第三章 运输规划--表上作业法
运输问题 表上作业法
A B C 销量（ 销量（bj）
第一步：从表4 中找出最小运价“1”， 第一步：从表4-1中找出最小运价“1”， 最小运 价所确定的供应关系为（ ），在 价所确定的供应关系为（B，甲），在（B，甲） 的交叉格处填上“3”，形成表4 的交叉格处填上“3”，形成表4-2；将运价表的 甲列运价划去得表4 甲列运价划去得表4-3.
8.伏格尔法 8.伏格尔法
伏格尔法的基本步骤： 伏格尔法的基本步骤： 1.计算每行、列两个最小运价的差； 1.计算每行、列两个最小运价的差； 计算每行 2.找出最大差所在的行或列 找出最大差所在的行或列； 2.找出最大差所在的行或列； 3.找出该行或列的最小运价 确定供求关系， 找出该行或列的最小运价， 3.找出该行或列的最小运价，确定供求关系，最大量 的供应 ； 4.划掉已满足要求的行或 4.划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要同时划 去行和列， 去行和列，必须要在该行或列的任意位置填个 0”； “0”； 5.在剩余的运价表中重复1~4步 在剩余的运价表中重复1~4 5.在剩余的运价表中重复1~4步，直到得到初始基可 行解。 行解。
2.表上作业法与单纯形法的关系 2.表上作业法与单纯形法的关系
表上作业法中的最小元素法和伏格尔法实质 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 表上作业法中的“位势法” 表上作业法中的“位势法”实质上是在求单 纯形表中的检验数； 纯形表中的检验数； 调运方案表中数字格的数实质上就是单纯形 法中基变量的值； 法中基变量的值； 调运方案表上的“闭回路法” 调运方案表上的“闭回路法”实质上是在做 单纯形表上的换基迭代。 单纯形表上的换基迭代。
甲 A B C 销量（ 销量（bj） 表4-14 A B C
两最小元素之差
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1 1
1
1
v2 1
vn
1
1
1
1
1
n行
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即
21
2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB-1Pij， i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当 所有的cij−CBB-1Pij≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格 检验数的方法。 1.闭回路法； 2.位势法
22
2.2 最优解的判别
1.闭回路法
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
A2
3
43 7
1
4
A3
6
39
销量
36 56
12
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地
第三章--运输问题
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 11 3 10
7
1928
4
7 4 10 5
9
3
6
5
6
20
A1 A2 A3 A1 0 1 3 A2 1 0 M A3 3 M 0
B1
B2
B3
B4
B1
0142
B2
1021
B3
4203
B4
2130
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 产量 A1 0 1 3 2 1 4 3 3 1 3 10 27
1
A2 1 0 M 3 5 M 2 1 9 2 8 24 A3 3 M 0 1 M 2 3 7 4 10 5 29 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 20 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 20 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 20 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6 20 B1 3 1 7 2 4 1 1 0 1 4 2 20 B2 11 9 4 8 5 8 M 1 0 2 1 20 B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2 0 3 20 B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3 0 20 销量 20 20 20 20 20 20 20 23 2 25 26
– 产地和销地之间虽有直达路线，但直达运输的费用或 运输距离分别比经过某些中转站还要高或远。
运输问题的求解方法
产销平衡表与单位运价表
表上作业法
