3运输问题5842228 854
3运输问题及其解法
m
n
m
（3.1－4）
将后 n 个约束相加，得
∑∑ xij = ∑ b j ,
j =1 i =1 j =1 m n
m
n
（3.1－5）
因为，
（3.1-4）式与（3.1-5）式是相同的．由此可见，这 m + n 个约束 ∑ ai = ∑ b j ,所以，
i =1 j =1
不是独立的．我们可以证明：当所有的 ai , b j 都大于零时，任何 m + n − 1 个约束都是相互独立 的．即，系数矩阵 A 的秩 r ( A) = m + n − 1 ，事实上，
位(称为需求量)， 设 cij (i = 1, 2,L , m, j = 1, 2,L , n) 为由产地 Ai 运往销地 B j 的单位运费， xij 为从 Ai 调往 B j 的物资数量，试问如何调运，求能使总运费最小． 为了清楚起见，通常将上述数据列在一张表上，该表称为运输表(见表3.1-1)．
初看起来，最小元素法十分合理，但是，有时按某一最小单位运价优先安排物品调运时， 却可能导致不得不采用运费很高的其他供销点对，从而使整个运输费用增加．对每一个供应地 或销售地， 均可由它到各销售地或到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和次小单位运价， 并称这两个单位运价之差为该供应地或销售地的罚数．若罚数的值不大，当不能按最小单位运 价安排运输时造成的运费损失不大；反之，如果罚数的值很大，不按最小运价组织运输就会造 成很大损失，故应尽量按最小单位运价安排运输，元素差额法就是基于这种考虑提出来的． 现结合上例说明这种方法： 首先计算运输表中每一行和每一列的次小单位运价和最小单位运价之间的差值，并分别称 之为行罚数和列罚数；将算出的行罚数填入位于运输表右侧行罚数栏的左边第一列的相应格子 中，列罚数填人位于运输表下边列罚数栏的第一行的相应格子中． A1 行中的次小和最小单位运 价分别为8和6，故其行罚数为2， B1 列中次小单位运价和最小单位运价分别为9和8，故其列罚 数为1，如此进行，可计算出 A1 , A2 , A3 的行罚数分别为2，2和4， B1 , B2 , B3 , B4 列的列罚数分别 为1，3，3，2．在这些罚数中最大者为4(在表4.2 - 6中用小圆圈标出)，它位于 A3 行，由于在
运输问题归纳
（4）非基变量检验数等于0时，方案或无穷 多最优解，或有限最优解。 （5）非基变量检验数小于0时，需要对方案 进行调整。调整的方法是：在该闭回路中， 尽可能多的往非基变量位置安排货物。 （6）当有两个以上小于0的检验数时，先调 整检验数最小的非基变量的数量。
பைடு நூலகம்
运输问题归纳
阶段二：概念复习部分
（1）运输问题是线性规划问题的一种特殊形式。 但是其解的形式仅有两种。 惟一最优解，有界最优解（无穷多或有限）。 不可能出现无界解和无可行解的形式。 因为，具有产地和产量，有销地和销量，解一定存 在。 （2）运输问题的初始调运方案中，基变量的个数 等于（m+n-1）个。 （3）由于基变量的检验数均等于0，所以基变量的 检验数等于行位势与列位势之和。同时，非基变 量的检验数等于该单位运价减去行位势与列位势 之和。
运输问题的解决方法
运输问题的解决方法一、问题背景：这类问题的典型提法是，为了把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，已知每个产地的供应量和每个销地的需求量，如何在许多可行的调运方案中，确定一个总运输费或总运输量最少的方案。
有以下输问题题、制，比例。
现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息如表2-2，最后一列指装运后所获得的利润。
表2-2四类装运货物的信息模型假设：1)2)3)后仓.1)x41+x42+x43?12(5)2)三个货舱的重量限制，即x11+x21+x31+x41?10(6)x12+x22+x32+x42?16(7)x13+x23+x33+x43?8(8)3)三个货舱的空间限制，即480x11+650x21+580x31+390x41?6800(9)480x12+650x22+580x32+390x42?8700(10)480x13+650x23+580x33+390x43?5300(11)4)三个货舱装入重量的平衡约束，即5)x11…x43这12个变量都为非负数才有实际意义，即代替，如A=[111000000000;??000111000000;??000000111000;??000000000111;100100100100;010*********;001001001001;48000650005800039000; 04800065000580003900; 00480006500058000390];b=[1815231210168680087005300];lb=zeros(12,1);[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)3.3运行结果：-1.2152e+005exitflag=1output=iterations:8algorithm:'large-scale:interiorpoint'cgiterations:0message:'Optimizationterminated.'lambda=ineqlin:[10x1double]eqlin:[2x1double]upper:[12x1double]lower:[12x1double]实际上，不妨将所得最优解作四舍五入，结果为货物2装入前仓9吨、装入后仓6吨；货物3元.。
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学Chapter-3--运输问题
二、运输问题的数学模型的特点
1.运输问题有有限最优解 对运输问题的数学模型，若令变量 ai b j xij , i 1,2,, m; j 1,2,, n Q 其中： Q ai b j
i 1 j 1 m n
是运输问题的 一个可行解
另外，在运输问题的数学模型中,目标函数是取最小值,它 的值不会趋于无穷大, 在实际问题中也不可能出现这种情况 , 因此,运输问题有有限最优解。 对运输问题数学模型的约束条件进行整理,得其系数矩阵 的结构形式为：
第三章
运输问题
讲四节： 第一节 第二节 运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题
第三节
第四节
2018/11/27
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
1
§3-1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
设某物品有m个产地A1, A2 ,…, Am；各产地的产量
分别是a1,a2,…,am；有n个销地B1, B2,…, Bn。各销地 的销量分别是 b1,b2,…,bn ；假如从产地 Ai(i=1,2,…,m) 向销地Bj( j= 1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij；问怎 样调运这些物品才能使总运费最小？
6 2 5
10 10-8=2 2-2=0 22 8-8=0 22-14=8 48
14-14=0 14
4 1 3 6 该运输问题一个初始可行解为： x13=10, x14=6, x21=8, x23=2, x32=14, x34=8.
