运筹学 第3章运输问题
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运筹学--第三章运输问题
并设Xij----第i个盐产地运往第j个盐销地的运量。 目标函数为：
minS=3 x11 3 x12 4 x13 5 x14 6 x21 ...... 2x34
运出量等于产量：
x11＋x12＋x13＋x14＝70 x21＋x22＋x23＋x24＝80 x31＋x32＋x33＋x34＝100
P13 e1 e6 P14 e1 e7 P21 e2 e4 P23 e2 e6 P32 e3 e5 P34 e3 e7
后面 有理 论探 讨。
即不存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,..., k6使得：
k1 P13 k2 P14 ... k6 P34 0成立
u1 u2 u3 v1 v2 v3 v4
x11 1
x12 1
x13 1
x14 1
1
0 1
0 1
0
x21 0 1 0 1
x22 0 1 0 0 1
x23 0 1 0 0 1
x24 0 1 0 0
x31 0 0 1 1
x32 0 0 1 0 1
x33 0 0 1 0 0 1
1
1
x34 0 0 1 0 0 0 1
3 2 2
1 4 5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
3 4
B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
产量 7 4 9 20
回顾
min z cij xij
i 1 j 1
如何求初始可行解？
约束方程 m n 7个， 模型中有变量 m n 12个，
minS=3 x11 3 x12 4 x13 5 x14 6 x21 ...... 2x34
运出量等于产量：
x11＋x12＋x13＋x14＝70 x21＋x22＋x23＋x24＝80 x31＋x32＋x33＋x34＝100
P13 e1 e6 P14 e1 e7 P21 e2 e4 P23 e2 e6 P32 e3 e5 P34 e3 e7
后面 有理 论探 讨。
即不存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,..., k6使得：
k1 P13 k2 P14 ... k6 P34 0成立
u1 u2 u3 v1 v2 v3 v4
x11 1
x12 1
x13 1
x14 1
1
0 1
0 1
0
x21 0 1 0 1
x22 0 1 0 0 1
x23 0 1 0 0 1
x24 0 1 0 0
x31 0 0 1 1
x32 0 0 1 0 1
x33 0 0 1 0 0 1
1
1
x34 0 0 1 0 0 0 1
3 2 2
1 4 5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
3 4
B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
产量 7 4 9 20
回顾
min z cij xij
i 1 j 1
如何求初始可行解？
约束方程 m n 7个， 模型中有变量 m n 12个，
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
(典型例题)《运筹学》运输问题
第四天送洗：y451200
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
等所示。
23
2.2 最优解的判别
从每一空格出发一定存在和可以找到唯一的闭回路。因(m+n-1)个数字 格(基变量)对应的系数向量是一个基。任一空格(非基变量)对应的系数 向量是这个基的线性组合。如Pij, i,j∈N可表示为 Pij ei em j ei emk emk el el ems ems eu eu em j (ei emk ) (el emk ) (el ems ) (eu ems ) (eu em j ) Pik Plk Pls Pus Puj
mn
mபைடு நூலகம்n z
cij xij
i1 j1
m
xij bj j 1, 2,, n
i=1 n
s.t. xij ai i 1, 2,, m
j1
xij
0
(3 1) (3 2)
