运筹学运输问题分析

最小元素法：
8 2
10 5
另一种方法：
10 8 2
15
5 1
15
5 1
10 5
10 20
20
15
15
15
15
总运费是z=10×8 +5×2+15×1=105
总运费z=10×5 +15×2+5×1=85
表上作业法
2-1=1 10-3=7 1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运 5-4=1 费的差额，并填入该表的最右列和最下行。
7 4 0 0 0 0 4 4 4 2 0 0 6 9 9 9 9 9 0 6 6 3 4 0 0 6 0 2 2 0 6 0 0 3 6 6 0
表上作业法
例3.3 某运输资料如下表所示：
在满足约束条件下尽可能的给最左上角的变量最大值.
销地 产地 B1 B2 4 B3 12 4 B4 11 产量
A1
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
行差额
A1 2 10 3 9
16
0
A2
10
1
8
5
11
6
A3
22
1
14
销量 8 2 14 5 12 1 14 3 48
列差额
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
x22
150
x23
200
300
Min C = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）
已知资料如下：
销 产 地 地
cij为Aij到Bij的单位运价
B1 L Bn
产 量
A1 M Am
销 量
c11 L c1n M 运价 M cm1 L cmn
a1 M am
m n i 1 i ji j
b1
L
bn a b
产销平衡
运输规划问题的数学模型
当产销平衡时，其模型如下：
minZ cij xij
i 1 j 1
m
n
xij ai xij b j x 0 ij
( ai b j )
运输规划问题的数学模型
当产大于销时，其模型如下：
m inZ cij xij
i 1 j 1
m
n
xij ai xij b j x 0 ij
10 × 5
5 6 3
9
1
销量 列差额
表上作业法
单位 运价 产地 销地
B1 B2 B3 B4
3 × 11 × 3 1 5 10 2
产量 7 4
行差额 1 1 1
A1 A2 A3
销量 列差额
3
9
× 2 × 8 1
6 10 × 5 3 6 5 5 6 3
7 × 4
3
9
该方案的总运费: (1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
行差额
A1 2 10 3 9
16
0
A2
10
1
8
5
11
6
A3
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3
22
48
1
列差额
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
运输规划问题的数学模型
特征： 1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解；
2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n－1 个基变量。
运输规划问题的数学模型
运输问题约束条件的系数矩阵
x11 x12 L x1n x21 x22 L x2n L xm1 xm2 L xmn
1 1 1 L 1 O 1 1 L 1 1 O 1 1 O 1 1 O 1 1
B1 3-1=2B2 A1 A2 B3 B4 产量 行差额 7
方法2：Vogel法
3 1 9-4=5 7
3 2
8-5=3 11 9 4
6 5
3 2 10
5 1
10 7 3-2=1 8 5
6 3
4
9
1
1
A3
销量 列差额
表上作业法
2）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和 供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足 时，划去运价表中对应的行或列。 重复1)和2)，直到找出初始解为至。
行差额
A1 2 10 3 9
16
0
A2
8
8 5 11 6
10
1
A3
14
销量 8 2 14 12 1
8
14 3
22
48
1
列差额
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
行差额
A1 2 10
12
3 9
表格中有调运量的地方为基变量，空格处为非基变量。 基变量的检验数σij＝0，非基变量的检验数σij≥0。
σij< 0 表示运费减少， σij> 0 表示运费增加。
表上作业法
闭回路：从空格出发顺时针(或逆时针)画水平(或垂直 )直线，遇到填有运量的方格可转90°，然后继续前进，直 到到达出发的空格所形成的闭合回路。 调运方案的任意空格存在唯一闭回路。 注：1.每一空格有且仅有一条闭回路； 2.如果某数字格有闭回路，则此解不是可行解。
产量 a1 a2 ┇
xm1 b1
xm2 b1
… …
xmn bn
am
运输规划问题的数学模型
运输问题的求解思路
基本可行解 是否最优解
是
结束
否
换基
二、表上作业法
计算步骤：
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表上给出 m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法或伏格尔法）
确定m+n-1个基变量
16
0
A2
8
8 5 11 6
10
1
A3
14
销量 8 14 12 1
8
14 3
22
48
列差额
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
表上作业法
例3.4 某运输资料如下表所示：
销地 产地 B1 4 B2 12 B3 4 B4 11 产量
行差额
A1 2 10
12
3
4
9
16
0
A2
8
8 5 11
2
6
10
1
A3
14
销量 8 14 12
8
14 3
22
48
列差额
所以，初始基可行解为：……目标函数值Z＝244
表上作业法
练习
销地 产地 B1 6 B2 7 B3 5 B4 3 产量
A1
1
8 4 2
13
7
14
A2
2
5
13
9
12
10 6
27
A3
19
22 13 12 13
19
销量
表上作业法
2、 最优解的判别（检验数的求法） 求检验数的方法有两种： 闭回路法 对偶变量法（位势法） （1）闭合回路法： σij≥0 （因为目标函数要求最小化）
B1 A1 6 B2 4 B3 6 产量 200
