第3章运输问题
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管理运筹学第3章-运输规划1
6
9 u2=-2
5
9
10
6
3
-11
-3
6
13 u3=6
v1=10
v2=6
v3=4
v4=0
c32 - z32= c32 – (u3+v2)= 9 – 6-6=-3
3.3 迭代规则 运算方法—闭回路调整法
调整的步骤如下： （1）先确定最小检验数：； （2）找出以空格为一个顶点，其余顶点全是数字
-----退化解出现
3.3 迭代规则 运算方法—闭回路调整法
1
2
3
4
6
7
1
14
5
5
3
5
u1=-4
7
8
4
2
7
2
8
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6
9 u2=-2
5
9
10
6
3
-11
-3
6
13 u3=6
v1=10
v2=6
v3=4
v4=0
x31进基, min{x21,x33}=min{8,6}=6, x33离基
转轴运算,重新计算检验数,确定进基、离基变量
第三章 运输问题
运输问题及其数学模型 运输问题表上作业法
3.1 运输问题及其数学模型
一、一般运输问题
设某种货物有m个产地A1，A2，…,Am,产量分 别为a1,a2,…,am,有n个销地B1,B2,…,Bn,销量分 别为b1,b2,…,bn，而且从Ai到Bj的单位运价为 Cij。若产销平衡（ ai= bj），问如何制定调 运方案，可以使总运费最小？
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.34333231242322213141141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1. 最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===3141i j ijij x c Z2. 伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学基础及应用第3章-运输问题(胡运权)
产地Ai（i=1,...,n）分配到销地Bj（j=1,...,n） 物资的和=产地Ai的产量ai 销地Bj（j=1,...,n）接收到产地Ai（i=1,...,n） 分配的物资和<销地Bj的产量bj
产量<销量
1.运输规划问题的典例和数学模型 特征：
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n－1 个 基变量。
运筹学基础及应用
Operations Research
运 筹 帷 幄 之 中
第三章
运输问题
决 胜 千 里 之
Transportation Problem
外
目
1
运输规划问题的典例和数学模型 表上作业法 运输问题的应用
录
CONTENTS
2
3
1.运输规划问题的典例和数学模型
例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
48
列差额
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10
2.表上作业法
B2 B3
12 4
B1
4
B4
11
产量
行差额
16 3 9
0
A2
10
1
8 A3
5
11
6 22 2
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3 48
列差额
2.表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10 3 9 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 16 0 产量
产量<销量
1.运输规划问题的典例和数学模型 特征：
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n－1 个 基变量。
运筹学基础及应用
Operations Research
运 筹 帷 幄 之 中
第三章
运输问题
决 胜 千 里 之
Transportation Problem
外
目
1
运输规划问题的典例和数学模型 表上作业法 运输问题的应用
录
CONTENTS
2
3
1.运输规划问题的典例和数学模型
例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
48
列差额
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10
2.表上作业法
B2 B3
12 4
B1
4
B4
11
产量
行差额
16 3 9
0
A2
10
1
8 A3
5
11
6 22 2
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3 48
列差额
