第3章运输问题

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有时可把这两表合二为一。
表3-1
销地 产地
1 2┉n
产量
1 2 ┆ m
销量
A1 A2 ┆ Am B1 B2 ┈ BNn
表3-2
销地 产地
1 2 ┆ m
1 2┉n
C11 c12 ┈ c1n C21 c22 ┈ c2n
┇ cm1 cm2 ┈ cmn
若用xij表示从Ai到Bj的运量,那么在产销平衡的 条件下,要求得总运费最小的调运方案, 数学模型
(2) 这(m+n-1)个基变量对应的系数列向量是线 性独立的。证若表中确定的第一个基变量为它对 应的系数列向量为:
Pi1 j1 ei1 em j1
• (4) 重复(2),(3)直到得到最优解为止。
例1 某公司经销甲产品。它下设三个加 工厂。每日的产量分别是:A1为7吨,A2为4 吨,A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四 个销售点。各销售点每日销量为:B1为3吨, B2为6吨,B3为5吨,B4为6吨。已知从各工 厂到各销售点的单位产品的运价为表3-3所示。 问该公司应如何调运产品,在满足各销点的
表 3-5 .表3-6
销 地 B1 B2
B3
B4

加工厂

A1
7
来自百度文库A2
3
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
第二步:在表3-6未划去的元素中再找出最 小运价2,确定A2多余的1吨供应B3,并给出 表3-7,表3-8。
36 5 6
2.1 确定初始基可行解
这与一般线性规划问题不同。 产销平衡的运输问题总是存在可行解。因有
m
n
ai bj d
i 1
j 1
必存在xij≥0,i=1,…,m,j=1,…,n
这就是可行解。又因0≤xij≤min(aj,bj)
故运输问题必存在最优解。
确定初始基可行解的方法很多,有西北角法,最小元 素法和伏格尔(Vogel)法。一般希望的方法是既简便,又 尽可能接近最优解。下面介绍两种方法:
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂

A1
7
A2
3
1
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
第三步:在表3-8未划去的元素中再找出最小运价3;这样 一步步地进行下去,直到单位运价表上的所有元素划去 为止,最后在产销平衡表上得到一个调运方案,见表3-9。 这方案的总运费为86元。
• (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表上用 西北角法或最小元素法,Vogel法给出m+n-1个数字, 称为数字格。它们就是初始基变量的取值。 。
• (2) 求各非基变量的检验数,即在表上计算空格的检 验数,判别是否达到最优解。如已是最优解,则停止 计算,否则转到下一步。
• (3) 确定换入变量和换出变量,找出新的基可行解。 在表上用闭回路法调整。
需要量的前提下,使总运费为最少。
解 先作出这问题的产销平衡表和单位运价 表,见表3-3,表3-4
表3-3 单位运价表
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
表3-4 产销平衡表
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂

A1
7
A2
4
A3
9
销量
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1
u2
um
v1
1
v2 1
vn
1 11
1 1
1
1
1
11 1
1
1
m行
1
n行
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij, 其分量中除第i个和第m+j个为1以外,其余的都
mn
min z cij xij
i 1 j 1
m xij b j j 1,2, , n
i 1
n
s.t. xij aij i 1,2, , m
j 1
xij
0
(3 1) (3 2)
这就是运输问题的数学模型。它包含m×n 个变量,(m+n)个约束方程。其系数矩阵的
结构比较松散,且特殊。
• 1. 最小元素法
这方法的基本思想是就近供应,即从单位运价表中最小的 运价开始确定供销关系,然后次小。一直到给出初始基可 行解为止。以例1进行讨论。
第一步:从表3-3中找出最小运价为1,这表示先将A2的产 品供应给B1。因a2>b1,A2除满足B1的全部需要外,还可多 余1吨产品。在表3-4的(A2,B1)的交叉格处填上3。得表35。并将表3-3的B1列运价划去。得表3-6。
为零。即 Pij=(0,… ,1,0,…,0,1,0,…,0)T=ei+em+j
对产销平衡的运输问题,由于有以下关系式存 在:
n
bj
j 1
m n
i1
xij
j 1
jn1
m
i 1
xij
m
ai
i 1
第2节 表上作业法
• 表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化 方法,其实质是单纯形法。但具体计算和术语有所不 同。可归纳为:
第3章 运输问题
第1节 运输问题的数学模型 第2节 表上作业法 第3节 产销不平衡的运输问题及其求解
方法 第4节 应用举例
第1节 运输问题的数学模型

已知有m个生产地点Ai,i=1,2,…,m。
可供应某种物资,其供应量(产量)分别为
ai,i=1,2,…,m,有n个销地Bj, j=1,2,…,n,其需要量分别为bj, j=1,2,…,n,从Ai到Bj运输单位物资的运 价(单价)为cij,这些数据可汇总于产销平 衡表和单位运价表中,见表3-1,表3-2。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂

A1
43 7
A2
3
1
4
A3
6
39
销量
36 56
用最小元素法给出的初始解是运输问题的
基可行解,其理由为:
• (1) 用最小元素法给出的初始解,是从单位运价表 中逐次地挑选最小元素,并比较产量和销量。当产 大于销,划去该元素所在列。当产小于销,划去该 元素所在行。然后在未划去的元素中再找最小元素, 再确定供应关系。这样在产销平衡表上每填入一个 数字,在运价表上就划去一行或一列。表中共有m行 n列,总共可划(n+m)条直线。但当表中只剩一个元 素时,这时当在产销平衡表上填这个数字时,而在 运价表上同时划去一行和一列。此时把单价表上所 有元素都划去了,相应地在产销平衡表上填了(m+n1)个数字。即给出了(m+n-1)个基变量的值。
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