运筹学 第3章运输问题

所有检验数≥0
找出绝对值最大的负检验数，用闭合 回路调整，得到新的调运方案
31
表上作业法计算中的问题：
（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负， 在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数 值得到改善，但通常取σij<0中最小者对应的变量为换入变量。 （2）无穷多最优解 产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的σij＝0， 则该问题有无穷多最优解。
输问题的目标函数是实现最小化,所以当所有空格处 的检验数大于等于零时,为最优解. 下面分别介绍两种计算检验数的方法: (1) 闭回路法 (2) 位势法
18
① 闭回路法 闭回路：从空格出发画水平(或垂直)直线，遇到 填有运量的方格（数字格）可转90°，然后继续前进 ，直到到达出发的空格所形成的闭合回路。 调运方案的任意空格一定存在唯一闭回路。
7
1 确定初始基可行解
运输问题确定初始基可行解，就是求出运输问 题的初始调运方案.
确定初始基可行解的方法有
最小元素法
伏格尔法
8
【例2-1】 某公司经销甲产品,下设3个加工厂A1、 A2、A3，产品分别运往销售点B1、B2、B3、B4，各工厂 的日产量和各销售点的日需求量及各工厂到各销售点 的运价如下表所示：（运输问题供需平衡表和运价表 如下），求总运费最少的调运方案。
m行
n行
1. 矩阵A是一个m+n行mn列的矩阵，它的秩为m+n-1。 2. 运输问题应该有m+n-1个基变量。 3. xij的系数列向量为：
Pij (0....1...0....1...0)T ei em j
5
表上作业法
6
表上作业法的基本思路：
确定初始调运方案
最优性检验
改进方案
Chapter3 运输问题
( Transportation Problem )
本章主要内容：
运输问题的数学模型
表上作业法 运输问题的应用
问题的提出
从m个发点 A1 , A2 , Am 向n个收点
B1 , B2 , Bn 发送某种货物. Ai 发点的发
量为 a i ， B j 收点的收量为 b j 。由 Ai 运
空格处 检验数 为1
20
表3-9
销地 产地 A1 A2
B1
B2
B3
B4
3
1 3 (-1)
11
9 6
4 (-1) 2 1 (+1)
3
3 (+1)
10
8
A3
7
(+1)
4
10
3 (-1)
5
调整后总运费增加： 7-5+10-3+2-1=10
空格处 检验数 为10
21
检验数表
销地 产地 B1 B2 B3
表3-10
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
15
例 用伏格尔法求初始调运方案 销 产 A1 A2 A3 销量 B1 5 2 3 9 B2 1 4 6 10 B3 8 1 7 11 产量 12 14 4
16
初始调运方案
销 产 A1 A2
B1
B2
B3
产量
2
3
10
11
12
14
A3 销量
4 9 10 11
4
17
2.2 最优解的判别
判别办法是计算空格(非基变量)的检验数,因为运
表3-3
销地
产地
B1
3
B2
11
B3
3
B4
10
发量 （T）
7
A1
A2
A3
1
7
9
4
2
10
8
5
4
9
收量（T）
3
6
5
6
9
1、最小元素法
思路：为了减少运费，应优先考虑单位运价最小(或 运距最短)的供销业务，最大限度地满足其供销量。在可 供物品已用完的产地或需求已全部满足的销地，以后将不 再考虑。然后，在余下的供、销点的供销关系中，继续按 上述方法安排调运，直至安排完所有供销任务，得到一个 完整的调运方案(完整的解)为止。这样就得到了运输问题 的一个初始基可行解(初始调运方案)。 由于该方法基于优先满足单位运价(或运距)最小的供 销业务，故称为最小元素法。
从(p,q)空格开始画闭回路，其它转角点都是 填有运量的方格，并从(p,q)空格开始给闭回路上 的点按+1，-1，+1，-1编号，-1格的最小运量为 调整量。 表3-13
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 B2 B3 B4 产量 7 4 9
3 3 6 6
4(+1)… …3(-1) ┇ ┇ 1(-1)… …(+1) 3 5 6
列位势:关于需求点Bj的约束对应的对偶变量，记为vj, j = 1,2,…,n。
23
定理：运输问题变量xij的检验数
ij cij ui v j
证明：
0 1 ij cij C B B 1 Pij cij ( u1 , ...um , v1 , ...vn ) cij ui v j 1 0
=min{1，3}=1
27
找到最小调整量以后,按照闭回路上的正、负 号，分别加上和减去此值，得到新的运输方案。
表3-14
产
销
B1
B2
B3
B4
供量
A1 A2 A3
销量
5
3 6 3 6 5
2 1 3
6
7 4 9
再用闭回路法或者位势法求检验数，得到下 表:
28
表3-15
产
销 A1 A2 A3
B1 0 9 3
32
⑵ 退化解： ※ 表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量 时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证 有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的 任意空格处加一个0即可。 ※ 利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的 最小运量（超过2个最小值）作为调整量θ，选择任意一个最 小运量对应的基变量作为换出变量，而经调整后，得到退化 解。这时另一个数字格必须填入一个“0”以示它为基变量。
往 B j 单位货物的运费为 ci j ，问如何调配，
才能使运费最省？
若 ai b j，称此运输问题为平衡运输问题， 否则称为非平衡运输问题.