2.表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 A1 2 10 3 9 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 16 0 产量
第3章运输问题
ui + v j cij i = 1,2,..,m s.t. j = 1,..,n ui ,v j的符号不限
运输问题
解 的 最 优 性 检 验
检验数：目标函数的系数减去对偶变量之和
原问题检验数：σij=cij-(ui+vj) 特别对于m+n-1个基变量，有 σij=0
运输问题
B4 4 4 11 2 12 2 10 1 3 2 9 14 5 12 11 8 6 14 12 14
B2
B3 12
产量
16 10 22 48
ij 0, 此时的解为最优解。 z 8 2 14 5 12 4 4 11 2 9 8 6 244 246 2
运输问题
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
位势：设对应基变量xij的m+n-1个i、j ， 存 在 ui,vj 满 足 ui+vj=cij,i=1,2,..,m; j=1,2 ,… ,n称这些ui , vj 为该基本可 行解对应的位势。
运输问题
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
运输问题
最小元素法举例
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
60 16 10 2 3 9 10 8 2 20 8 14 5 11 8 6 22 80 8 14 12 14 48 0 0 10 6 10
4
6
11
0
0
运输问题
最小元素法举例
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
2 列 罚 3 数 4
2
2
第三章运输问题习题及答案(2012春)
运输问题习题1．甲、乙、丙三个城市每年分别需要煤炭320、250、350吨，由A 、B 两处煤矿负责供应。
已知煤炭年供应量为A ——400万吨，B ——450万吨。
由煤矿至各城市的单位运价(万元/万吨)。
见表1：由于需大于供，经研究平衡决定，甲城市供应量可减少0~30万吨，乙城市需要量应全部满足，丙城市供应量不少于270万吨。
试求将供应量分配完又使总运费为最低的调运方案。
2．已知运输问题的产销平衡表、单位运价表及最优调运方案分别见表2和表3。
（1） 从A 2→B2的单位运价C 22在什么范围内变化时，上述最优调运方案不变？提示: 只需检验数220σ≥（2） A 2→B4的单位运价C 24变为何值时，有无穷多最优调运方案。
提示: 检验数242424()c u v σ=-+=03．试分析分别发生下列情况时,运输问题的最优调运方案及总运价有何变化.(a) 单位运价表第i 行的每个ij c 都加上一个常数λ;对于任意基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λ==+，那么基变量的检验数等于***()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλσ=+-+=--=也就是检验数没有变化，因而最优调运方案没有变化 (b) 单位运价表第j 列的每个ij c 都加上一个常数λ; 对于第j 列基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λ==+，那么基变量的检验数等于***()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλσ=+-+=--=又由于其它列的位势不改变，因而检验数也不改变 也就是检验数没有变化，因而最优调运方案没有变化 (c) 单位运价表所有ij c 都乘上一个常数λ。
对于第j 列基变量的检验数，在没加常数λ以前，有 ij ij i j c u v σ=--加常数后令**,i i j j u u v v λλ==，那么基变量的检验数等于***()()()ij ij i j ij i j ij c u v c u v σλλλσ=-+=--= 因此，当0λ≥时检验数的符号没有改变，因而最优调运方案没有变化；而0λ<时检验数的符号改变，因而最优调运方案变化。
第三章 运输问题 本章重点： 产销平衡运输问题的数学模型产销平衡
运输问题有有限最优解 对于运输问题的模型，若令其变量
xij ai b j Q (i 1,2,...,m; j 1,2,...,n)
m n
其中Q ai b j
i 1 j 1
则上述模型就是运输问题模型的一个可行解，运输 问题的目标函数有下界，目标函数值不会趋于负无 穷大，因此，运输问题必存在有限最优解。
B4 10 8 5 2
行差额
0 1
产 A1 A2 A3
销
B1 3
B2
B3
B4
供量
7 4
6 3 6 5
3 6
9
销量
A1 A2 A3
差额
