第三章 运输问题

3.运输问题的表格表示
1 1 6 2 7 x12 8 x21 5 x31 22 x32 13 x22 9 x33 12 4 x23 10 x34 13 x13 2 x24 6 3 5 x14 7 4 3 14
x11
2
27
3
19
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10
3.2 初始基可行解
1 1 6
2 7
3 5
4 3
行罚数 2 31 14
27
1
2 8 4 2
13
7
2 3 4* 1 14
2
3 5
13
9
12
10 6
19
22 13 12 13
19
列 罚 数
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1
3 *
3
3 *
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3.3 非基变量的检验数
闭回路法 位势法
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lk min
ij 0

以xlk和基变量为顶点找一个闭回路，分别标号”+”,””,”+”,”_”；在标号为”-”的最小的运量为调整量，在 闭回路上进行调整，“＋”的加，“-”的减，当存在
xsf为0时，为换出变量，得一新的基可行解，再求检验
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数。
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2
7
2 8
5
13
9
27
3
＋
6
22 13
-
10
6
6
12
13
13
19
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30
1.基变换－得新的基解
1 1 6 2 7 3 5 4 3 14
14
8 4 2 7
2
2
5
13
9
12
10 6
27
3
6
22 13 12
13
13
19
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17
1.非基变量检验数—闭回路法(1)
方法
求非基变量检验数σij,以该变量为定点，其他顶点为基变量找 一个闭回路，从该非基变量定点为“＋”，“－”，“＋”， “－”依次加减其运价，即为检验数。
意义：
以该非基变量充当基变量时单位运量运费的损失。当所有的 σij≥0，则已得运输问题的最有解。即单位物品由i-j引起总运
31
表上作业法总结
西北角法
确定初始基础可行解
最小元素法
沃格尔法
求非基变量的检验数 闭回路法 对偶变量法
得到新的基础可行解
确定进基变量
沿闭回路调整运量
确定离基变量
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4 产销平衡的运输问题
d4=13 总销量60吨
8
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2.运输问题线性规划模型
min z = 6 x11 +7 x12 +5 x13 +3 x14 +8 x21 +4 x22 +2 x23 +7 x24 +5 x31 +9 x32 +10x33 +6 x34 s.t. x11 + x12 + x13 + x14 x21 + x22 + x23 + x24 x31 + x32 + x33 x11 x12 x13 x14 x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 + x21 + x22 + x23 + x24 x24 x31 x32 x33 + x31 + x32 + x33 + x34 x34 + x34 = 14 产 地 = 27 约 = 19 束 = 22 = 13 销 地 = 12 约 = 13 束 ≥ 0
费的变化。
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1.非基变量检验数—闭回路法(1)
1 1 6 2 3 7 5 4 3 14
14
8
5
2
4
2
7
8
5
13
9
6
10 6
27
3 22
6
13 12
13
13
19
σ12 =c12-c22+c21-c11=7-4+8-6=5
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2.非基变量检验数—位势法(1)
1 1 6 2 7 3 5 4 3 14
ui
0 2
10
14
8 4 2 7
2
8
5
13
9
6
10 6
27
3 22
6
13 12
13
13
19
vj
6
2
0
-4
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2.非基变量检验数—位势法(2)
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供应地A1 供应地A2 需求地B1 需求地B2 需求地B3
5
• 运输问题的一般提法：假设有m个生产地点，可以供 应某种物资（以后称为产地），用Ai来表示， i=1,…,m,有n个销地，用Bj来表示，j=1,…,n，产地 的产量和销地的销量分别为ai,bj，从产地Ai到销地Bj 运输一个单位物资的运价为Cij，这些数据可汇总于 下表，在假设产销平衡的条件下，即∑ai= ∑bj，问该 如何调运物品使总运费最小？
1 1 6 2 3 7 4 5 3
14
8
5
5
7
2
14
2
4
8
5
13
9
6
10
9
7
27
3 22
6
6
13 12
13
13
19
σ12 =c24-c34+ c33-c23=7-6+10-2=9
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1.非基变量检验数—闭回路法(5)
1 1 6 2 3 7 4 5 3
… 产量
B1
B2
Bn
A1 A2
… Am 销量
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C11 C21
… Cm1 b1
C12 C22
… Cm2 b2
… …
… … …
C1n C2n
… Cmn bn
a1 a2
… am
6
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建模：设xij表示从Ai到Bj的运量，则所求的 数学模型为：
min Ζ=ΣΣ c x ij i=1 j=1 ij n s.t. Σ x =a i=1,…m ij i j=1 Σxij=bj
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2
3.1 运输问题的表示
网络图表示
线性规划模型
运输表
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3
某种物资从两个供应地A1，A2运往三个需求地B1，B2， B3。各供应地的供应量、各需求地的需求量、每个供应 地到每个需求地每吨物资的运输价格如下表：
运价（元/吨） A1 A2 需求量（吨）
1.非基变量检验数—闭回路法(2)
1 1 6 2 3 7 4 5 3 14
14
8
5
5
2
4
2
7
8
5
13
9
6
10 6
27
3 22
6
13 12
13
13
19
σ13 =c13-c23+c21-c11=5-2+8-6=5