产销不平衡的运输问题的求解方法
一、产销平衡表与单位运价表
运输问题还可用产销平衡表与单位运价表 进行描述。 假设某种物资有m个生产地点Ai（i=1， 2，…，m），其产量（供应量）分别为ai（i=1， 2，…，m），有n个销地Bj（j=1，2，…，n）， 其销量（需求量）分别为bj（j=1，2，…，n）。 从Ai到Bj运输单位物资的运价（单价）为Cij。将 这些数据汇总可以得到产销平衡表和单位运价 表5.3.1。
P ,P ,P ,P ,P B ik lk ls us uj
而这些向量构成了闭回路见图
位势法
一种较为简便的求检验数的方法。
设 u1, , u2 ,, um ; v1 , v2 ,, vn 是对应运输问题的m+n 个约束条件的对偶变量。B是含有一个人工变量Xa的初始 基矩阵。 Xa在目标函数中的系数Ca ，由线性规划的对 偶理论可知
（1）确定初始调运方案，即找出初始 基可行解,在产销平衡表上给出 m+n-1个数 字格。
（2）求非基变量的检验数，即在表上计算 空格的检验数，判别是否达到最优解：是否存 在负的检验数？如果存在负的检验数，则初始 调运方案不是最优方案；如果所有检验数都非 负，则初始调运方案已经是最优方案了。如果 已经得到最优调运方案，则停止计算，否则转 入下一步。
考虑多余的物资在哪一个产地就地储存的问题。 xi ,n1 设 是产地Ai的储存量，于是有
n n 1 xij xi,n1 xij ai (i 1,2,, m) j 1 m j 1 xij b j ( j 1,2, n) m i 1 m n x i ,n 1 ai b j bn 1 i 1 j 1 i 1
[物流管理]表上作业法
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表上作业法什么是表上作业法表上作业法是指用列表的方法求解线性规划问题中运输模型的计算方法。
是线性规划一种求解方法。
当某些线性规划问题采用图上作业法难以进行直观求解时，就可以将各元素列成相关表，作为初始方案，然后采用检验数来验证这个方案，否则就要采用闭合回路法、位势法等方法进行调整，直至得到满意的结果。
这种列表求解方法就是表上作业法。
表上作业法的步骤1、找出初始基本可行解（初始调运方案，一般m+n-1个数字格），用西北角法、最小元素法；（1）西北角法：从西北角（左上角）格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。
然后按行（列）标下一格的数。
若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。
如此进行下去，直至得到一个基本可行解。
（2）最小元素法：从运价最小的格开始，在格内的右下角标上允许取得的最大数。
然后按运价从小到大顺序填数。
若某行（列）的产量（销量）已满足，则把该行（列）的其他格划去。
如此进行下去，直至得到一个基本可行解。
注:应用西北角法和最小元素法，每次填完数，都只划去一行或一列，只有最后一个元例外（同时划去一行和一列）。
当填上一个数后行、列同时饱和时，也应任意划去一行（列），在保留的列（行）中没被划去的格内标一个0。
2、求出各非基变量的检验数，判别是否达到最优解。
如果是停止计算，否则转入下一步，用位势法计算；运输问题的约束条件共有m+n个，其中：m是产地产量的限制；n是销地销量的限制。
其对偶问题也应有m+n个变量，据此：σij = c ij− (u i + v j) ,其中前m个计为,前n个计为由单纯形法可知，基变量的σij = 0c ij− (u i + v j) = 0因此u i,v j可以求出。
3、改进当前的基本可行解（确定换入、换出变量），用闭合回路法调整；（因为目标函数要求最小化）表格中有调运量的地方为基变量，空格处为非基变量。
基变量的检验数σij = 0，非基变量的检验数。
运筹学-3运输问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是指在给定的供应地和需求地之间，选择最佳的运输方案，使总运输成本最低的问题。
表上作业法是一种常用的解决运输问题的方法，它基于线性规划的思想，通过逐步逼近最优解的方式来求解运输问题。
表上作业法的原理是将运输问题转化为一个线性规划问题，通过构建一个供需平衡表来描述运输问题。
在该表中，将供应地和需求地分别作为行和列，并在表中填入运输量的变量。
同时，引入一个辅助表来记录每个供应地和需求地的运输量。
具体的求解步骤如下：1. 构建供需平衡表：将给定的供应地和需求地以及对应的运输量填入表格中，并计算每个供应地和需求地的供应总量和需求总量。
2. 确定初始基本可行解：根据运输量的限制条件，确定一个初始的基本可行解。
可以选择将某些运输量设置为0，使得每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量。
3. 计算单位运输成本：根据给定的运输成本，计算每个供应地和需求地之间的单位运输成本，填入表格中。
4. 判断最优解条件：检查当前的基本可行解是否满足最优解的条件。