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10 1
B4 10 8 5 2
差额
7 6
产 A1 A2 A3
销
B1 3
B2
B3
5
B4
2
供量
7 4 9
6 3 6 5
1 3
设ui,vj为对偶变量，对偶问题模型为
max w a i u i b j v j
m
n
ui v j cij
i 1
ji
ui‚vj无约束 （i=1,2, …,m;j=1,2, …,n)
运输问题的特点
• 约束条件系数矩阵的元素等于0或1 • 约束条件系数矩阵的每一列有两个非零 元素，这对应于每一个变量在前 m个约 束方程中出现一次，在后n个约束方程中 也出现一次。
销 产 A1 A2 ┇ B1 c11 x11 c21 x21 ┇ cm Am 销量
1
B2 c12 x12 c22 x22 ┇ cm
2
… … … ┇
第3章 运输问题
第三章运输问题一、选择1、运输问题在用表上作业法计算得时候,用闭回路法进行调整检验时，通过任一空格可以找到( )闭回路A、惟一Ｂ、多个 C、零个Ｄ不能确定2、在产销不平衡得运输问题中,如果产大于销，我们(Ｂ )把她变成一个产销平衡得运输问题A 假想一个产地B 假想一个销地C 去掉一个产地D 没有办法3、最小元素法得基本思想就就是( Ｄ)。
Ａ依次供应B全面供应 C 选择供应D就近供应4、运输问题中在闭回路调整中,使方案中有数字得格为( C ）。
A m Ｂ n C m+ｎ D m+n-１5、在表上作业法中,调运方案中有数字得格为( C )Ａm＋n B ｍ-n Ｃｍ+n-1 D m*n6、运输问题得数学模型中,包含有(D）变量。
A ｍ+n Ｂｍ-n C m+n－1 Ｄm*n７、运输问题得数学模型中,包含有（A)个约束条件。
A ｍ+nB m-n Ｃｍ+n-１ D m*n8、运输问题得数学模型中,系数矩阵中线性独立得列向量得最大个数为(C)Ａｍ+n B m－n C ｍ＋ｎ-1 Dｍ＊n9、运输问题得解中得基变量数一般为(C )A ｍ+ｎB ｍ-nC m+n-1D m*ｎ1０、运输问题中，在检验数表上所有检验数都(C ),此时运输表中给出得方案就就是最优方案。
A大于零B等于零C大于等于零D小于零11.在产销不平衡得运输问题中,如果销大于产时,可以在产销平衡表上( A),把她变成一个产销平衡得运输问题A 假想一个产地B 假想一个销地C 去掉一个产地D 没有办法１2、运输问题数学模型得特点之一就是( ）Ａ一定有最优解Ｂ不一定有最优解C 一定有基可行解Ｄ不一定有基可行解1３、运输问题得数学模型得约束条件得系数矩阵得元素由()组成。
A 0B1Ｃ0,1Ｄ不确定1４、二、填空1、求解不平衡得运输问题得基本思想就是(设立虚供地或虚需求点,化为供求平衡得标准形式) 。
2、运输问题中求初始基本可行解得方法通常有(最小元素法）、(伏格尔法）两种方法。
运筹学 第三章 运输问题
• 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量, cij表示对应的单位运费, 则我们有运输问题的数学模型如下:
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
03运输问题(新)
6
7 4 9
8
第三章
运输问题
最小元素法
步骤： 1.从单位运价表中找最小元素Ckt=min{Cij } 2. 根据Ckt对应的产地产量ak 、销地销量bt确定调运量 调运量Xkt=min{ ak，bt } ， 将Xkt 填在产销平衡表第（k，t）格
若ak＞ bt 若ak＜bt
， ，
Xkt=bt Xkt= ak
4
第三章
运输问题
销地 产地
A1
B1
3
B2
4 2
B3
B4
产量
7
A2
A3
2 3 6
4
9
销量
3
6
5
6
20
5
P11 P12 ……P1n 1 1 …… 1
m行
P2
1
1
1
n行
1 1
1
运输问题 P22 ……P2n ……Pm1第三章……Pmn Pm2 a1 1 …… 1 a2 : 1 1 …… 1 am …… 1 b1 1 …… 1 b2 …… : 1 …… 1 bm
Ui，Vj又分别称为对应于发 点（产地）i和收点（销地） j的位势
16
第三章
运输问题
设基B为运输问题的一个可行基，则对偶变量 Y=CBB-1 =(U1,U2 ,……,Um,V1,V2 ,……, Vn)
决策变量Xij的系数列向量 检验数
Pij=ei+em+j =
0 1 ij=Cij-CBB-1 Pij =Cij-(U1,U2 ,……,Um,V1,V2,……, Vn ) 1 =Cij-Ui-Vj 0
第三章
运输问题
7 4 9
8
第三章
运输问题
最小元素法
步骤： 1.从单位运价表中找最小元素Ckt=min{Cij } 2. 根据Ckt对应的产地产量ak 、销地销量bt确定调运量 调运量Xkt=min{ ak，bt } ， 将Xkt 填在产销平衡表第（k，t）格
若ak＞ bt 若ak＜bt
， ，
Xkt=bt Xkt= ak
4
第三章
运输问题
销地 产地
A1
B1
3
B2
4 2
B3
B4
产量
7
A2
A3
