、销地都可以看做 产地,又可看做销地.因此,把整个问题当作扩大的运输 问题.
重复上述过程,运输问题必有最优解
运输问题——表上作业法
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运输问题的进一步讨论
一、产销不平衡的运输问题 二、有转运的运输问题
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一、产销不平衡的运输问题
（Ⅰ）若总产量大于总销量，即
m
n
ai bj
i 1
j 1
令假想销地的销量为：
m
n
bn1
ai
bj
i 1
j 1
运输问题
运输问题
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表上作业法
• 表上作业法是单纯形法在求解运输问题 的一种简便方法。
• 表上作业法的步骤：
表上给出m+n-1个数字格 —最小元素法、Vogel法
计算表中空格检验数 —闭回路法、位势法
第3章 运输问题
第三章运输问题一、选择1、运输问题在用表上作业法计算得时候,用闭回路法进行调整检验时，通过任一空格可以找到( )闭回路A、惟一Ｂ、多个 C、零个Ｄ不能确定2、在产销不平衡得运输问题中,如果产大于销，我们(Ｂ )把她变成一个产销平衡得运输问题A 假想一个产地B 假想一个销地C 去掉一个产地D 没有办法3、最小元素法得基本思想就就是( Ｄ)。
Ａ依次供应B全面供应 C 选择供应D就近供应4、运输问题中在闭回路调整中,使方案中有数字得格为( C ）。
A m Ｂ n C m+ｎ D m+n-１5、在表上作业法中,调运方案中有数字得格为( C )Ａm＋n B ｍ-n Ｃｍ+n-1 D m*n6、运输问题得数学模型中,包含有(D）变量。
A ｍ+n Ｂｍ-n C m+n－1 Ｄm*n７、运输问题得数学模型中,包含有（A)个约束条件。
A ｍ+nB m-n Ｃｍ+n-１ D m*n8、运输问题得数学模型中,系数矩阵中线性独立得列向量得最大个数为(C)Ａｍ+n B m－n C ｍ＋ｎ-1 Dｍ＊n9、运输问题得解中得基变量数一般为(C )A ｍ+ｎB ｍ-nC m+n-1D m*ｎ1０、运输问题中，在检验数表上所有检验数都(C ),此时运输表中给出得方案就就是最优方案。
A大于零B等于零C大于等于零D小于零11.在产销不平衡得运输问题中,如果销大于产时,可以在产销平衡表上( A),把她变成一个产销平衡得运输问题A 假想一个产地B 假想一个销地C 去掉一个产地D 没有办法１2、运输问题数学模型得特点之一就是( ）Ａ一定有最优解Ｂ不一定有最优解C 一定有基可行解Ｄ不一定有基可行解1３、运输问题得数学模型得约束条件得系数矩阵得元素由()组成。
A 0B1Ｃ0,1Ｄ不确定1４、二、填空1、求解不平衡得运输问题得基本思想就是(设立虚供地或虚需求点,化为供求平衡得标准形式) 。
2、运输问题中求初始基本可行解得方法通常有(最小元素法）、(伏格尔法）两种方法。
运筹学 第三章 运输问题
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
运筹学(胡运权第三版)第三章 运输问题
§1 运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点：
1. 运输问题一定有最优解；基变量的个数 =m+n-1
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 x12
1 1 1
…
x1m x21 x22
1 1 1
…
x2m
1
… xm1
1
解 的 最 优 性 检 验
1.闭回路法 闭回路：从空格出发，遇到数 字格可以旋转90度，最后回到空 格所构成的回路； 原理：利用检验数的经济含义； 检验数：非基变量增加一个单 位引起的成本变化量。 当所有非基变量的检验数均大 于或等于零时，现行的调运方案 就是最优方案，因为此时对现行 方案作任何调整都将导致总的运 输费用增加。 闭回路法的主要缺点是：当变 量个数较多时，寻找闭回路以及 计算两方面都会产生困难。
B4
11
-1
产量
16
10 22 48
ui
A1 A2
A3 销量 vj
2
10
1 10
9 6
1 0
-4
8 14
5 12
8
14
2
检验数σ
9
3
10
13=8-（-4）-2=10；
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
m in Z = c 1 1 x 1 1 + c 1 2 x 1 2 + ... + c 1 n x 1 n + ... + c m 1 x m 1 + c m 2 x m 2 + ... + c m n x m n
第三章 运输问题的特殊解法
收点 发点 A1 A2 A3 销量
B1 2 1
B2
B3 5
B4
产量 75 4 1 93 20
B1 3 1 7 2
B2 11 9 4 5
B3 3 2 10 1
B4 12 8 5 4 3
行差 0 1 2 1
3 6 3 5 6 3 6
32
对应的目标函数值为： 对应的目标函数值为：
z＝3×2＋3×5十1×1十8×3＋4×6十5×3＝85(元) ＝ × ＋ × 十 × 十 × ＋ × 十 × ＝ 元
