第三章 运输问题

5
13
9
6
10
9
7
27
3
6
-11
22
-3
13
6
12
13
13
19
σ31 =c31-c21+ c23-c32=5-8+2-10=-11
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2.非基变量检验数—位势法
该法也称对偶变量法，我们知道一般标准运输问题的对偶问题为：
MaxW a i ui b j v j
2
7
2 8
5
13
9
27
3
＋
6
22 13
-
10
6
6
12
13
13
19
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1.基变换－得新的基解
1 1 6 2 7 3 5 4 3 14
14
8 4 2 7
2
2
5
13
9
12
10 6
27
3
6
22 13 12
13
13
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lk min
ij 0

以xlk和基变量为顶点找一个闭回路，分别标号”+”,””,”+”,”_”；在标号为”-”的最小的运量为调整量，在 闭回路上进行调整，“＋”的加，“-”的减，当存在
xsf为0时，为换出变量，得一新的基可行解，再求检验
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数。
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基在运输表中的表示
1 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 1 2 1 2 3 4
3
1 2 3 4
1
2 3 1 1 2 3
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1
2 3 2 3 4 1 2 3
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1
2
3
4
2.初始基础可行解—西北角法
方法：优先满足运输表中左上角空格的供销要求－
填一个数字只能划去一行或一列
1 1 6 2 3 7 5 4 3
ui
14
14
8
5
5
4 2
7
7
0 2
10
2
8
5
13
9
6
10
9
6
27
3
-13
22
-3
13
6
12
13
13
19
vj
6
2
0
-4
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3.4 基解的调整－闭回路法
与单纯形法一样，如果所有非基变量检验数σij ≥0，则该 基解为最优解，否则不是最优解，需要进行基变换，换入 变量的确定方法一样，设换入变量为σlk ，换出变量为σsf：
由于前m个产地约束和后n个销地约束是线性相关的，因此运 输问题系数矩阵的秩<m+n。可以证明，运输问题系数矩阵的秩为 m+n-1。即运输问题有m+n-1个基变量，mn-(m+n-1)个非基变量 。例如以上问题m=3，n=4，基变量为3＋4－1＝6个，非基变量为 12－6＝6个。
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1 1 6 2 3 7 4 5 3
14
8
5
5
7
2 7
14
2
4
8
5
13
9
6
10 6
27
3 22
6
13 12
13
13
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σ14 =(c14-c34+ c33 - c23 + c21 -c11)=3-6+10-2+8-6=7
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1.非基变量检验数—闭回路法(4)
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2.非基变量检验数—位势法(1)
1 1 6 2 7 3 5 4 3 14
ui
0 2
10
14
8 4 2 7
2
8
5
13
9
6
10 6
27
3 22
6
13 12
13
13
19
vj
6
2
0
-4
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2.非基变量检验数—位势法(2)
1 1 6
2 7
3 5
4 3
行罚数 2 31 14
27
1
2 8 4 2
13
7
2 3 4* 1 14
2
3 5
13
9
12
10 6
19
22 13 12 13
19
列 罚 数
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1
3 *
3
3 *
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3.3 非基变量的检验数
闭回路法 位势法
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表上作业法总结
西北角法
确定初始基础可行解
最小元素法
沃格尔法
求非基变量的检验数 闭回路法 对偶变量法
得到新的基础可行解
确定进基变量
沿闭回路调整运量
确定离基变量
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费的变化。
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1.非基变量检验数—闭回路法(1)
1 1 6 2 3 7 5 4 3 14
14
8
5
2
4
2
7
8
5
13
9
6
10 6
27
3 22
6
13 12
13
13
19
σ12 =c12-c22+c21-c11=7-4+8-6=5
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i=1 m
m
n
j=1,…,n
xij≥0 i=1,…m,j=1,…,n
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1.运输问题的网络图表示
产量
s1=14 产地 1
6 7 5
运价
销地 1
销量
d1=22
s2=27 s3=19 总产量60吨
2
3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2 3
d2=13 d3=12
1 1 6 2 3 7 4 5 3
14
8
5
5
7
2
14
2
4
8
5
13
9
6
10
9
7
27
3 22
6
6
13 12
13
13
19
σ12 =c24-c34+ c33-c23=7-6+10-2=9
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1.非基变量检验数—闭回路法(5)
1 1 6 2 3 7 4 5 3
i 1 j 1 m n
ui v j c ij i 1, , m j 1, , n
Ui,Vj无约束
由LP中σij 的定义： σij =Cij-CBB-1Pij＝ Cij-YPij=Cij-(u1,u2,……,um,v1,v2,……,vn)Pij
= cij-(ui+vj) 对基变量而言： cij=(ui+vj) 由m+n-1个基变量对应m+n-1个线性方程 而LD的变量有m+n个，对偶问题有无穷多解，则可设 其中一个最优解为0，而推导出其他分量。从而求出 非基变量的检验数。
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3.1 运输问题的表示
网络图表示
线性规划模型
运输表
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某种物资从两个供应地A1，A2运往三个需求地B1，B2， B3。各供应地的供应量、各需求地的需求量、每个供应 地到每个需求地每吨物资的运输价格如下表：
运价（元/吨） A1 A2 需求量（吨）
… 产量
B1
B2
Bn
A1 A2
… Am 销量
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C11 C21
… Cm1 b1
C12 C22
… Cm2 b2
… …
… … …
C1n C2n
… Cmn bn
a1 a2
… am
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建模：设xij表示从Ai到Bj的运量，则所求的 数学模型为：
min Ζ=ΣΣ c x ij i=1 j=1 ij n s.t. Σ x =a i=1,…m ij i j=1 Σxij=bj
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1.基变换-确定换入换出变量
1 1 6 2 3 7 4 5 3
14
5
5
7
2
14
2
-
8
4
＋
6
8
5
13
9
9
7
27
3
＋
-11
22
-3
13
-
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6
6
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13
13
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