如果每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量，并且没有其他更低成本的运输方案，则当前解为最优解。
5. 迭代改进解：如果当前解不满足最优解的条件，则需要进行迭代改进。
在每一次迭代中，选择一个非基本变量（即非0运输量）进行改变，并计算改变后的基本可行解。
6. 更新供需平衡表和辅助表：根据改变后的基本可行解，更新供需平衡表和辅助表的运输量，并重新计算单位运输成本。
7. 重复步骤4-6，直到找到最优解为止。
通过以上的步骤，表上作业法能够有效地求解运输问题，并得到最优的运输方案。
它在实践中广泛应用于物流管理、供应链优化等领域，为运输问题的决策提供了科学的依据。
表上作业法
第三章 运输问题的解法运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物质调运工作中提出的，后来又有许多其它问题也归结到这一类问题中。
正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯方法求解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特性须用表上作业的方法求解。
§1 运输问题的数学模型及其特性1.1 运输问题的数学模型设有 个地点（称为产地或发地） 的某种物资调至 个地点（称为销地或收地），各个发点需要调出的物资量分别为个单位，各个收点需要调进的物资量分别为 个单位。
已知每个发点到每个收点的物资每单位运价为 ，现问如何调运，才能使总的运费最小。
我们把它列在一张表上（称为运价表）。
设 表示从产地运往销地的运价（ =1，2，…， ； =1，2，…， ）。
表3-1如果（总发量）（总收量），我们有如下线性规划问题：m mA A A ,,,21 n nB B B ,,,21 ma a a ,,,21 nb b b ,,,21 iA jB ijc ijx iA jB i m jn（3.1）（3.1）式称为产销平衡运输问题的数学模型。
当（总发量）（总收量）时。
即当产大于销（）时，其数学模型为（3.2）当销大于产（）时，其数学模型为（3.3）因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题。
所以我们先讨论产销平衡的运输问题的求解。
运输问题有个未知量,个约束方程。
例如当≈40,=70时（3.1）式就有2800个未知量，110个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的。
我们必须寻找特殊解法。
1.2 运输问题的特性∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==≠nj jm i i ba 11∑∑==>nj jm i i ba 11∑∑===mi nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==<nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=≤==∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij mn n m +m n由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一定可以在基可行解中找到。
《运筹学》第三章 运输问题
二、表上作业法
计算步骤：
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法 或伏格尔法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是 否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否 则转到下一步。 空格 (3)对方案进行改善，找出新的调运方案。 （表上闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4
3
6 6
1
3 5 6
9
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4 9
3
6 6
1
-1
3
5
6
B1 A1 A2 A3 销量 3 1 3
B2 2 1 6 6
B3 4 1
B4 3 -1 3
产量 7 4 9
(ui+vj)
－ B2 9 8 4 B3 3 2 -2 B4 10 9 5
A3 －3
σij
B1 ＝ A1 A2 A3 1 0 10 B2 2 1 0 B3 B4 0 0 0 －1 12 0
表中还有负数，说明 还未得到最优解，应 继续调整。 用位势法与用闭回路法 算出的检验数？ 相同
3、解的改进
——闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 上例： min( σ ij 0 ) pq
m
n
系数列向量的结构： A ij ( 0， 0， 0 ，， 0， 0 ) 1， 0 1，
第 i个
第 ( m j )个
第三章运输问题
5