2 3 6
4
9
销量
3
6
5
6
20
5
P11 P12 ……P1n 1 1 …… 1
m行
P2
1
1
1
n行
1 1
1
运输问题 P22 ……P2n ……Pm1第三章……Pmn Pm2 a1 1 …… 1 a2 : 1 1 …… 1 am …… 1 b1 1 …… 1 b2 …… : 1 …… 1 bm
Ui，Vj又分别称为对应于发 点（产地）i和收点（销地） j的位势
16
第三章
运输问题
设基B为运输问题的一个可行基，则对偶变量 Y=CBB-1 =(U1,U2 ,……,Um,V1,V2 ,……, Vn)
决策变量Xij的系数列向量 检验数
Pij=ei+em+j =
0 1 ij=Cij-CBB-1 Pij =Cij-(U1,U2 ,……,Um,V1,V2,……, Vn ) 1 =Cij-Ui-Vj 0
第三章
运输问题
运筹学(胡运权第三版)第三章 运输问题
§1 运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点：
1. 运输问题一定有最优解；基变量的个数 =m+n-1
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 x12
1 1 1
…
x1m x21 x22
1 1 1
…
x2m
1
… xm1
1
解 的 最 优 性 检 验
1.闭回路法 闭回路：从空格出发，遇到数 字格可以旋转90度，最后回到空 格所构成的回路； 原理：利用检验数的经济含义； 检验数：非基变量增加一个单 位引起的成本变化量。 当所有非基变量的检验数均大 于或等于零时，现行的调运方案 就是最优方案，因为此时对现行 方案作任何调整都将导致总的运 输费用增加。 闭回路法的主要缺点是：当变 量个数较多时，寻找闭回路以及 计算两方面都会产生困难。
B4
11
-1
产量
16
10 22 48
ui
A1 A2
A3 销量 vj
2
10
1 10
9 6
1 0
-4
8 14
5 12
8
14
2
检验数σ
9
3
10
13=8-（-4）-2=10；
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
m in Z = c 1 1 x 1 1 + c 1 2 x 1 2 + ... + c 1 n x 1 n + ... + c m 1 x m 1 + c m 2 x m 2 + ... + c m n x m n
第三章 运输问题的特殊解法
收点 发点 A1 A2 A3 销量
B1 2 1
B2
B3 5
B4
产量 75 4 1 93 20
B1 3 1 7 2
B2 11 9 4 5
B3 3 2 10 1
B4 12 8 5 4 3
行差 0 1 2 1
3 6 3 5 6 3 6
32
对应的目标函数值为： 对应的目标函数值为：
z＝3×2＋3×5十1×1十8×3＋4×6十5×3＝85(元) ＝ × ＋ × 十 × 十 × ＋ × 十 × ＝ 元
收点 发点 A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3 4
B4 3 3 63
产量 73 41 93 20
B1 3 1 7 ①
B2 11 9 4 ④
B3 3 2 10 ③
B4 12 8 5 ⑥ ② ⑤
3 3 6 6
1 54
对应的目标函数值为： 对应的目标函数值为：
z＝3×4＋12×3十1×3十2×1＋4×6十5×3＝92(元) ＝ × ＋ × 十 × 十 × ＋ × 十 × ＝ 元
收点 发点 A1 A2 A3 销量 3 6 5 6 B1 B2 B3 B4 产量 7 4 9 20 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 12 8 5
（一）确定初始调运方案
1、最小元素法 、
思路：就近供应，优先安排运价最小的收发点之间 的物资调运量，然后次小，直到给出初始基可行解 解题步骤： 解题步骤：
min s = cx
矩
T
阵 形 式
（2）产大于销时 ）
min s = ∑∑ cij xij
i =1 j =1
m
n
n ∑ xij ≤ ai (i = 1,2, L, m) j =1 m ∑ xij = b j ( j = 1,2, L, n) i =1 xij ≥ 0(i = 1,2, L, m; j = 1,2, L, n)
管理运筹学第三章运输问题
供 = 5 应 地 = 2 约 = 3 束 = 2 = 3 需 求 = 1 地 = 4 约 束 ≥ 0
第二节 表上作业法求初始解、 初始值 一、西北角法 （梯形下降）
运价 收点
（元/吨）
B1 B2 B3 B4
4 18 30 0 14 4 4
发量 （吨）
4
0 0 0
发点
A1
2
12 5 20 25
10
015 4 20
4
第二节 表上作业法求初始解、 初始值 初始解： 初始值：
X12=4吨 • S0=4×12+4×10+1×25+6×15 X14=4吨 • +4×14+1×18 X22=1吨 X23=6吨 •=48+40+25+90+56+18 X31=4吨 X32=1吨 • =277元<329元（起点优于西北角法） 变量个数=行数加列数减1 20吨