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1.非基变量检验数—闭回路法(3)
1 1 6 2 3 7 5 4 3
ui
14
14
8
5
5
4 2
7
7
0 2
10
2
8
5
13
9
6
10
9
6
27
3
-13
22
-3
13
6
12
13
13
19
vj
6
2
0
-4
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27
3.4 基解的调整－闭回路法
与单纯形法一样，如果所有非基变量检验数σij ≥0，则该 基解为最优解，否则不是最优解，需要进行基变换，换入 变量的确定方法一样，设换入变量为σlk ，换出变量为σsf：
28
1.基变换-确定换入换出变量
1 1 6 2 3 7 4 5 3
14
5
5
7
2
14
2
-
8
4
＋
6
8
5
13
9
9
7
27
3
＋
-11
22
-3
13
-
10
6
6
12
13
13
19
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29
1.基变换－得新的基解
1 1 6 2 7 3 5 4 3 14
14
2
-
8
4
＋
6 12
基在运输表中的表示
1 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 1 2 1 2 3 4
3
1 2 3 4
1
2 3 1 1 2 3
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1
2 3 2 3 4 1 2 3
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1
2
3
4
2.初始基础可行解—西北角法
方法：优先满足运输表中左上角空格的供销要求－
填一个数字只能划去一行或一列
14
8
5
5
7
2
14
2
4
8
5
13
9
6
10
9
7
27
3 22
6
-3
13
6
12
13
13
19
σ32 =c32-c24+ c23-c33=9-4+2-10=-3
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1.非基变量检验数—闭回路法(6)
1 1 6 2 3 7 4 5 3
14
8
5
5
7
2
14
2
4
8
1
8 4 2
13
7
1 0 15 2 0 0
2
2
5
13
9
12
10 6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
27
3
19
22 13 12 13
19
3 2 0
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0
0
0
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15
4.初始基础可行解—沃格尔法
方法：计算出每一行及每一列中单位运价最小和次小的两个元素之间的差值 ，再从差值最大的行或列中找出单位运价最小者，优先满足其供销关系。
第三章 运输问题
3.1 运输问题的表示 3.2 初始基础可行解 3.3 非基变量的检验数
3.4 基解的调整
3.5 运输问题的进一步讨论
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1
本章学习要求
掌握表上作业法及其在产销平衡运输问题求 解中的应用
掌握产销不平衡运输问题的求解方法
2016/10/13
B1 2 4 10
B2 3 7 30
B3 5 8 20
供应量（吨） 35 25 60
求总运费最低的运输方案。
2016/10/13 浙江科技学院经济管理学院管工系 4
运价 （元/吨）
B1
B2
B3
供应量 （吨）
A1
A2 需求量（吨）
2
4 10
3
7 30
5
8 20
35
25 60
2016/10/13
min z=2x11+3x12+5x13+4x21+7x22+8x23 s.t. x11+x12+x13 =35 x21+x22+x23 =25 x11 +x21 =10 x12 +x22 =30 x13 +x23 =20 x11, x12, x13, x21, x22, x23≥0
运输问题基的表示
西北角法
最小元素法
沃格尔法
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11
1.运输问题基的表示
m个产地、n个销地的运输问题，任何一个基要满 足以下三个条件： 基变量的个数为m+n-1； 基变量不能形成闭回路；
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12
i 1 j 1 m n
ui v j c ij i 1, , m j 1, , n
Ui,Vj无约束
由LP中σij 的定义： σij =Cij-CBB-1Pij＝ Cij-YPij=Cij-(u1,u2,……,um,v1,v2,……,vn)Pij
= cij-(ui+vj) 对基变量而言： cij=(ui+vj) 由m+n-1个基变量对应m+n-1个线性方程 而LD的变量有m+n个，对偶问题有无穷多解，则可设 其中一个最优解为0，而推导出其他分量。从而求出 非基变量的检验数。
1 1 6
2 7
3 5
4 3 14
14
8 4 2 7
2
8
5
13
9
6
10 6
27
3 22
6
13 12
13
13
19
2016/10/13
浙江科技学院经济管理学院管工系
14
3.初始基础可行解—最小元素法
方法：按单位运价的大小，决定供应的先后，优先满足单位 运价最小者的供销要求（就近供应）
1 1 6 2 7 3 5 4 3 14
i=1 m
m
n
j=1,…,n
xij≥0 i=1,…m,j=1,…,n
2016/10/13 浙江科技学院经济管理学院管工系 7
1.运输问题的网络图表示
产量
s1=14 产地 1
6 7 5
运价
销地 1
销量
d1=22
s2=27 s3=19 总产量60吨
2
3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2 3
d2=13 d3=12
由于前m个产地约束和后n个销地约束是线性相关的，因此运 输问题系数矩阵的秩<m+n。可以证明，运输问题系数矩阵的秩为 m+n-1。即运输问题有m+n-1个基变量，mn-(m+n-1)个非基变量 。例如以上问题m=3，n=4，基变量为3＋4－1＝6个，非基变量为 12－6＝6个。
2016/10/13 浙江科技学院经济管理学院管工系 9
1 1 6 2 3 7 4 5 3
14
8
5
5
7
2 7
14
2
4
8
5
13
9
6
10 6
27
3 22
6
13 12
13
13
19
σ14 =(c14-c34+ c33 - c23 + c21 -c11)=3-6+10-2+8-6=7
2016/10/13 浙江科技学院经济管理学院管工系 21
1.非基变量检验数—闭回路法(4)
5
13
9
6
10
9
7
27
3
6
-11
22
-3
13
6
12
13
13
19
σ31 =c31-c21+ c23-c32=5-8+2-10=-11
2016/10/13 浙江科技学院经济管理学院管工系 24
2.非基变量检验数—位势法
该法也称对偶变量法，我们知道一般标准运输问题的对偶问题为：
MaxW a i ui b j v j