运筹学3第三章_运输问题

表3.1 销地 产地 A1 A2 产量 a1 a2
B1 c11 c21
B2 c12 c22
Bn c1n c2n
Am
销量
cm1
b1
cm2
b2


cmn
bn
am
怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？
需要引入一些基本概念，通过对这些基本概念的 分析和讨论，结合单纯形算法的基本结果，便可 得出所需要的结论。
凡是能排成
1 ik m ,
互不相同，且
k 1, s , j1 , , j s 互不相同 , 且 1 j l n , l 1, , s )
门市部 工厂
1 2 3 4 需求总计 1 9 7 6 0 40 2 12 3 5 0 70 3 9 7 9 0 60 4 6 7 11 0 20 供应总计 50 60 50 30
供应量＝190，需求量＝190，供需平衡。
这就是运输问题的数学模型，它包含mn个变量 ，m + n个约束条件，是一个线性规划问题。 如果用单纯形法求解，首先应在每个约束条件上 加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。即使 是m =4，n = 5这样的简单问题, 变量个数就有29个 之多，利用单纯形法进行计算是非常复杂的。 有必要针对运输问题的某些特点，来寻求更为简 单方便的求解方法。
定理3.1： m+n-1个变量 构成基变量的充分必要条件是它不包含有任何闭回 路。 该定理给出了运输问题基的一个重要特征，因 为利用它可以判断 m+n-1个变量是否构成基变量， 它比直接判断这些变量所对应的系数列向量组是否 线性无关要简单和直观。另外，在以后还将看到利 用基的这个特征可以导出求运输问题的基本可行解 的一种简便的方法。
特点与处理办法
• 特点
a
i 1
m
i

b
j 1
n
j
• 处理办法：增加一个虚产地m+1，使
a m 1
b
j 1
n
j

a
i 1
m
i
且 c m 1 , j 0 ，化为平衡问题。
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日 生产能力分别是：50，60，50，供应四个门市 部，日销售量分别是：40，70，60，20台，从 各分厂运往个门市部的运费如表所示，试安排 一个运费最低的运输计划。
例3.1 设 m = 3，n = 4，如表3.2所示。
销地 产地 B1 B2 B3 B4
A1
A2 A3
x11
x21
x12
x24 x32 x34
x11、 x12、 x32、 x34、 x24、 x21 构成一个闭回路。 这里有：i1= 1，i2 = 3，i3 = 2；j1 = 1，j2 = 2，j3 = 4 。若把闭回路的顶点在表中画出，并且把相邻两个 变量用一条直线相连（今后就称这些直线为闭回路 的边）。而表3.3，即顶点为{ x12、x32、x34、x14 }和 表3.4，即顶点为 { x11、x12、x22、x24、x34、x31 } 也 分别构成两个闭回路。
第三章
运输问题
运输问题的数学建模及表上作业法 不平衡问题的数学处理
3.1、运输问题的数学模型
在经济建设中，经常会遇到大宗物资调拨中的 运输问题。如煤炭、钢铁、木材、粮食等物资,在全 国有若干生产基地，根据已有的交通网，应如何制 定调运方案，将这些物资运到各消费地点，而使总 运费最小。这类问题可用以下数学语言来描述： 运输问题：假设有m个生产地点，可以供应某种 物资(以后称为产地)，用Ai表示，i=1,2,,m；有n个 销售地，用Bj表示，j=1,2,,n；产地的产量和销售 地的销售量分别为ai ,i=1,2,,m和bj，j=1,2,,n，从 Ai到Bj运输单位物资的运价为cij，这些数据可汇总 于如表3.1。
初始可行解（最小元素法）
就近供应的思想：
从单位运价表中选取最低运 价的空格开始供求分配。供 应量大于需求量，取值为需 求量，划去该空格的列；供 应量小于需求量，取值供应 量，划去该空格的行。然后 根据划去一列或行的单位运 价表，再选择最小运价的空 格进行。
门市部 工厂
1 2 3 需求总计 1 9 7 6 40 2 12 3 5 40 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 5 0 0 0 20 供应总计 50 80 50
供应量＝180，需求量＝180，供需平衡。
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日 生产能力分别是：50，60，50，供应四个门市 部，日销售量分别是：40，70，60，20台，从 各分厂运往个门市部的运费如表所示，试安排 一个运费最低的运输计划。
供应量＝180，需求量＝160，供需不平衡，供大于求。
供大于求的情况
• 数学模型
min z
c
i 1 j 1
m
n
Βιβλιοθήκη Baidu
ij
x ij
n x ij a i , i 1, 2 , , m 1 j m s .t . x ij b j , j 1, 2 , , n i 1 x ij 0
特点与处理办法
• 特点
a
i 1
m
i