发量 5 （吨）
3 1 0《产大于需》增加源自5虚拟收点B1 B2 B3 B4 B
2 1
（元/吨）
4
A1 A2 A3
收 量（吨）
2 10 7
0
311
3
2 4
4
3 9 3 2 6 0
0 7 0 5 0 7
0
2
0
3 8
0
5 1
3 0
2 4
0
2
3
4
19
初 始 可 行 解 ： 初 始 值 ： S0=22+41+04+33+92+14 C 23 X11=2吨 +23=45元 C12 X14=1吨 =11-4+9-3>0； = 5-9+2-1=C 25 C13 3 X15=4吨 C 21 X22=3吨 =3-4+2-1=0 C31 ； = 0-0+4-9=5 C 32 C 35 X24=2吨 Cij C25 5； X25 进基 X33=4吨 =10-2+4-9>0； =7-2+4-2>0 X34=3吨
第3章+线性规划(运输问题)
如果第一个工厂的生产量小于第一个销售点的需求量， 则先将第一个工厂的全部产品运往第一个销售点，不 足的需求由第二个补足。
18
销地
1
2
3
4 供应量
9 12 9
6
1
40
10
50 10
产
7 2
地
6 3
需求量 40
3
7
7
30
30
5
9 11
30
20
40 60 20
30
30
60 30 50
20
x11,x12,x22,x23,x33,x346个变量构成一个基本初始可行解。 19
1 2 3 … n 供应
1 c11
出2
发 地
c21 …
m cm1
成本 cij
c1n s1 c2n s2 ……
cmn sm
需求 d1
到达地 dn ∑
4
运输问题
引例：设某电视机厂有三个分厂，生产同 一种彩色电视机，供应该厂在市内的四个 门市部销售。已知三个分厂的日生产能力 分别是50，60，50台，四个门市部的日销量 分别为40，40，60，20台。从各个分厂运往 各门市部的运费如下表所示，试安排一个 运费最低的运输计划。
16
平衡运输问题的表上作业法
(一)运输问题初始可行解的获得
西北角法——从西北角的第一格开始安排运输 计划
具体步骤
17
平衡运输问题的表上作业法
具体步骤
取其相应的供应量和需求量中的最小值作为初始 基本可行解的第一个分量
如果第一个工厂的生产量大于第一个销售点的需求， 那么就由第一个工厂全部满足第一个销售点的需要， 工厂商品的剩余部分运八第二个销售点；
18
销地
1
2
3
4 供应量
9 12 9
6
1
40
10
50 10
产
7 2
地
6 3
需求量 40
3
7
7
30
30
5
9 11
30
20
40 60 20
30
30
60 30 50
20
x11,x12,x22,x23,x33,x346个变量构成一个基本初始可行解。 19
1 2 3 … n 供应
1 c11
出2
发 地
c21 …
m cm1
成本 cij
c1n s1 c2n s2 ……
cmn sm
需求 d1
到达地 dn ∑
4
运输问题
引例：设某电视机厂有三个分厂，生产同 一种彩色电视机，供应该厂在市内的四个 门市部销售。已知三个分厂的日生产能力 分别是50，60，50台，四个门市部的日销量 分别为40，40，60，20台。从各个分厂运往 各门市部的运费如下表所示，试安排一个 运费最低的运输计划。
16
平衡运输问题的表上作业法
(一)运输问题初始可行解的获得
西北角法——从西北角的第一格开始安排运输 计划
具体步骤
17
平衡运输问题的表上作业法
具体步骤
取其相应的供应量和需求量中的最小值作为初始 基本可行解的第一个分量
如果第一个工厂的生产量大于第一个销售点的需求， 那么就由第一个工厂全部满足第一个销售点的需要， 工厂商品的剩余部分运八第二个销售点；
管理运筹学讲义 第3章 运输问题
21
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
§3.2.1 初始基本可行解的确定
与一般线性规划问题不同，产销平衡运输问题总是存在 可行解。不难验证
xij ai b j d
≥
0 (i 1,2,, m; j 1,2,, n; d ai b j )
i 1 j 1
m
n
就是模型（3-1）的可行解。又因，目标函数值有下界， 故产销平衡的运输问题必有最优解。
A1、 A2、 A3 ，有四个销售点 B1、 B2、B3、 B4 销售
这种化工产品。各产地的产量、各销地的销量和各
产地运往各销地每吨产品的运费（百元）如下表所
示。
30 石家庄经济学院 管理科学与工程学院
产销平衡表
运价表
销 产
A1 A2
B1
B2
B3
B4
产量 75 40
B1 3 2
B2 8 9
B3 5 4
27
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 3 1 7 3
B2 11 9 4 6
B3 3 2 10 5
B4 10 8 5 6
产量 7 4 9 20 （产销平衡）
问应如何调运，可使得总运输费最小?