设 xij 为 从 产 地 Ai 运 往 销 地 Bj 的 物 资 数 量 （i=1，…m；j=1，…n），由于从Ai运出的物资 总量应等于Ai的产量ai，因此xij应满足：
x
j 1
n
ij
ai
i 1,2, , m
6
运到Bj的物资总量应该等于Bj的销量bj，所以xij还 应满足：
m
第三章 运输问题
本章包含三部分的内容 运输问题及其数学模型 运输问题的表上作业法 运输问题的进一步研究
1
§1 运输问题及其数学模型
日常生活中，人们经常需要将某些物品由一个空间 位置移动到另一个空间位置，这就产生了运输，如 何判定科学的运输方案，使运输所需的总费用最少， 就是运输问题的模型需要解决的问题。
25
调 运
销地 量 B1
B2 90 150
X12
B3 70 100
X13
产量 200 250
产地
50
A1
X11
A2
销 量
50 80 X21
65
X22
200 75
X23
100
150
200
450
26
注：
能够作为表上作业法的基可行解的必要条件是
1. 基变量的个数为m+n-1个； 2. 在基可行解中不存在以非零元素为顶点的闭回 路。
5. 所有约束条件都是等式约束；
6. 各产地产量之和等于各销地销量之足所有约束条件
2. 基变量对应的约束方程组的系数列向量线性 无关。
3. 解中非零变量的个数≤m+n-1个 4. 为使迭代顺利进行，基变量的个数在进行迭 代过程中保持为m+n-1个 5. 将基可行解中基变量的值填入运输表中，非 基变量对应的格不填入数字，称为空格。
管理运筹学第三章运输问题
供 = 5 应 地 = 2 约 = 3 束 = 2 = 3 需 求 = 1 地 = 4 约 束 ≥ 0
第二节 表上作业法求初始解、 初始值 一、西北角法 （梯形下降）
运价 收点
（元/吨）
B1 B2 B3 B4
4 18 30 0 14 4 4
发量 （吨）
4
0 0 0
发点
A1
2
12 5 20 25
10
015 4 20
4
第二节 表上作业法求初始解、 初始值 初始解： 初始值：
X12=4吨 • S0=4×12+4×10+1×25+6×15 X14=4吨 • +4×14+1×18 X22=1吨 X23=6吨 •=48+40+25+90+56+18 X31=4吨 X32=1吨 • =277元<329元（起点优于西北角法） 变量个数=行数加列数减1 20吨
发量 5 （吨）
3 1 0《产大于需》增加源自5虚拟收点B1 B2 B3 B4 B
2 1
（元/吨）
4
A1 A2 A3
收 量（吨）
2 10 7
0
311
3
2 4
4
3 9 3 2 6 0
0 7 0 5 0 7
0
2
0
3 8
0
5 1
3 0
2 4
0
2
3
4
19
初 始 可 行 解 ： 初 始 值 ： S0=22+41+04+33+92+14 C 23 X11=2吨 +23=45元 C12 X14=1吨 =11-4+9-3>0； = 5-9+2-1=C 25 C13 3 X15=4吨 C 21 X22=3吨 =3-4+2-1=0 C31 ； = 0-0+4-9=5 C 32 C 35 X24=2吨 Cij C25 5； X25 进基 X33=4吨 =10-2+4-9>0； =7-2+4-2>0 X34=3吨
第3章+线性规划(运输问题)
18
销地
1
2
3
4 供应量
9 12 9
6
1
40
10
50 10
产
7 2
地
6 3
需求量 40
3
7
7
30
30
5
9 11
30
20
40 60 20
30
30
60 30 50
20
x11,x12,x22,x23,x33,x346个变量构成一个基本初始可行解。 19
1 2 3 … n 供应
1 c11
出2
发 地
c21 …
m cm1
成本 cij
c1n s1 c2n s2 ……
cmn sm
需求 d1
到达地 dn ∑
4
运输问题
引例：设某电视机厂有三个分厂，生产同 一种彩色电视机，供应该厂在市内的四个 门市部销售。已知三个分厂的日生产能力 分别是50，60，50台，四个门市部的日销量 分别为40，40，60，20台。从各个分厂运往 各门市部的运费如下表所示，试安排一个 运费最低的运输计划。
16
平衡运输问题的表上作业法
(一)运输问题初始可行解的获得
西北角法——从西北角的第一格开始安排运输 计划
具体步骤
17
平衡运输问题的表上作业法
具体步骤
取其相应的供应量和需求量中的最小值作为初始 基本可行解的第一个分量
如果第一个工厂的生产量大于第一个销售点的需求， 那么就由第一个工厂全部满足第一个销售点的需要， 工厂商品的剩余部分运八第二个销售点；
第三章运输问题
第三章运输问题第三章运输问题本章内容重点：●运输问题与有关概念●运输问题的求解—表上作业法●运输问题应⽤—建模第⼀节运输问题模型及有关概念问题的提出：⼀般的运输问题就是要解决把某种产品从若⼲个产地调运到若⼲个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定⼀个使得总的运输费⽤最⼩的⽅案。