收点 发点 A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3 4
B4 3 3 63
产量 73 41 93 20
B1 3 1 7 ①
B2 11 9 4 ④
B3 3 2 10 ③
B4 12 8 5 ⑥ ② ⑤
3 3 6 6
1 54
对应的目标函数值为： 对应的目标函数值为：
z＝3×4＋12×3十1×3十2×1＋4×6十5×3＝92(元) ＝ × ＋ × 十 × 十 × ＋ × 十 × ＝ 元
收点 发点 A1 A2 A3 销量 3 6 5 6 B1 B2 B3 B4 产量 7 4 9 20 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 12 8 5
（一）确定初始调运方案
1、最小元素法 、
思路：就近供应，优先安排运价最小的收发点之间 的物资调运量，然后次小，直到给出初始基可行解 解题步骤： 解题步骤：
min s = cx
矩
T
阵 形 式
（2）产大于销时 ）
min s = ∑∑ cij xij
i =1 j =1
m
n
n ∑ xij ≤ ai (i = 1,2, L, m) j =1 m ∑ xij = b j ( j = 1,2, L, n) i =1 xij ≥ 0(i = 1,2, L, m; j = 1,2, L, n)
运筹学 第3章 运输问题
第三章运输问题在生产实际中，经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地，因而存在如何调运使总的运费最小的问题。
这类问题一般可用线性规划模型来描述，当然可以用单纯形法求解。
但由于其模型结构特殊，学者们提供了更为简便和直观的解法—-表上作业法。
此外,有些线性规划问题从实际意义上看，并非运输问题，但其模型结构类似运输问题，也可以化作运输问题进行求解。
第一节运输问题及其数学模型首先来分析下面的问题。
例3。
1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。
三个收购站A1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。
已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3-1所示（单位：千元/kt)，问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少?设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3—2由于总供应量等于总需求量，因此，一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量，即x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量,即x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70因此有该问题的数学模型为min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70x ij ≥0，i=1，2，3；j=1，2，3 生产实际中的一般的运输问题可用以下数学语言描述。
最新运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66: 8•某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A i, A，A3的生产量、各销售点B i，B2, B3, B4的销售量（假定单位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？3 4min z 八'、• q 乂耳=4x11 12x12 4x13 11x142x21i 4 j 410x223X239X24 8x31 5x32 1 1x33 6X34% +X12 +X13 + X14 =16X21+X22 + X23 + X24 =10X31 +X32 +X33 + X34 =22X11 +X21 +X31 =8X12+X22 + X32 =14X13 + X23 + X33 =12X14 + X24 + X34 =14Xij X0, i=1. 2,3; j =1,2,3,4X11 X I2 X13 X14 X21 X22 X23 X24 X31 X32 X33 X34(1 11 1 11 11 1 1 11 11 1 1 11 1 11 11 1 1I 11 1 1I 1 1 1丿7旳2可以证明约束矩阵的秩为r (A)= :6. 从而基变量的个数为 6.二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1.最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
X 13 =10, X 14 =6,X 21 =8, X 23 = 2, X 32 = 14, X 34 = 8,③④⑤②其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6 （等于m+n-仁3+4-仁6）.总运费为（目标函数值）3 4z -二C j X ji j=1=10 4 6 11 8 2 2 3 14 5 8 6 = 2462.伏格尔（Vogel）法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