4
第1节 运输问题的数学模型
这就是运输问题的数学模型。它包含m×n个变量，(m+n) 个约束方程，其系数矩阵的结构比较松散，且特殊。
在给出调运方案的计算表上，如表3-
销 地 B1 B2 B3 B4 产
13，从每一空格出发找一条闭回路。 加工厂
量
它是以某空格为起点。用水平或垂直
A1
【运筹学 精品培训讲义】第三章运输问题
cij xij
i1 j1
n
xij ai
j1
i=1,2, ,m
m
xij b j
i 1
j=1,2, ,n
xij 0, i = 1,2, , m; j = 1, , n
2.运输问题的模型
x11 x12
x1n x21 x22
x2n
xm1 xm2 xmn
1 1
1
11
1
A＝1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
i 1
j1
s.t. ui v j cij
对偶变量 xij
i = 1,2, , m; j 1,2, , n
ui, v j 无约束 i = 1,2, , m; j = 1, , n
运输问题例子
销售商 Boston Chicago St. Louis Lexington
供应商CleveΒιβλιοθήκη and3Bedford
S. t.
x11 +x 12 +x 13 +x 14
≤ 5000
x21 +x 22 +x 23 +x 24
≤ 6000
x31 +x 32 +x 33 +x 34 ≤2500
x 11
+x 21
+x 31
= 6000
x 11
+x 21
+x 31
= 4000
x 11
+x 21
+x 31
= 2000
x 11
7
York
2
需求量(吨) 6,000
运筹学 第三章 运输问题
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
2021/3/14
23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
2021/3/14
26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
运筹学【运输问题】考研必备
22
13
12 0
最小元素法(2)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
132 712来自10 62715
19 13 12 0 13 0
最小元素法(3)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
13
2 7
13
10
12
6
27
2
19 13 0 12 0 13 0
解: 西北角法
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
B3 3 7 5 3
B4 4 5 8 4
产量
A1 A2 A3
销量
4 6 3 13
(1) 从图的西北角开始, 填入a1与b1较小的值,b1=2, 即从A1运 给B1(2吨)B1已满足, 划去b1列, 并将a1=4-2=2
销地 产地
B1 26 4 7 2-2
例2
供应地 运价 销售地 1 a1=14 供 应 量 1 6 7 5
b1=22
a2=27
2
a3=19
3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
b2=13
销 售 量
3
b3=12
4
b4=13
解:
初始基础可行解—最小元素法(1)
1 1 6 7
2 5
3 3
4 14
2
8
4
2
7
27
15
12
3 5 9 10 6 19 13
如何调运产品才能使总运费最小？
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
运筹学 第三章 运输问题
• 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量, cij表示对应的单位运费, 则我们有运输问题的数学模型如下:
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
《运筹学》第三章 运输问题
二、表上作业法
计算步骤：
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法 或伏格尔法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是 否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否 则转到下一步。 空格 (3)对方案进行改善，找出新的调运方案。 （表上闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4
3
6 6
1
3 5 6
9
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4 9
3
6 6
1
-1
3
5
6
B1 A1 A2 A3 销量 3 1 3
B2 2 1 6 6
B3 4 1
B4 3 -1 3
产量 7 4 9
(ui+vj)
－ B2 9 8 4 B3 3 2 -2 B4 10 9 5
A3 －3
σij
B1 ＝ A1 A2 A3 1 0 10 B2 2 1 0 B3 B4 0 0 0 －1 12 0
表中还有负数，说明 还未得到最优解，应 继续调整。 用位势法与用闭回路法 算出的检验数？ 相同
3、解的改进
——闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 上例： min( σ ij 0 ) pq
m
n
系数列向量的结构： A ij ( 0， 0， 0 ，， 0， 0 ) 1， 0 1，
第 i个
第 ( m j )个
运筹学第三章 运输问题
则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称 产销不平衡。首先讨论产销平衡问题。
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
运筹学(胡运权第三版)第三章 运输问题
§1 运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点：
1. 运输问题一定有最优解；基变量的个数 =m+n-1
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 x12