28
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
产销平衡表
运价表
销 产 A1 A2 A3 需求
B4 9 8
A3
需求 35 40 55 65
80
195
6
3
7
5
问应如何调运，可使得总运输费最小?
31 石家庄经济学院 管理科学与工程学院
解：用西北角法求初始基本可行解
----第三章 运输问题
3
A2
31
B3
B4
产量
43 3
7
12
4
A3
6
39
销量
3
6
5
6
检验数的经济解释：空格（ A1 , B1） + 1 吨，保持产销平衡
(A1 , B3) - 1 吨，
(A2 , B3) + 1 吨，
(A2 , B1) - 1 吨
检验数=调整方案使运费的改变量
15
(+1)3 + (-1) 3 + (+1)2 + (-1) 1 = 1 (元)
14
①、方法一：闭回路法
每个空格都存在唯一的闭回路---从每一空格出发，用水平 线或垂直线向前划，每碰到一数字格就转 90 度后继续前 进，直到回到起始空格处为止。
例 (A1 , B1) 空格与数字格(A1 , B4) 、 (A2 , B4) 和 (A2 , B1)
表3.12/3.7 B1
B2
A1
ij = cij – ( ui + vj )
18
仍以例3.2所给出的初始基可行解表3.7为例：
第一步：在对应表3.7的数字格处填入单位运价
表3.7/3.14 B1
B2
B3
B4 行位势ui
A1
3
10
0
A2
1
2
-1
A3
4
5
-5
列位势 vj 2
9 3 10
第二步：增加一行和一列，列中填入行位势
ui ，行中填入列位势 vj
存的问题。设 xin+1 是产地 Ai 的贮存量，故有：
n
n1
xij xin1 xij ai (i 1,L , m)
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第3章 运输问题
第1节 运输问题的数学模型 第2节 表上作业法 第3节 产销不平衡的运输问题及其求解
方法 第4节 应用举,i=1,2,…，m。
可供应某种物资，其供应量(产量)分别为
ai，i=1，2，…，m，有n个销地Bj， j=1,2,…,n，其需要量分别为bj， j=1,2,…,n，从Ai到Bj运输单位物资的运 价(单价)为cij，这些数据可汇总于产销平 衡表和单位运价表中，见表3-1，表3-2。
为零。即 Pij=(0,… ,1,0,…,0,1,0,…,0)T=ei+em+j
对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存 在：
n
bj
j 1
m n
i1
xij
j 1
jn1
m
i 1
xij
m
ai
i 1
第2节 表上作业法
• 表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化 方法，其实质是单纯形法。但具体计算和术语有所不 同。可归纳为：
mn
min z cij xij
i 1 j 1
m xij b j j 1,2, , n
i 1
n
s.t. xij aij i 1,2, , m
j 1
xij
0
(3 1) (3 2)
这就是运输问题的数学模型。它包含m×n 个变量，(m+n)个约束方程。其系数矩阵的
结构比较松散，且特殊。
需要量的前提下，使总运费为最少。
解 先作出这问题的产销平衡表和单位运价 表，见表3-3，表3-4
表3-3 单位运价表
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
表3-4 产销平衡表
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
9
销量
有时可把这两表合二为一。
表3-1
销地 产地
1 2┉n
产量
1 2 ┆ m
销量
A1 A2 ┆ Am B1 B2 ┈ BNn
表3-2
销地 产地
1 2 ┆ m
1 2┉n
C11 c12 ┈ c1n C21 c22 ┈ c2n
┇ cm1 cm2 ┈ cmn
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的 条件下，要求得总运费最小的调运方案， 数学模型
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1
u2
um
v1
1
v2 1
vn
1 11
1 1
1
1
1
11 1
1
1
m行
1
n行
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij， 其分量中除第i个和第m+j个为1以外，其余的都
36 5 6
2.1 确定初始基可行解
这与一般线性规划问题不同。 产销平衡的运输问题总是存在可行解。因有
m
n
ai bj d
i 1
j 1
必存在xij≥0，i=1，…，m，j=1，…，n
这就是可行解。又因0≤xij≤min(aj，bj)
故运输问题必存在最优解。
确定初始基可行解的方法很多，有西北角法，最小元 素法和伏格尔(Vogel)法。一般希望的方法是既简便，又 尽可能接近最优解。下面介绍两种方法：
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
3
1
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