例4.1:某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所⽰，问：应如何调运可使总运输费⽤最⼩？解：产销平衡问题：总产量 = 总销量设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：Min f = 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t. x11+ x12 + x13 = 200x21 + x22+ x23 = 300x11 + x21 = 150x12 + x22 = 150x13 + x23 = 200xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）系数矩阵1 1 1 0 0 00 0 0 1 1 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1模型系数矩阵特征1.共有m+n⾏，分别表⽰各产地和销地；m n列，分别表⽰各决策变量；2.每列只有两个 1，其余为 0，分别表⽰只有⼀个产地和⼀个销地被使⽤。
⼀般运输问题的线性规划模型及求解思路：⼀般运输问题的提法：假设 A1, A2,…,Am表⽰某物资的m个产地；B1,B2,…,Bn表⽰某物资的n个销地；si 表⽰产地 Ai的产量；dj表⽰销地 Bj的销量；cij表⽰把物资从产地 Ai运往销地 Bj的单位运价（表4-3）。
如果s1 + s2+ … + sm= d1+ d2+ … + dn则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称产销不平衡。
⾸先讨论产销平衡问题。
表4-3 运输问题数据表设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量，根据这个运输问题的要求，可以建⽴运输变量表（表4-4）。
管理运筹学讲义 第3章 运输问题(6学时)
... 1
其系数列向量的结构是：
A ij (0,..., 0,1, 0,..., 0,1, 0,..., 0) T , 除第i个和第（m j）个分量为 1外，其他分量全等于零。因此，运输问题具有以下特点： 约束条件系数矩阵的元素为0或1； 约束矩阵每一列都有两个非零元素，这对应于每一个变量在 前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方程中出现一次。
Ai
Bj
表 3－ 5
B1 x11 C11 x21
B2 x12 C12 x22 C22 x31 x32 C32 b2
运价表（元/吨） B4 产量
A3
需要量
3 5 4 5
2 3 1 7
6 8 2 8
3 2 9 3
10 8 5 23
解:设xij ( i =1,2,3；j =1,2,3,4)为i个产粮地 运往第j个需求地的运量，这样得到下列运输问题的数 学模型：
Min z = 3x11+ 2x12+ 6x13+ 3x14+ 5x21+ 3x22+ 8x23+ 2x24 + 4x31+ x32+ 2x33+ 9x34 x11 x12 x13 x14 10 x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x x x x 8 21 22 23 24 x13 x23 x33 8 x x x x 5 31 32 33 34 x14 x24 x34 3
下表中填有数字的格为基变量，它们对应的约束 方程组的系数列向量线型无关：
B1
4
B2
12
管理运筹学 第3章 运输问题
运费 销地 单价 产地 A1 A2 销量
B1
B2
B3
产量 (件) 200 300
6 6 150
4 5 150
6 5 200
设xij表示从产地Ai调运到Bj的运输量(i=1,2;j=1,2,3)
Min f=6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+5x22+ 5x23
x11+ x12+ x13=200 x21+ x22+ x23=300 x11+ x21=150 x12+ x22=150 x13+ x23=200 xij ≥0
运输 销地 单价 产地 1 2 3 4 销量
1
2
3
4
D
产量
10.8 M M M 10
10.95 11.10 11.25 11.10 11.25 11.40 M M 15 11.00 11.15 M 25 11.30 20
0 0 0 0 30
25 35 30 10 100 100
练习: 1. 某公司有甲乙丙丁四个分厂生产同一种产 品,产量为300、500、400、100吨,供应6个地区的 需要,需要量分别为300、250、350、200、250,150 吨.由于原料、工艺和技术的差别,各厂每千克产 品的成本分别为1.3元、1.4元、1.35元、1.5元,各 地区销售价分别为2.0、 2.2、1.9、2.1、1.8、2.3 元.已知各厂运往各销售地区每千克运价 如下表, 从上面知销大于产,如果要求第一第二个销地 至 少供应150吨,第五个销地的需求要必须全部满足, 第三、第四,第六个销地只要求供应量不超过 需 求量.试确定 一个运输方案使公司获利最多.