1 1 1
…
x1m x21 x22
1 1 1
…
x2m
1
… xm1
1
解 的 最 优 性 检 验
1.闭回路法 闭回路：从空格出发，遇到数 字格可以旋转90度，最后回到空 格所构成的回路； 原理：利用检验数的经济含义； 检验数：非基变量增加一个单 位引起的成本变化量。 当所有非基变量的检验数均大 于或等于零时，现行的调运方案 就是最优方案，因为此时对现行 方案作任何调整都将导致总的运 输费用增加。 闭回路法的主要缺点是：当变 量个数较多时，寻找闭回路以及 计算两方面都会产生困难。
B4
11
-1
产量
16
10 22 48
ui
A1 A2
A3 销量 vj
2
10
1 10
9 6
1 0
-4
8 14
5 12
8
14
2
检验数σ
9
3
10
13=8-（-4）-2=10；
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
m in Z = c 1 1 x 1 1 + c 1 2 x 1 2 + ... + c 1 n x 1 n + ... + c m 1 x m 1 + c m 2 x m 2 + ... + c m n x m n
管理运筹学第三章运输问题
供 = 5 应 地 = 2 约 = 3 束 = 2 = 3 需 求 = 1 地 = 4 约 束 ≥ 0
第二节 表上作业法求初始解、 初始值 一、西北角法 （梯形下降）
运价 收点
（元/吨）
B1 B2 B3 B4
4 18 30 0 14 4 4
发量 （吨）
4
0 0 0
发点
A1
2
12 5 20 25
10
015 4 20
4
第二节 表上作业法求初始解、 初始值 初始解： 初始值：
X12=4吨 • S0=4×12+4×10+1×25+6×15 X14=4吨 • +4×14+1×18 X22=1吨 X23=6吨 •=48+40+25+90+56+18 X31=4吨 X32=1吨 • =277元<329元（起点优于西北角法） 变量个数=行数加列数减1 20吨
发量 5 （吨）
3 1 0《产大于需》增加源自5虚拟收点B1 B2 B3 B4 B
2 1
（元/吨）
4
A1 A2 A3
收 量（吨）
2 10 7
0
311
3
2 4
4
3 9 3 2 6 0
0 7 0 5 0 7
0
2
0
3 8
0
5 1
3 0
2 4
0
2
3
4
19
初 始 可 行 解 ： 初 始 值 ： S0=22+41+04+33+92+14 C 23 X11=2吨 +23=45元 C12 X14=1吨 =11-4+9-3>0； = 5-9+2-1=C 25 C13 3 X15=4吨 C 21 X22=3吨 =3-4+2-1=0 C31 ； = 0-0+4-9=5 C 32 C 35 X24=2吨 Cij C25 5； X25 进基 X33=4吨 =10-2+4-9>0； =7-2+4-2>0 X34=3吨
运筹学 第3章 运输问题
第三章运输问题在生产实际中，经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地，因而存在如何调运使总的运费最小的问题。
这类问题一般可用线性规划模型来描述，当然可以用单纯形法求解。
但由于其模型结构特殊，学者们提供了更为简便和直观的解法—-表上作业法。
此外,有些线性规划问题从实际意义上看，并非运输问题，但其模型结构类似运输问题，也可以化作运输问题进行求解。
第一节运输问题及其数学模型首先来分析下面的问题。
例3。
1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。
三个收购站A1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。
已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3-1所示（单位：千元/kt)，问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少?设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3—2由于总供应量等于总需求量，因此，一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量，即x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量,即x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70因此有该问题的数学模型为min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70x ij ≥0，i=1，2，3；j=1，2，3 生产实际中的一般的运输问题可用以下数学语言描述。
管理运筹学 第3章 运输问题
运费 销地 单价 产地 A1 A2 销量
B1
B2
B3
产量 (件) 200 300
6 6 150
4 5 150
6 5 200
设xij表示从产地Ai调运到Bj的运输量(i=1,2;j=1,2,3)
Min f=6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+5x22+ 5x23
x11+ x12+ x13=200 x21+ x22+ x23=300 x11+ x21=150 x12+ x22=150 x13+ x23=200 xij ≥0
运输 销地 单价 产地 1 2 3 4 销量
1
2
3
4
D
产量
10.8 M M M 10
10.95 11.10 11.25 11.10 11.25 11.40 M M 15 11.00 11.15 M 25 11.30 20
0 0 0 0 30
25 35 30 10 100 100
练习: 1. 某公司有甲乙丙丁四个分厂生产同一种产 品,产量为300、500、400、100吨,供应6个地区的 需要,需要量分别为300、250、350、200、250,150 吨.由于原料、工艺和技术的差别,各厂每千克产 品的成本分别为1.3元、1.4元、1.35元、1.5元,各 地区销售价分别为2.0、 2.2、1.9、2.1、1.8、2.3 元.已知各厂运往各销售地区每千克运价 如下表, 从上面知销大于产,如果要求第一第二个销地 至 少供应150吨,第五个销地的需求要必须全部满足, 第三、第四,第六个销地只要求供应量不超过 需 求量.试确定 一个运输方案使公司获利最多.
