第3章运输问题

有时可把这两表合二为一。
表3-1
销地 产地
1 2┉n
产量
1 2 ┆ m
销量
A1 A2 ┆ Am B1 B2 ┈ BNn
表3-2
销地 产地
1 2 ┆ m
1 2┉n
C11 c12 ┈ c1n C21 c22 ┈ c2n
┇ cm1 cm2 ┈ cmn
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的 条件下，要求得总运费最小的调运方案， 数学模型
(2) 这(m+n-1)个基变量对应的系数列向量是线 性独立的。证若表中确定的第一个基变量为它对 应的系数列向量为:
Pi1 j1 ei1 em j1
• (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。
例1 某公司经销甲产品。它下设三个加 工厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4 吨，A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四 个销售点。各销售点每日销量为：B1为3吨， B2为6吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工 厂到各销售点的单位产品的运价为表3-3所示。 问该公司应如何调运产品，在满足各销点的
表 3-5 .表3-6
销 地 B1 B2
B3
B4
产
加工厂
量
A1
7
来自百度文库A2
3
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
第二步：在表3-6未划去的元素中再找出最 小运价2，确定A2多余的1吨供应B3，并给出 表3-7，表3-8。
36 5 6
2.1 确定初始基可行解
这与一般线性规划问题不同。 产销平衡的运输问题总是存在可行解。因有
m
n
ai bj d
i 1
j 1
必存在xij≥0，i=1，…，m，j=1，…，n
这就是可行解。又因0≤xij≤min(aj，bj)
故运输问题必存在最优解。
确定初始基可行解的方法很多，有西北角法，最小元 素法和伏格尔(Vogel)法。一般希望的方法是既简便，又 尽可能接近最优解。下面介绍两种方法：
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
3
1
4
A3
9
销量
36 5 6
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 28
A3
7 4 10 5
第三步：在表3-8未划去的元素中再找出最小运价3；这样 一步步地进行下去，直到单位运价表上的所有元素划去 为止，最后在产销平衡表上得到一个调运方案，见表3-9。 这方案的总运费为86元。
• (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表上用 西北角法或最小元素法，Vogel法给出m+n-1个数字， 称为数字格。它们就是初始基变量的取值。 。
• (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检 验数，判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止 计算，否则转到下一步。
• (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。 在表上用闭回路法调整。
需要量的前提下，使总运费为最少。
解 先作出这问题的产销平衡表和单位运价 表，见表3-3，表3-4
表3-3 单位运价表
销 地 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
表3-4 产销平衡表
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
9
销量
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1
u2
um
v1
1
v2 1
vn
1 11
1 1
1
1
1
11 1
1
1
m行
1
n行
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij， 其分量中除第i个和第m+j个为1以外，其余的都
mn
min z cij xij
i 1 j 1
m xij b j j 1,2, , n
i 1
n
s.t. xij aij i 1,2, , m
j 1
xij
0
(3 1) (3 2)
这就是运输问题的数学模型。它包含m×n 个变量，(m+n)个约束方程。其系数矩阵的
结构比较松散，且特殊。
• 1. 最小元素法
这方法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的 运价开始确定供销关系，然后次小。一直到给出初始基可 行解为止。以例1进行讨论。
第一步：从表3-3中找出最小运价为1，这表示先将A2的产 品供应给B1。因a2＞b1，A2除满足B1的全部需要外，还可多 余1吨产品。在表3-4的(A2，B1)的交叉格处填上3。得表35。并将表3-3的B1列运价划去。得表3-6。
为零。即 Pij=(0,… ,1,0,…,0,1,0,…,0)T=ei+em+j
对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存 在：
n
bj
j 1
m n
i1
xij
j 1
jn1
m
i 1
xij
m
ai
i 1
第2节 表上作业法
• 表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化 方法，其实质是单纯形法。但具体计算和术语有所不 同。可归纳为：
第3章 运输问题
第1节 运输问题的数学模型 第2节 表上作业法 第3节 产销不平衡的运输问题及其求解
方法 第4节 应用举例
第1节 运输问题的数学模型
•
已知有m个生产地点Ai,i=1,2,…，m。
可供应某种物资，其供应量(产量)分别为
ai，i=1，2，…，m，有n个销地Bj， j=1,2,…,n，其需要量分别为bj， j=1,2,…,n，从Ai到Bj运输单位物资的运 价(单价)为cij，这些数据可汇总于产销平 衡表和单位运价表中，见表3-1，表3-2。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
43 7
A2
3
1
4
A3
6
39
销量
36 56
用最小元素法给出的初始解是运输问题的
基可行解，其理由为：
• (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表 中逐次地挑选最小元素，并比较产量和销量。当产 大于销，划去该元素所在列。当产小于销，划去该 元素所在行。然后在未划去的元素中再找最小元素， 再确定供应关系。这样在产销平衡表上每填入一个 数字，在运价表上就划去一行或一列。表中共有m行 n列，总共可划(n+m)条直线。但当表中只剩一个元 素时，这时当在产销平衡表上填这个数字时，而在 运价表上同时划去一行和一列。此时把单价表上所 有元素都划去了，相应地在产销平衡表上填了(m+n1)个数字。即给出了(m+n-1)个基变量的值。