运筹学 第三章 运输问题
1）闭环回路法： 在给出的初始调运方案表上，从每一空格 出发找一条闭环回路，它是以某空格为起点 ，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格 转90°后（回路的转角点必须是一个基变量 ） ，继续前进，直到回到起始空格为止。 从每一空格出发一定存在且只有唯一的闭 环回路。 从空格开始加减闭环各个顶点的运输单价 ，可得每个空格对应的检验数。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 16
销地
B1
产地
A1
A2
3
A3
销量 3
B2 B3
4 1 6
65
B4 产量
37
4
39
6
销地
产地
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
空格 (11) (12) (22) (24) (31) (33)
闭环回路 (11)－(21)－(23)－(13)－(11) (12)－(32)－(34)－(14)－(12) (22)－(32)－(34)－(14)－(13) －(23)－(22) (24)－(14)－(13)－(23)－(24) (31)－(34)－(14)－(13)－(23) －(21)－(31) (33)－(34)－(14)－(13)－(33)
基变量：
X13 U1+V3=C13=3
X14 U1+V4=C14=10
X21 U2+V1=C21=1
1
3 10 U1=0
2
U2=-1
X23 U2+V3=C23=2
4
第3章 运输问题
第三章运输问题一、选择1.运输问题在用表上作业法计算的时候，用闭回路法进行调整检验时，通过任一空格可以找到（ )闭回路A、惟一B、多个C、零个 D 不能确定2.在产销不平衡的运输问题中,如果产大于销，我们（B )把他变成一个产销平衡的运输问题A 假想一个产地B 假想一个销地C 去掉一个产地D 没有办法3。
最小元素法的基本思想就是（ D）。
A依次供应B全面供应 C 选择供应 D就近供应4。
运输问题中在闭回路调整中，使方案中有数字的格为（ C ）。
A mB nC m+nD m+n-15。
在表上作业法中,调运方案中有数字的格为( C )A m+nB m-nC m+n—1D m＊n6。
运输问题的数学模型中，包含有（D)变量.A m+nB m—nC m+n—1D m*n7. 运输问题的数学模型中，包含有（A）个约束条件。
A m+nB m-nC m+n—1D m＊n8. 运输问题的数学模型中,系数矩阵中线性独立的列向量的最大个数为（C )A m+nB m-nC m+n-1D m＊n9. 运输问题的解中的基变量数一般为（C ）A m+nB m-nC m+n—1D m＊n10。
运输问题中，在检验数表上所有检验数都（C ），此时运输表中给出的方案就是最优方案。
A大于零B等于零C大于等于零D小于零11.在产销不平衡的运输问题中，如果销大于产时,可以在产销平衡表上（ A)，把他变成一个产销平衡的运输问题A 假想一个产地B 假想一个销地C 去掉一个产地D 没有办法12。
运输问题数学模型的特点之一是（ )A 一定有最优解B 不一定有最优解C 一定有基可行解D 不一定有基可行解13。
运输问题的数学模型的约束条件的系数矩阵的元素由（）组成。
A 0B1C0，1D 不确定14.二、填空1. 求解不平衡的运输问题的基本思想是（设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式） 。
2。
运输问题中求初始基本可行解的方法通常有 （最小元素法 )、 （伏格尔法 ) 两种方法。
运筹学运输问题表上作业法资料
3
3
10
7
1
9
2
3
1
84
7
4
6
10
5
3
9
36
56
34
31 Z
cij xij 3 4 10 3 1 3 21 4 6 5 3 86
i1 j1
最小元素法的优劣？
也很简单哦
最优解可望，但还 是有一定距离的
32
伏格尔法
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10 7
D
M
0
M 0M 0
根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优方案
需 求 地 区 Ⅰ Ⅰ’ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅳ’
利润
产地
Ⅰ
10 5 6 7 250
Ⅱ
8 2 7 6 250
Ⅲ
9 3 4 8 500
销量 150 200 300 350
“总利润最大”而不是“运费最小”，“最小元素”怎么找？
38
闭回路 法
最优性 检验
位势法
39
最优性检验——闭回路法
表示什么？
每个空格都能找到闭回路 吗？有的话，是否唯一？
运筹学
李细霞 2013物流工程1班 2014~2015学年第二学期
课程主要内容
绪论
线性规划及 单纯形法
对偶理论与 灵敏度分析
目标规划
整数规划
运输问题
动态规划
图与网络
第三章 运输问题
Transportation problem
3
学习目标
什么是运 输问题？
复杂运输 问题
如何解决运 输问题？
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19
2