第三步：在表3-8未划去的元素中再找出最小运价3；这样 一步步地进行下去，直到单位运价表上的所有元素划去 为止，最后在产销平衡表上得到一个调运方案，见表3-9。 这方案的总运费为86元。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
43 7
A2
3
1
4
A3
6
39
销量
36 56
用最小元素法给出的初始解是运输问题的
基可行解，其理由为：
• (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表 中逐次地挑选最小元素，并比较产量和销量。当产 大于销，划去该元素所在列。当产小于销，划去该 元素所在行。然后在未划去的元素中再找最小元素， 再确定供应关系。这样在产销平衡表上每填入一个 数字，在运价表上就划去一行或一列。表中共有m行 n列，总共可划(n+m)条直线。但当表中只剩一个元 素时，这时当在产销平衡表上填这个数字时，而在 运价表上同时划去一行和一列。此时把单价表上所 有元素都划去了，相应地在产销平衡表上填了(m+n1)个数字。即给出了(m+n-1)个基变量的值。
• (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表上用 西北角法或最小元素法，Vogel法给出m+n-1个数字， 称为数字格。它们就是初始基变量的取值。 。
• (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检 验数，判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止 计算，否则转到下一步。
• (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。 在表上用闭回路法调整。
• 1. 最小元素法
这方法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的 运价开始确定供销关系，然后次小。一直到给出初始基可 行解为止。以例1进行讨论。
第一步：从表3-3中找出最小运价为1，这表示先将A2的产 品供应给B1。因a2＞b1，A2除满足B1的全部需要外，还可多 余1吨产品。在表3-4的(A2，B1)的交叉格处填上3。得表35。并将表3-3的B1列运价划去。得表3-6。
• (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。
例1 某公司经销甲产品。它下设三个加 工厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4 吨，A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四 个销售点。各销售点每日销量为：B1为3吨， B2为6吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工 厂到各销售点的单位产品的运价为表3-3所示。 问该公司应如何调运产品，在满足各销点的
表 3-5 .表3-6
销 地 B1 B2
B3
B4
产
加工厂
量
A1
7
A2
3
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
第二步：在表3-6未划去的元素中再找出最 小运价2，确定A2多余的1吨供应B3，并给出 表3-7，表3-8。
(2) 这(m+n-1)个基变量对应的系数列向量是线 性独立的。证若表中确定的第一个基变量为它对 应的系数列向量为:
Pi1 j1 ei1 em j1
第1节 运输问题的数学模型 第2节 表上作业法 第3节 产销不平衡的运输问题及其求解
方法 第4节 应用举,i=1,2,…，m。
可供应某种物资，其供应量(产量)分别为
ai，i=1，2，…，m，有n个销地Bj， j=1,2,…,n，其需要量分别为bj， j=1,2,…,n，从Ai到Bj运输单位物资的运 价(单价)为cij，这些数据可汇总于产销平 衡表和单位运价表中，见表3-1，表3-2。
为零。即 Pij=(0,… ,1,0,…,0,1,0,…,0)T=ei+em+j
对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存 在：
n
bj
j 1
m n
i1
xij
j 1
jn1
m
i 1
xij
m
ai
i 1
第2节 表上作业法
• 表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化 方法，其实质是单纯形法。但具体计算和术语有所不 同。可归纳为：
mn
min z cij xij
i 1 j 1
m xij b j j 1,2, , n
i 1
n
s.t. xij aij i 1,2, , m
j 1
xij
0
(3 1) (3 2)
这就是运输问题的数学模型。它包含m×n 个变量，(m+n)个约束方程。其系数矩阵的
结构比较松散，且特殊。
需要量的前提下，使总运费为最少。
解 先作出这问题的产销平衡表和单位运价 表，见表3-3，表3-4
表3-3 单位运价表
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
表3-4 产销平衡表