b
j 1
n
j
• 处理办法：设置一个虚销售点n+1，使
b n 1
a
i 1
m
i

b
j 1
n
j
• 且 c i , n 1 0 ，因而化为平衡问题。
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日 生产能力分别是：50，80，50，供应四个门市 部，日销售量分别是：40，40，60，20台，从 各分厂运往个门市部的运费如表所示，试安排 一个运费最低的运输计划。
表3.3
销地 产地 A1 B1 B2 x12 B3 B4 x14
A2 A3 x32 x34
表3.4
销地 产地 A1 A2 A3 x31 B1 x11 B2 x12 x22 x24 x34 B3 B4
从上面的例子中不难看出，如果把一个闭回路的所有 顶点都在表中画出，并且把相邻的顶点都用一条直线 连接起来，就可以得到一条封闭的折线，折线的每一 条边或者是水平的，或者是垂直的。
门市部 工厂
1 2 3 需求总计 1 9 7 6 40 2 12 3 5 70 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 供应总计 50 60 50
供应量＝160，需求量＝190，供需不平衡，需求大于供应。
求大于供
• 数学模型
min z
c
i 1 j 1
m
n
ij
x ij
n x ij a i , i 1, 2 , , m 1 j m s .t . x ij b j , j 1, 2 , , n i 1 x ij 0
门市部 工厂
1 2 3 需求总计 1 9 7 6 40 2 12 3 5 40 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 供应总计 50 60 50
供求平衡的运输问题：供：50+60+50=160
需：40+40+60+20=160
数学模型
min z
c
i 1 j 1
3
4
ij
x ij
4 x ij a i , i 1, 2 , 3 j 3 1 s .t . x ij b j , j 1, 2 , 3 , 4 i 1 x ij 0
c
i 1 j 1
m
n
ij
x ij
m j 1, 2 , , n x ij b j i 1 n x ij a i i 1, 2 , , m j 1 x 0 i 1, 2 , , m ; j 1, 2 , , n ij
x11 , , x1 n , x 21 , , x 2 n , , x m 1 , , x mn 1 0 A 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1
要求使总运费最小的调运方案。 如果运输问题的总产量等于其总销量，即
a
i 1
m
i

b
j 1
n
j
则称该运输问题为产销平衡运输问题；反 之，称为产销不平衡运输问题。 下面建立在产销平衡情况下的运输问题的数 学模型。 解: 假设 xij 表示从Ai到 Bj 的运量,则所求的数 学模型为:
min Z
3.2、表上作业法
1、 表上作业法的基本概念与重要结论 针对运输问题的数学模型结构的特殊性，它的约 束方程组的系数矩阵具有如下特点： （1）在该矩阵中，它的元素等于0或1； （2）每列只有两个元素为1，其余都是0； （3）对应于每一个变量，在前m个约束方程中只 出现一次，在后n个约束方程中也只出现一次。根 据这个特点，在单纯形法的基础上，下面设计出 一种专门用来求解运输问题的方法，称为表上作 业法。
形成的变量的集合称之为一个闭回路。而把出现 在闭回路中的变量称为这个闭回路的顶点。 例3.1 设 m = 3，n = 4，如表3.2所示。
x i1 j1 , x i1 j 2 , x i2 j 2 , x i 2 j3 , , x i s j s , x i s j1 , ( i1 , , i s ,
运输问题的解代表着一个运输方案，其中每一个变 量xij的值表示由Ai调运数量为xij的物品给Bj。
当用单纯形法进行求解时，首先应当知道它的基变 量的个数；其次，要知道这样一组基变量应当是由 哪些变量来组成。 运输问题的解X必须要满足模型中的所有约束条件； 基变量对应的约束方程组的系数列向量必须是线性 无关的；解中基变量应由 m+n-1个变量组成(即基变 量的个数 = 产地个数 + 销售地个数 – 1)，原因是在 运输问题中虽然有m+n个约束条件，但由于总产量 等于总销量，有m+n-1个约束条件是线性独立的。
在该模型中，目标函数表示运输总费用，要求其极 小化；第一个约束条件的意义是由各产地运往某一 销地的物品数量之和等于该销地的销量；第二个约 束条件表示由某一产地运往销地的物品数量之和等 于该产地的产量；第三个约束条件表示变量的非负 条件。
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日 生产能力分别是：50，60，50，供应四个门市 部，日销售量分别是：40，40，60，20台，从 各分厂运往个门市部的运费如表1-23所示，试 安排一个运费最低的运输计划。
x i1 j1 , x i 2 j 2 , , x i s j s ( s m n 1)
2、 表上作业法 表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一 种简化方法，其实质是单纯形算法。只是具体计算和 术语有所不同，可归纳为： （1）找出初始基可行解； （2）求各非基变量的检验数； （3）确定换入变量和换出变量，找出新基可行解。 （4）重复（2）、（3）步，直到求得最优解为止。
（1）、 确定初始基可行解 确定初始基可行解即首先给出初始的调运方案，介绍其中 的两种方法： ① 方法一：最小元素法： 最小元素法的基本思想就是就近供应。即从单位运价表中 最小的运价开始确定产销关系，依次类推，直到给出初始 方案为止。下面由例题来说明最小元素法确定初始基可行 解的具体步骤。 例3.2：某公司有3个生产同类产品的工厂，生产的产品由4 个销售点销售，各工厂的生产量、各销售点的销售量以及 各工厂到各销售点的单位产品运价如表3.5所示。问该公司 应如何调运产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使 总的运费为最小。
设有三个电视机厂。生产同一种彩色电视机，日 生产能力分别是：50，80，50，供应四个门市 部，日销售量分别是：40，40，60，20台，从 各分厂运往个门市部的运费如表所示，试安排 一个运费最低的运输计划。
门市部 工厂
数学 模型？ 1 2 3 需求 1 9 7 6 40 2 12 3 5 40 3 9 7 9 60 4 6 7 11 20 供应 50 80 50