《运筹学》第三章运输问题
Vogel近似法
考虑运输成本差异， 进行逼近最优解。
运输问题的扩展和变体
1
生产产能约束
考虑生产能力限制，同时优化货物的运输方案。
2
供需不平衡
存在供需不平衡时如何有效分配货物，避免浪费和延误。
3
多目标运输问题
同时考虑多个目标，如最小化成本和最大化利润。
运输问题的应用实例和案例分析
物流领域的应用
通过运输问题的优化，提升物流效率，降低成本。
运输问题的基本模型
运输方案的表示
常用的表示方法包括运输矩阵和网络图。
目标函数和约束条件
目标函数通常是最小化运输成本，约束条件包 括供需平衡和容量限制。
运输问题的解决方法
最小成本法
逐步分配货物，直至 达到最小总成本。
北北角法
按照最小单位运输成 本进行分配，直至l's Approximation Method）法为基础， 逐步分配货物。
《运筹学》第三章运输问 题
运输问题是运筹学中重要的问题之一，涉及到各种场景下的货物运输优化。 本章将介绍运输问题的定义、基本模型、解决方法，以及其在物流和生产调 度中的应用实例。
运输问题的概念和应用领域
• 运输问题是一种优化问题，旨在找到使运输成本最小的货物运输方案。 • 运输问题广泛应用于物流管理、供应链优化以及交通规划等领域。
生产调度中的应用
合理安排生产计划，提高生产线的利用率。
总结和展望
运输问题是优化领域的重要研究方向，未来随着物流技术的发展将有更多的应用场景和解决方法出现。
运筹学--第三章 运输问题
习题三3.1 求解下表所示的运输问题，分别用最小元素法、西北角法和伏格尔法给出初始基可行解：3.2由产地A1，A2发向销地B1，B2的单位费用如下表，产地允许存贮，销地允许缺货，存贮和缺货的单位运费也列入表中。
求最优调运方案，使总费用(1)若要总运费最少，该方案是否为最优方案?(2)若产地Z的供应量改为100，求最优方案。
(2)当A1的供应量和B3的需求量各增加2时，结果又怎样?８８3.5 某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为1000、2000、2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。
已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。
又知丙百货商店要求至少供应C玩具1000件，而拒绝进A玩具。
求满足上述条件下使总盈利额最大的供销分配方案。
甲乙丙可供量A 5 4 －1000B 16 8 9 2000C 12 10 11 20003.6 目前，城市大学能存贮200个文件在硬盘上，100个文件在计算机存贮器上，300个文件在磁带上。
用户想存贮300个字处理文件，100个源程序文件，100个数据文件。
每月，一个典型的字处理文件被访问8次，一个典型的源程序文件被访问4次，一个典型的数据文件被访问2次。
当某文件被访问时，重新找到该文件所需的时间取决于文件类型和存贮介质，如下表。
时间（分钟）处理文件源程序文件数据文件硬盘 5 4 4存贮器 2 1 1磁带10 8 6 如果目标是极小化每月用户访问所需文件所花的时间，请构造一个运输问题的模型来决定文件应该怎么存放并求解。
3.7已知下列五名运动员各种姿势的游泳成绩（各为50米）如表5-2：试用运输问题的方法来决定如何从中选拔一个参加200混合泳的接力队，使预期比赛８９９０（1）写出a,b,c,d,e 的值，并求出最优运输方案；（2）A 3到B 1的单位运费满足什么条件时，表中运输方案为最优方案。
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3. 运输问题的特征
特征1：运输问题一定有可行解； 特征2：运输问题一定有最优解； 特征3：运输问题每一组基对应 m+n-1个基变量； 特征4：运输问题的 m+n-1个基变量构成的变量组不含 闭回路； 特征5：任意一个非基变量和 m+n-1个基变量组成的变 量组中必定存在一条并且只存在唯一一条闭回路； 特征6：如果运输问题中的供应量和需求量都是整数， 则任一基解中各变量的取值也都是整数。
1. 运输问题的定义
例1： 某集团新购进一批钢材，分别存储在三个仓库，现在 要将这批钢材运到分布在各地的四个工厂。各仓库的库存量、 各工厂的需求量以及从各仓库往各个工厂每运送一吨钢材所 需的费用见下表，问如何调运才能使总运费降到最低？
仓库A1
工厂 B1 2
仓库A2 1
仓库A3 8
需求量 3
工厂 B2 9
北京物资学院运筹学教学课件
第三章 运输问题
北京物资学院信息学院 2010年11月
本章主要内容
第一节 运输问题的数学模型及其特征 第二节 运输问题的求解—表上作业法 第三节 产销不平衡的运输问题及应用
第一节 运输问题的数学模型及其特征
1. 运输问题的定义 2. 运输问题的数学模型 3. 运输问题的特征
第一步：编制初始调运方案
要求得运输问题的初始基可行解，必须保证找到 m+n–1 个基变量. 运输问题的任意m+n-1个变量构成一组基变量的充要条 件是变量组中不含闭回路.