8
4
1
×
74
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9
1
3
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5
6
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3
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运筹学
表上作业法
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量 列差额
B1 B2 B3 B4 产量
×
3
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7
1 39
2 ×8
4
×
7
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5
3
行差额
7 7 1
2020/7/10
运筹学
表上作业法
单位 销地 运价
表上作业法
B1
B2
B3
B4
Ui
A1
（0） （2）
3
11
3
5
10
2
0
A2
1
3
（2） （1）
9
2
8
1 -2
A3
（9）
7
4
6 （12）
10
5
3 -5
Vj
3
9
3
10
当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最 优方案，如表此时最小总运费： Z =(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元
Chapter3 运输规划
( Transportation Problem )
本章主要内容：
运输规划问题的数学模型 表上作业法 运输问题的应用
2020/7/10
运筹学
运输规划问题的数学模型
• 例3.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三 个销地B1, B2, B3，各产地的产量、各销地的销 量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表 所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
(其中i1 , i2 ,, is；j1 , j2 ,, js互不相同) 为一个闭回路 ，集合中的变量称为回路的顶点，相邻 两个变量的连线为闭回路的边。如下表
2020/7/10
运筹学
表上作业法
• 例下表中闭回路的变量集合是
{x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35, x31}共有8个顶点，这 8个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成一条
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
×
×
3
11
4
1
4
6
7
A2
×
×
7
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4
A3
3
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×
0
1
2
10
6
9
销量
3
6
5
6
20
在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如
选x34
2020/7/10
运筹学
2020/7/10
运筹学
表上作业法
• 表上作业法的计算步骤：
分析实际问题列出产销 平衡表及单位运价表
确定初始调运方案（最 小元素法或Vogel法）
求检验数（位势法）
所有检验数≥0
找出绝对值最大的负检验数，用闭 合回路调整，得到新的调运方案
得到最优方案， 算出总运价
2020/7/10
运筹学
表上作业法
2020/7/10
运筹学
表上作业法
• 表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法， 其实质是单纯形法。
步骤
描述
第一步 求初始基行可行解（初始调运方案）
方法
最小元素法、 元素差额法、
第二步
求检验数并判断是否得到最优解当非基变量
的检验数σij全都非负时得到最优解，若存在 检验数σij <0，说明还没有达到最优，转第三 步。
2020/7/10
运筹学
运输规划问题的数学模型
变化： 1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等； 2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加
入约束条件（等式或不等式约束)； 3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或 销地（产大于销时）。
• 定理: 设有m个产地n个销地且产销平衡的运 输问题，则基变量数为m+n-1。
表上作业法计算中的问题：
