运筹学 第三章 运输问题

x31 x32 x33 x34 9
x11 x21 x31 3
销量约束
x12 x22 x32 6
20
x13 x23 x33 5
x14 x24 x34 6
xij 0, i 1,2,3; j 1,2,3,4
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二、一般运输问题数学模型
设有m个产地，分别为 A1, A2,...A .m;
因为任意非基向量均可表示为基向量的唯一线性组 合，因此对于任意空格都能够找到、并且只能找到 唯一的一条闭回路。
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3
11
1
9
7
4
3
10
2
8
10
5
3
11
1
9
7
4
3
10
2
8
10
5
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3
11
1
9
7
4
3
10
2
8
10
5
从非基变量 x11出发，找到一个闭回路如上表所示。回路有四个 顶点，除 外x1，1 其余都为基变量。 调整调运量：x11 ，1运费增加了3元； x，13 运1费减少3元
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3
11
3
10
1
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8
7
4
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表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应 的是非基变量（取值为零）.
在求初始基本可行解时要注意的一个问题： 当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情 况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。
4、重复第二、第三步，直至得到最优解。
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一、确定初始基本可行解：
对于有m个产地n个销地的产销平衡问题，有m个关于产量 的约束方程和n个关于销量的约束方程。表面上，共有m+n个 约束方程。
但由于产销平衡，其模型最多只有m+n-1个独立的约束方 程，所以运输问题实际上有m+n-1个基变量。在m×n的产销 平衡表上给出m+n-1个数字格，其相对应的调运量的值即为 基变量的值。
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那么在该例中，应有 3+4-1=6个基变量。
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1.最小元素法
最小元素法的思想是就近供应，即对单位运价最小 的变量分配运输量。
在表上找到单位运价最小的x21，并使x21取尽可能大 的并值，即x21=3,把A1的产量改为1，B1的销量改为0， 把B1列划去。在剩下的3×3矩阵中再找最小运价，同 理可得其他的基本可行解。
x31
x32
x33
x34
于是可建立如下的数学模型：
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目标函数： M i nZ3x1111x123x1310x14
x219x222x238x24
7x314x3210x335x34
约束条件： x11 x12 x13 x14 7
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产量约束
x21 x22 x23 x24 4
表上作业法适用于求解产销平衡的运输问题。（产销不平 衡的问题可转化为平衡问题）
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表上作业法 一般步骤：
1、找出初始基本可行解；
2、检查各非基变量的检验数，是否达到最优性条件，若达到，则得最优 解；否则 转第三步；
3、确定出基变量、进基变量，用闭回路方法进行调整，得到新的基可 行解；
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
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3
11
3
10
1
9
2
8
7
4
10
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二、最优解的判别
判别解的最优性需要：计算检验数。方法有两种
1.闭回路法
闭回路：是在已给出的调运方案的运输表上从一个代表 非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，遇到代表基 变量的填入数字的格可转90度（当然也可以不改变方向） 继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那个空格，由此 形成的封闭折线叫做闭回路。一个空格存在唯一的闭回路。
n 个销地，分别是 B1,B2,..B ..n ；
从产地 A i 运往销地 B j 的单位运价是 c ij ，运量 x ij
s i 是产地A i 的产量；d j 是销地B j 的销量。
则该运输问题的模型如下：
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m
n
Min f
c ij x ij
i1 j1
m
s .t
x ij d j
j 1 ,..., n
i1
n
x ij s i j 1
i 1 ,... m
x ij 0 ,
i 1 ,... m ,
说明：当
m
n
si d j
i1
j 1
j 1 ,.Biblioteka Baidu., n
时，称其为产销平衡的运输问题，
否则产销不平衡。
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说明：从上述模型可以看出：
（1）这是一个线性规划的模型； （2）变量有m×n个； （3）约束条件有 m+n 个； （4）系数矩阵非常稀疏；系数矩阵的秩一般为（m+n-1),
而非m+n 。
若直接用单纯形法求解，显然单纯形表比较庞大，于是在 单纯形法的基础上创建了表上作业法求解运输问题这一特 殊的线性规划问题
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§2 运输问题的表上作业法
从第一节的运输问题的数学模型可知，运输问题实际上 也属于线性规划，但由于运输问题的特殊性（变量个数较多， 系数矩阵的特点），如果用单纯形表格方法迭代，计算量很 大。今天介绍的 “表上作业法”，是针对运输问题的特殊求解 方法，实质还是单纯形法，但减少了计算量。
地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？
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解：从表中可知：总产量 = 总销量。这是一个产销平衡的
运输问题。假设 表x i示j 从产地 运往i销地 的产j
品数量， i1 ,2 ,3 ; 建j 立1 ,2 如,3 下,4表. 格：
x11
x12
x13
x14
x21
x22
x23
x24
运筹学
OPERATIONS RESEARCH
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第三章 运输问题
运输问题的数学模型 表上作业法 产销不平衡的运输问题及应用
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§1 运输问题的典例及数学模型
一、 引例
某公司从三个产地 A，1 A，2 将A 3 产品运往四个销地 ，B 1 B 2
B，3 B，4 各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销