运筹学 第三章 运输问题
判别的方法是计算空格（非基变量）的检 验数，若所有的检验数都大于等于0，为最优 解。
1）闭环回路法： 在给出的初始调运方案表上，从每一空格 出发找一条闭环回路，它是以某空格为起点 ，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格 转90°后（回路的转角点必须是一个基变量 ） ，继续前进，直到回到起始空格为止。 从每一空格出发一定存在且只有唯一的闭 环回路。 从空格开始加减闭环各个顶点的运输单价 ，可得每个空格对应的检验数。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 16
销地
B1
产地
A1
A2
3
A3
销量 3
B2 B3
4 1 6
65
B4 产量
37
4
39
6
销地
产地
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
空格 (11) (12) (22) (24) (31) (33)
闭环回路 (11)－(21)－(23)－(13)－(11) (12)－(32)－(34)－(14)－(12) (22)－(32)－(34)－(14)－(13) －(23)－(22) (24)－(14)－(13)－(23)－(24) (31)－(34)－(14)－(13)－(23) －(21)－(31) (33)－(34)－(14)－(13)－(33)
基变量：
X13 U1+V3=C13=3
X14 U1+V4=C14=10
X21 U2+V1=C21=1
1
3 10 U1=0
2
U2=-1
X23 U2+V3=C23=2
4
1）闭环回路法： 在给出的初始调运方案表上，从每一空格 出发找一条闭环回路，它是以某空格为起点 ，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格 转90°后（回路的转角点必须是一个基变量 ） ，继续前进，直到回到起始空格为止。 从每一空格出发一定存在且只有唯一的闭 环回路。 从空格开始加减闭环各个顶点的运输单价 ，可得每个空格对应的检验数。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 16
销地
B1
产地
A1
A2
3
A3
销量 3
B2 B3
4 1 6
65
B4 产量
37
4
39
6
销地
产地
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
空格 (11) (12) (22) (24) (31) (33)
闭环回路 (11)－(21)－(23)－(13)－(11) (12)－(32)－(34)－(14)－(12) (22)－(32)－(34)－(14)－(13) －(23)－(22) (24)－(14)－(13)－(23)－(24) (31)－(34)－(14)－(13)－(23) －(21)－(31) (33)－(34)－(14)－(13)－(33)
基变量：
X13 U1+V3=C13=3
X14 U1+V4=C14=10
X21 U2+V1=C21=1
1
3 10 U1=0
2
U2=-1
X23 U2+V3=C23=2
4
《运筹学》第三章运输问题
Vogel近似法
考虑运输成本差异， 进行逼近最优解。
运输问题的扩展和变体
1
生产产能约束
考虑生产能力限制，同时优化货物的运输方案。
2
供需不平衡
存在供需不平衡时如何有效分配货物，避免浪费和延误。
3
多目标运输问题
同时考虑多个目标，如最小化成本和最大化利润。
运输问题的应用实例和案例分析
物流领域的应用
通过运输问题的优化，提升物流效率，降低成本。
运输问题的基本模型
运输方案的表示
常用的表示方法包括运输矩阵和网络图。
目标函数和约束条件
目标函数通常是最小化运输成本，约束条件包 括供需平衡和容量限制。
运输问题的解决方法
最小成本法
逐步分配货物，直至 达到最小总成本。
北北角法
按照最小单位运输成 本进行分配，直至l's Approximation Method）法为基础， 逐步分配货物。
《运筹学》第三章运输问 题
运输问题是运筹学中重要的问题之一，涉及到各种场景下的货物运输优化。 本章将介绍运输问题的定义、基本模型、解决方法，以及其在物流和生产调 度中的应用实例。
运输问题的概念和应用领域
• 运输问题是一种优化问题，旨在找到使运输成本最小的货物运输方案。 • 运输问题广泛应用于物流管理、供应链优化以及交通规划等领域。
生产调度中的应用
合理安排生产计划，提高生产线的利用率。
总结和展望
运输问题是优化领域的重要研究方向，未来随着物流技术的发展将有更多的应用场景和解决方法出现。
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检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
表3-3
销地
产地
B1
3
B2
11
B3
3
B4
10
发量 （T）
7
A1
A2
A3
1
7
9
4
2
10
8
5
4
9
收量（T）
3
6
5
6
9
1、最小元素法
思路：为了减少运费，应优先考虑单位运价最小(或 运距最短)的供销业务，最大限度地满足其供销量。在可 供物品已用完的产地或需求已全部满足的销地，以后将不 再考虑。然后，在余下的供、销点的供销关系中，继续按 上述方法安排调运，直至安排完所有供销任务，得到一个 完整的调运方案(完整的解)为止。这样就得到了运输问题 的一个初始基可行解(初始调运方案)。 由于该方法基于优先满足单位运价(或运距)最小的供 销业务，故称为最小元素法。