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
9
销量
有时可把这两表合二为一。
表3-1
销地 产地
1 2┉n
产量
1 2 ┆ m
销量
A1 A2 ┆ Am B1 B2 ┈ BNn
表3-2
销地 产地
1 2 ┆ m
1 2┉n
C11 c12 ┈ c1n C21 c22 ┈ c2n
┇ cm1 cm2 ┈ cmn
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的 条件下，要求得总运费最小的调运方案， 数学模型
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1
u2
um
v1
1
v2 1
vn
1 11
1 1
1
1
1
11 1
1
1
m行
1
n行
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij， 其分量中除第i个和第m+j个为1以外，其余的都
36 5 6
2.1 确定初始基可行解
这与一般线性规划问题不同。 产销平衡的运输问题总是存在可行解。因有
m
n
ai bj d
i 1
j 1
必存在xij≥0，i=1，…，m，j=1，…，n
这就是可行解。又因0≤xij≤min(aj，bj)
故运输问题必存在最优解。
确定初始基可行解的方法很多，有西北角法，最小元 素法和伏格尔(Vogel)法。一般希望的方法是既简便，又 尽可能接近最优解。下面介绍两种方法：
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
3
1
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
第三步：在表3-8未划去的元素中再找出最小运价3；这样 一步步地进行下去，直到单位运价表上的所有元素划去 为止，最后在产销平衡表上得到一个调运方案，见表3-9。 这方案的总运费为86元。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
43 7
A2
3
1
4
A3
6
39
销量
36 56
用最小元素法给出的初始解是运输问题的
基可行解，其理由为：
• (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表 中逐次地挑选最小元素，并比较产量和销量。当产 大于销，划去该元素所在列。当产小于销，划去该 元素所在行。然后在未划去的元素中再找最小元素， 再确定供应关系。这样在产销平衡表上每填入一个 数字，在运价表上就划去一行或一列。表中共有m行 n列，总共可划(n+m)条直线。但当表中只剩一个元 素时，这时当在产销平衡表上填这个数字时，而在 运价表上同时划去一行和一列。此时把单价表上所 有元素都划去了，相应地在产销平衡表上填了(m+n1)个数字。即给出了(m+n-1)个基变量的值。
• (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表上用 西北角法或最小元素法，Vogel法给出m+n-1个数字， 称为数字格。它们就是初始基变量的取值。 。
• (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检 验数，判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止 计算，否则转到下一步。
• (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。 在表上用闭回路法调整。
• 1. 最小元素法
这方法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的 运价开始确定供销关系，然后次小。一直到给出初始基可 行解为止。以例1进行讨论。
第一步：从表3-3中找出最小运价为1，这表示先将A2的产 品供应给B1。因a2＞b1，A2除满足B1的全部需要外，还可多 余1吨产品。在表3-4的(A2，B1)的交叉格处填上3。得表35。并将表3-3的B1列运价划去。得表3-6。
• (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。
例1 某公司经销甲产品。它下设三个加 工厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4 吨，A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四 个销售点。各销售点每日销量为：B1为3吨， B2为6吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工 厂到各销售点的单位产品的运价为表3-3所示。 问该公司应如何调运产品，在满足各销点的
表 3-5 .表3-6
销 地 B1 B2
B3
B4
产
加工厂
量
A1
7
A2
3
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
第二步：在表3-6未划去的元素中再找出最 小运价2，确定A2多余的1吨供应B3，并给出 表3-7，表3-8。
(2) 这(m+n-1)个基变量对应的系数列向量是线 性独立的。证若表中确定的第一个基变量为它对 应的系数列向量为:
Pi1 j1 ei1 em j1