A2
销量
6
150
5
150
5
200
300
运输规划问题的数学模型
解：产销平衡问题：总产量 = 总销量＝500 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量 表：
B1 A1 x11 B2 x12 B3 x13 产量 200
A2
销量
x21
150
第二步
第三步
表上作业法
例3.2 某运输资料如下表所示：
单位 运价 产地 销地
B1 B2 B3 B4
3 1 7 11 9 4 3 2 10 10 8 5
产量 7 4 9
A1 A2 A3
销量
3
6
5
6
问：应如何调运可使总运输费用最小？ 1、求初始方案：最小元素法、西北角法、伏格尔法
表上作业法
方法1：最小元素法 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调 运），然后次小，直到最后供完为止。
19
6
13 12
13
13
表上作业法
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处 要多花几倍的运费。伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最 小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。因而对差额最大处， 就应当采用最小运费调运。例如下面两种运输方案。
(2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是否达到最优 解。如已是最优解，则停止计算，否则转到下一步。
空格
(3) 对方案进行改善，找出新的调运方案。（表上闭回 路法调整）
(4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
表上作业法
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯 形法。
步骤 第一步 描述 求初始基行可行解（初始调运方案） 求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的 检验数σi j全都非负(求min)时得到最优解，若 存在检验数σi j <0，说明还没有达到最优，转 第三步。 调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运 量进行调整得到新的基可行解，转入第二步 方法 最小元素法、 西北角法、 伏格尔法 闭回路法和位 势法
运输规划问题的数学模型
运输问题的一般形式：产销平衡
A1、 A2、…、 Am 表示某物资的m个产地； B1、B2、…、Bn 表示 某物质的n个销地；ai 表示产地Ai的产量； bj 表示销地Bj 的销量； cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。设 xij 为从产地Ai 运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：
1 1 L 1 1 O
m
n
运输规划问题的数学模型
平衡表、运价表合二为一：
销 产 A1 A2 ┇ B1 c11 x11 c21 x21 ┇ cm Am 销量
1
B2 c12 x12 c22 x22 ┇ cm
2
… … … ┇
Bn c1n x1n c2n x2n ┇ cmn
Chapter3 运输规划
( Transportation Problem )
本章主要内容：
运输规划问题的数学模型
表上作业法 运输问题的应用
运输规划问题的数学模型
例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件 物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最 小？
13
7
14
A2
2
5
13
9
12
10 6
27
A3 销量
19
22 13 12 13
19
表上作业法
（2）西北角法（或左上角法） 此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背景，但 它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。 方法如下：
3
4 2
2 3 5 5 5 5 ห้องสมุดไป่ตู้ 0
3 0 0 0 0 0
6 6 2 0 0 0
B1
A1 A2
B2
B3
B4
产量
7 4
行差额
7 1
A3
销量 列差额
3 1 7
3 2
11 9 4
6 5
3
5
2 10
5 1
10 8 5
6 3
9
1
表上作业法
单位 运价 产地 销地
B1 B2 B3 B4
A1 A2 A3
3 × 11 1 3 9 3 5 10 2 × 8
产量 7 4
行差额 7 7
7
× 4
3 2 6 5
B1 A1 A2 A3 销量 3 B2 B3 B4 产量 7 4 9
3 1 7
11 9 4
4 1
3 2 10
3
10
8 5
3
6
6 5
3
6
总的运输费＝(3×1)+(6×4) +(4×3) +(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元
表上作业法
练习
销地
产地 B1 B2 B3 B4 产量
A1
6
7
5
3
1
8 4 2
8
8 6
16
A2
2
10
3
9
4
5 11 6
10
A3 销量 8
8
8
14 12
14
14
22 48
所以，初始基可行解为：(8,8,4,8,14)目标函数值Z＝372
表上作业法
练习
销地 产地 A1 B1 6 B2 7 B3 5 B4 3 产量
14
8 4 2 7
14
A2
8
5
13
9
6
10 6
27
A3 销量 22
min z c ij x ij
i 1, L , m xij ai j 1 m s.t xij b j j 1, L , n i 1 xij 0, i 1, L , m; j 1, L , n
n
i 1 j 1
m
n
运输规划问题的数学模型
( ai b j )
运输规划问题的数学模型
当产小于销时，其模型如下：
m inZ c ij x ij x ij a i x ij b j ( a i b j ) x 0 ij 并假设：a ij 0, b j 0, c ij 0
分析：
z z0 11 x11 12 x12 21 x21 L mn xmn
若令 则 11 z z0
x11 1, x12 L xmn 0
—运费的增量
表上作业法
以最小元素法的初始解为例。假设产地A1供应1个单位的 物品给销地B1。则解的变化和目标函数的变化如何。