（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负， 在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值 得到改善，但通常取σij<0中最小者对应的变量为换入变量。 （2）无穷多最优解
产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的σij＝0，则 该问题有无穷多最优解。
15 15
总运费是z=10×8+5×2+15×1=105
2020/7/10
运筹学
表上作业法
后一种方案考虑到C11与C21之间的差额 是8－2=6，如果不先调运x21，到后来 就有可能x11≠0，这样会使总运费增加
8
5 10 10
2 15 1 5
20
较大，从而先调运x21，再是x22，其次
15
15
是x12
运筹学
运输规划问题的数学模型
• 运输问题的一般形式：产销平衡
A1、 A2、…、 Am 表示某物资的m个产地； B1、B2、…、 Bn 表示某物质的n个销地；ai 表示产地Ai的产量； bj 表示 销地Bj 的销量； cij 表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单 位运价。设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下 列一般运输量问题的模型：
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
2020/7/10
运筹学
运输规划问题的数学模型
• 解：产销平衡问题：总产量 = 总销量＝500 • 设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：
B1
B2
B3
产量
A1
x11
x12
x13
200
A2
x21
x22
x23
2020/7/10
运筹学
表上作业法
第3步 确定换入基的变量
• 当存在非基变量的检验数kl < 0 且kl =min{ij} 时，令Xkl 进基。从表中知可选X24进基。
第4步 确定换出基的变量 以进基变量xik为起点的闭回路中，标有负号的最小运 量作为调整量θ，θ对应的基变量为出基变量，并打上 “×”以示换出作为非基变量。
2020/7/10
运筹学
表上作业法
• 解：第1步 求初始方案
方法1：最小元素法 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调
运），然后次小，直到最后供完为止。
A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
43
3
11
3
10
3
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
1
2
8
6
3
7
4
10
5
3
6
5
6
产量 7 4 9
2020/7/10
运筹学
表上作业法
A1 A2 A3 销量 列差额
B1 3 1 7
3 2
B2 11 9 4
6 5
B3 35
2 10
B4 10 8 5
5
6
1
3
产量 7 4 9
行差额 7 1 1
2020/7/10
运筹学
表上作业法
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量 列差额
B1 B2 B3 B4 产量 行差额
3
11 3 5 10
7
7
×
封闭的回路。
B1 B2 B3
A1 X11 X12
A2
X23
A3 X31
A4
X42 X43
B4 B5
X25 X35
一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须
转90度与另一顶点连接，表3－3中的变量x 32及x33不是 闭回路的顶点，只是连线的交点。
2020/7/10
运筹学
表上作业法
• 闭回路
例如变量组
2020/7/10
运筹学
表上作业法
⑵ 退化解： ※ 表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运
量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保 证有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列 的任意空格处加一个0即可。
※ 利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的 最小运量（超过2个最小值）作为调整量θ，选择任意一个最 小运量对应的基变量作为出基变量，并打上“×”以示作为 非基变量。
第2步 最优解的判别（检验数的求法）
求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用 检验数来判断，记xij的检验数为λij由第一章知，求最小值的 运输问题的最优判别准则是：
所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优 求检验数的方法有两种：
闭回路法 位势法（▲）
2020/7/10
运筹学
表上作业法
• 闭回路的概念
B1
B2
B3
A1
X11
X12
A2
A3
X32
X33
A4
X41
X43
不能构成一条闭回路，但A中包含有闭回路
变量组 2020不/7/10是闭回路，也不含有闭回路；运筹学