关键:找出m+n-1个不含闭回路的变量。 问题：如何使得一个选定的变量不包含在闭回路中？
1 西北角法（左上角法） 2 最小元素法 3 Vogel 法
i1
xij
0,
i 1,
2, ......m, j 1,
2, ......n
m
n
（其中
ai
b
）
j
i 1
j 1
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 ....x1n
1 1.......1
A
1
1
1
x21 x22 ....x2n ...... xm1 xm2 ....xmn
1 1.......1
3
4
8
工厂 B3 10
4
2
4
工厂 B4 7
2
5
6
库存量
9 5 7
运输问题：有m个供应点向n个需求点供应某种物资，这m
个供应点A1、A2、…...Am的供应量分别为a1、a2、…...am；n 个 需 求 点 B1、B2、…...Bn 的 需 求 量 分 别 为 b1、b2、…...bn；
已知从任一供应点Ai向任一需求点Bj运输一个单位物资的费 用为cij。问采取什么样的物资调运方案才能使总运费最省？
A2
A3
X31
X35
A4
X41
X43
B1
B2
B3
B4
B5Βιβλιοθήκη A1X11X12A2
X21
X22
X24
A3
A4
X42
X44
（1）每个顶点都是转折点；
（2）闭回路是一条闭合的折线，每一条边都是水 平或垂直的；
（3）闭回路上同一行（列）的顶点有偶数个。
闭回路上的点对应的系数列向量线性相关。
Plk
Pls
Pij
2
A3
1
需求量 2
-2
B2 8
并称集合中每一个变量为此闭回路的一个顶点；称连 接相邻两个变量（顶点）以及连接最后一个顶点和第 一个顶点的线段为此闭回路的边。
B1
B2
B3
B4
B5
A1
X13
X15
A2
A3
X31
X33
A4
X41
X45
B1
B2
B3
B4
B5
A1
X12
X14
A2
A3
X32
X34
A4
B1
B2
B3
B4
B5
A1
X13
X15
2
9
10
3
5
7
1
9 -3 -1 -5
A2
1
A3
8
3
4
3
4
2
4
2
5
5
5 -5 7 -4 -3
需求量 3
8
4
6
-3
-3
-4
-5
-1
-5
对应的总运费为
C 2= 2×3 + 9×5 + 7×1 + 2×5 + 4×3 + 2×4 =88
退化情况的处理 用西北角法求下列运输问题的第一个基可行解
B1
A1
7
2
A2
B1
B2
…
Bn 供应量
A1
c11
c12
…
c1n
a1
A2
c21
c22
…
c2n
a2
…
…
…
…
…
…
Am
cm1
需求量
b1
cm2
…
cmn
am
b2
…
bn
2. 运输问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i 1 j1
n
xij ai
(i 1,
2, ......m)
j1
m
s.t. xij bj ( j 1, 2, ......n)
西北角法(左上角法)
B1
A1
2
3
A2
1
A3
8
需求量 3
-3
B2
B3
9
10
6
3
4
2
3
4
2
1
8
4
-6
-3
-2
-1
B4 7
2
5
6
6
-6
库存量 9 -3 -6 5 -2 -3
7 -1 -6
对应的总运费为
C 1= 2×3 + 9×6 + 3×2 + 4×3 + 2×1 + 5×6 = 110
最小元素法
B1
1 1 1
......... ..........
1 1.......1
1
1
1
m行 n行
1. 矩阵A是一个m+n行mn列的矩阵，它的秩为m+n-1。 2. 运输问题应该有m+n-1个基变量。 3. 系数矩阵非常稀疏。 4. xij的系数列向量为：
Pij (0....1...0....1...0)T ei em j
闭回路
定义：凡是能够排列成下列序列的一组变量的集合就 称为运输问题的一个闭回路。
x , x , x , x , , x , x i1 j1 i1 j2 i2 j2 i2 j3
is js is j1
或
x , x , x , x , , x , x i1 j1 i2 j1 i2 j2 i3 j2
is js i1 js
Pik
Puj
Pus
由于 Pij ei em j
容易证明 Pij Pik Plk Pls Pus Puj 0
第二节 运输问题的求解--表上作业法
表上作业法的基本步骤：
第一步：编制初始调运方案，即寻找第一个基可行解；
第二步：计算各非基变量的检验数； 第三步：判断当前的调运方案是否是最优方案，如果已经 是最优，则算法结束，问题已经解决；否则，转第四步； 第四步：确定进基变量和出基变量，调整非最优的调运 方案，获得更好的调运方案；转第二步。
A1
2
A2
1
3
A3
8
需求量 3
-3
B2
B3
9
10
5
3
4
4
3
8
-3 -5
2
4
4
-4
B4 7
4
2
2
5
库存量 9 -4 -5
5 -3-2 7 -4 -3
6
-2
-4
对应的总运费为
C 2= 9×5 + 7×4 + 1×3 + 2×2 + 4×3 + 2×4 = 100
Vogel 法
B1
B2
B3
B4 库存量
A1