表3-7
产
销 A1 A2 A3
B1 3
B2
B3 5
B4 2 1 3 6
供量 7 4 9
6 3 6 5
销量
19
计算最小元素法得到的初始基可行解的检验数 表3-8
销地 产地 A1 A2 B1
(+1)
B2
B3
B4
3
1
11
9 6
4 (-1) 1 (+1)
3
2
3
10
8
3 (-1)
A3
7
4
10
3
5
调整后总运费增加： (+1)×3+(-1)×3+(+1)×2+(-1)×1=1
33
如下例中σ11检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。
销地 产地 A1
4 2
B1
(0)
12 10 5
B2
(2)
(2) 4 3 11
B3
12
(1) (12) 6 11 9
B4
4
产量 16
8
(9)
2
8
A2
A3
8
14
10
22
销量
8
14
12
14
其中绿色是非基变量检验数，红色为分配量。
34
例：用最小元素法求初始可行解
11
2. 沃格尔法
最小元素法，有时按某一最小单位运价优先安排
物品调运时，却可能在其他供销点多花几倍的运费，
从而使整个运输费用增加。 沃格尔法考虑到： 一个产地的产品假如不能按照最小 运费就近供应，就考虑次小运费，这就有个差额。 如果差 额不大，当不能按最小单位运价安排运输时造成的运费损 5 失不大；反之，如果差额很大，不按最小运价组织运输就 会造成很大损失，故应尽量按最小单位运价安排运输。沃 5 格尔法就是基于这种考虑提出来的。 5 5
i 1 j 1 m n
n xij ai ( i 1, 2, ......m ) j 1 m s.t . xij b j ( j 1, 2, ......n) i 1 xij 0, i 1, 2, ......m , j 1, 2, ......n
从(p,q)空格开始画闭回路，其它转角点都是 填有运量的方格，并从(p,q)空格开始给闭回路上 的点按+1，-1，+1，-1编号，-1格的最小运量为 调整量。 表3-13
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 B2 B3 B4 产量 7 4 9
3 3 6 6
4(+1)… …3(-1) ┇ ┇ 1(-1)… …(+1) 3 5 6
空格处 检验数 为1
20
表3-9
销地 产地 A1 A2
B1
B2
B3
B4
3
1 3 (-1)
11
9 6
4 (-1) 2 1 (+1)
3
3 (+1)
10
8
A3
7
(+1)
4
10
3 (-1)
5
调整后总运费增加： 7-5+10-3+2-1=10
空格处 检验数 为10
21
检验数表
销地 产地 B1 B2 B3
表3-10
Chapter3 运输问题
( Transportation Problem )
本章主要内容：
运输问题的数学模型
表上作业法 运输问题的应用
问题的提出
从m个发点 A1 , A2 , Am 向n个收点
B1 , B2 , Bn 发送某种货物. Ai 发点的发
量为 a i ， B j 收点的收量为 b j 。由 Ai 运
表3-5
B1 B2 B3 B4 产量
Z=85
5 3 6
3
B1 3 B2 11 9
2 1 3
6
B4 10 8
7 4 9
6
5
B3
表3-6
两最小元素之差
[3 ]
2 10
[ 1]
7
① ② ③ ④
2 2 2
[4 ] 5
1 1 1 1
[5 ] 3 3 2 2
①②③④ 0 0 0 7 1 1 1 6 1 2
14
1 若有两个以上相同的最大差值，可任取其 一。 2 剩下一行或者一列有空格，填数字，不能 划掉。 3 计算行差，列差时，已经划去的列或者行 不再考虑。
12
沃格尔法计算步骤：
1) 分别算出各行、各列的最小运费与次小运费的差额。 2) 从行、列中选出差额最大者，选择它所在行、列中的 最小元素，进行运量调整。 3) 对剩余行、列再分别计算各行、列的差额。返回1)、
2)。
13
2.伏格尔法
销地 产地 A1 A2 A3 销量
产地 A1 A2 A3 两最小 元素 之差 销地
实际中，往往遇到产销不平衡的运输问题
1.产大于销（供过于求）
a b
i 1 i j 1
m
n
j
2.销大于产（供不应求）
a b
i 1 i j 1
m
n
j
36
产销不平衡运输问题向产销平衡运输问题的转化
产大于销的运输问题： ai b j
i 1 j 1 m n
数学模型
min z cij xij
往 B j 单位货物的运费为 ci j ，问如何调配，
才能使运费最省？
若 ai b j，称此运输问题为平衡运输问题， 否则称为非平衡运输问题.
2
上述数据可以汇总于 表格中,如下:
表1 产销平衡表
销地 产地 1 2 ┆ m 销量
1
2
…
n
产量 a1 a2 ┆ am
b1
b2
…
bn
销地 产地 1 2 ┆ m
列位势:关于需求点Bj的约束对应的对偶变量，记为vj, j = 1,2,…,n。
23
定理：运输问题变量xij的检验数
ij cij ui v j
证明：
0 1 ij cij C B B 1 Pij cij ( u1 , ...um , v1 , ...vn ) cij ui v j 1 0
24
位势法 求检验数的步骤:
1. 在表中下面和右面增加一行和一列 , 列中添入 ui, 行中添入vj ,令u1=0, 按照 Cij ui v j , 根据表中已有 的数字确定所有的ui及vj ; 2.计算所有空格处的检验数.
ij Cij ( ui v j )
25
表3-12
m行
n行
1. 矩阵A是一个m+n行mn列的矩阵，它的秩为m+n-1。 2. 运输问题应该有m+n-1个基变量。 3. xij的系数列向量为：