2
上述数据可以汇总于 表格中,如下:
表1 产销平衡表
销地 产地 1 2 ┆ m 销量
1
2
…
n
产量 a1 a2 ┆ am
b1
b2
…
bn
销地 产地 1 2 ┆ m
33
如下例中σ11检验数是 0，经过调整，可得到另一个最优解。
销地 产地 A1
4 2
B1
(0)
12 10 5
B2
(2)
(2) 4 3 11
B3
12
(1) (12) 6 11 9
B4
4
产量 16
8
(9)
2
8
A2
A3
8
14
10
22
销量
8
14
12
14
其中绿色是非基变量检验数，红色为分配量。
34
例：用最小元素法求初始可行解
i 1 j 1 m n
n xij ai ( i 1, 2, ......m ) j 1 m s.t . xij b j ( j 1, 2, ......n) i 1 xij 0, i 1, 2, ......m , j 1, 2, ......n
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
1 c11 c21 ┆ cm1
2 c12 c22 ┆ cm2
… … … …
n c1n c2n ┆ cmn
表2 单位运价表
3
运输问题的数学模型
设xij代表为从第i个产地调运给第j个销地的物资
的数量.在产销平衡的条件下，即
m n
a b
i 1 i j 1
m
n
j
使总的运费支出最小，可以表为以下数学形式：
12
沃格尔法计算步骤：
1) 分别算出各行、各列的最小运费与次小运费的差额。 2) 从行、列中选出差额最大者，选择它所在行、列中的 最小元素，进行运量调整。 3) 对剩余行、列再分别计算各行、列的差额。返回1)、
2)。
13
2.伏格尔法
销地 产地 A1 A2 A3 销量
产地 A1 A2 A3 两最小 元素 之差 销地
24
位势法 求检验数的步骤:
1. 在表中下面和右面增加一行和一列 , 列中添入 ui, 行中添入vj ,令u1=0, 按照 Cij ui v j , 根据表中已有 的数字确定所有的ui及vj ; 2.计算所有空格处的检验数.
ij Cij ( ui v j )
25
表3-12
销地 产地 A1 A2
3
B1
11
B2
4 3
B3
1 4
4 8 6
B4
6
产量 7
0
7
1
7
3
A3
销量
2
6
4
10
9
6
在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选x34
35
3
6
5
20
第三节
产销不平衡的运输问题及其求解方法
m n
表上作业法是以产销平衡为前提的： ai b j
i 1 j 1
表3-5
B1 B2 B3 B4 产量
Z=85
5 3 6
3
B1 3 B2 11 9
2 1 3
6
B4 10 8
7 4 9
6
5
B3wk.baidu.com
表3-6
两最小元素之差
[3 ]
2 10
[ 1]
7
① ② ③ ④
2 2 2
[4 ] 5
1 1 1 1
[5 ] 3 3 2 2
①②③④ 0 0 0 7 1 1 1 6 1 2
14
1 若有两个以上相同的最大差值，可任取其 一。 2 剩下一行或者一列有空格，填数字，不能 划掉。 3 计算行差，列差时，已经划去的列或者行 不再考虑。
B2 2 2 6
B3
B4
供量 7 4 9
1
12 5 6
销量
这时所有的检验数都非负，表中的解就是最优解.
29
例 求该运输问题的最优解
产
销 A1 A2 A3
B1 3 2 4 3
B2 7 4 3 3
B3 6 3 8 2
B4 4 2 5 2
供量 5 2 3
销量
30
表上作业法的计算步骤：
分析实际问题列出产销平 衡表及单位运价表 确定初始调运方案（最小 元素法或伏格尔法） 求检验数闭回路或位势法 得到最优方案， 算出总运价
实际中，往往遇到产销不平衡的运输问题
1.产大于销（供过于求）
a b
i 1 i j 1
m
n
j
2.销大于产（供不应求）
a b
i 1 i j 1
m
n
j
36
产销不平衡运输问题向产销平衡运输问题的转化
产大于销的运输问题： ai b j
i 1 j 1 m n
数学模型
min z cij xij
11
2. 沃格尔法
最小元素法，有时按某一最小单位运价优先安排
物品调运时，却可能在其他供销点多花几倍的运费，
从而使整个运输费用增加。 沃格尔法考虑到： 一个产地的产品假如不能按照最小 运费就近供应，就考虑次小运费，这就有个差额。 如果差 额不大，当不能按最小单位运价安排运输时造成的运费损 5 失不大；反之，如果差额很大，不按最小运价组织运输就 会造成很大损失，故应尽量按最小单位运价安排运输。沃 5 格尔法就是基于这种考虑提出来的。 5 5
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
B4
A1
A2 A3
1
2 1 -1 12
10
因为存在小于零的检验数,所以最小元素法给出的 方案不是最优方案.
22
2. 位势法
位势：运输问题的对偶变量称为位势。
因为m个供应点n个需求点的运输问题有m+n个约束， 因此运输问题就有m+n个位势。 行位势:关于供应点Ai的约束对应的对偶变量，记为 ui, i=1,2,…m。
表3-7
产
销 A1 A2 A3
B1 3
B2
B3 5
B4 2 1 3 6
供量 7 4 9
6 3 6 5
销量
19
计算最小元素法得到的初始基可行解的检验数 表3-8
销地 产地 A1 A2 B1
(+1)
B2
B3
B4
3
1
11
9 6
4 (-1) 1 (+1)
3
2
3
10
8
3 (-1)
A3
7
4
10
3
5
调整后总运费增加： (+1)×3+(-1)×3+(+1)×2+(-1)×1=1