1. 最小元素法：
总运费＝ 4×10＋11 ×6＋2 ×8＋3×2＋5 ×14＋6 ×8 ＝ 246 2018/11/27 10
这个问题是一个多产地多销地的单品种物品运输
运筹学--第三章 运输问题
从第i个产地到第j个销地的单位物资运价为cij。
怎样调运这些物品才能使总运费最小？ 上面这些数据通常用产销平衡表5-3和单位运价表5-4来表示。
表3-3 产销平衡表
销地
1
2
…
n
产量 a1 a2 … am
产地
1 2 … m 销量 b1 b2 … bn
运筹学
第三章
运输问题
引入
我们已经讨论了线性规划的一般形式以及求解的方 法。 但是在实际工作中，常常碰到很多线性规划问题，
由于它们的约束条件变量的系数矩阵具有特殊的结
构，有可能找到比单纯形法更为简便的方法求解， 从而可大量节约计算的时间和费用。
运输问题
一、运输问题的实例和数学模型
1、运输问题的实例
x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x13 x23 x33 8 x14 x24 x34 3
xij 0, i 1,2,3；j 1,2,3,4
请大家试着写出约束条件的系数矩阵
运输问题
一、运输问题的实例和数学模型
来看看它的系数矩阵、系数矩阵的秩等有什么特点。
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai j 1 m s.t. xij b j i 1 xij 0
(i 1,...,m) ( j 1,...,n)
这就是运输问题的数学模 型，包含： m×n个变量 m+n个约束条件 约束条件的系数矩阵A有 m+n行m×n列:
m行
n行
(交通运输)运筹学胡运权版第三章运输问题课后习题答案
(交通运输)运筹学胡运权版第三章运输问题课后习题答案P66：8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1，A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r(A)=6.从而基变量的个数为6.二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 1.最小元素法 思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334xx x x x x x x x x x x②②此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6). 总运费为（目标函数值）2.伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。
,821=x ,1432=x ,614=x 246685143228116410=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=②此时得到一个初始调运方案（初始可行解）：x 13=12,x 14=4,x 21=8,x 24=2,x 32=14,x 34=8 其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6)。
第3章 运输问题
第3章 运输问题判断下列说法是否正确：03100011运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之一：有唯一最优解，无穷多最优解，无界解，无可行解； 03100021在运输问题中，只要给出一组含（m ＋N －1）个非零的ij x ，且满足1niji j xa ==∑，1mij j i x b ==∑，就可以作为一个初始基可行解；03100031表上作业法实质就是求解运输问题的单纯形法；03100041按最小元素法（或伏格尔法）给出的初始基可行解，从每一个空格出发可以找出而且仅能找出唯一的闭合回路；03100051运输问题就是指商品的调运问题；03100061产地数与销地数相等的运输问题时产销平衡运输问题； 03100071运输问题的数学模型是线性规划模型。
03100081运输问题中的产地产量之和与销地之和一定相等 03100091运输问题约束方程中独立方程个数少于m+n 个。
简答题03200011试述运输问题数学模型的特征，为什么模型（m ＋n ）个约束中最多只能有（m ＋n －1）个是独立的？03200021、如何把一个产销不平衡的运输问题（含产大于销和销大于产）转化为产销平衡的运输问题？03200031．简述运输问题的特点03200041．试述表上作业法在运输问题的求解中的应用 03200051．“最小元素法”和“伏格尔”法的基本思想及基本操作。
03200061．闭合回路的构成以及利用闭合回路法求检验数的基本操作。
03200071．利用位势法求检验数以及利用闭合回路进行方案调整的基本操03301011 用最小元素法求下列运价及供需表给出的运输问题的初始调运方案。
03301021用最小元素法求下列运价及供需表给出的运输问题的初始调运方案。
03301041 求解下列运输问题的最优解：03301071 应用最小元素法求解初始解的方法解下面的产销不平衡运输模型。
销地1的需求量必须03302011 考虑下列运输问题：（1（2）把问题化为线形规划问题，用单纯形法求解。
第三章 运输问题
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
第3页 页
A1 A2 A3
运输问题的一般提法
现有一批货物, 个供应地运往 个销售地, 现有一批货物 从m个供应地运往 个销售地 个供应地运往n个销售地 Ai ( i=1, ‥‥ )处有货物 j吨，Bj ( j= 1,‥‥ )处需 ‥‥,m 处有货物a ‥‥,n ‥‥ 处 货物bj吨, 已知从Ai到Bj的运价为cij 元/吨. 货物 已知从 运价为 吨 问如何安排，既可以满足各销地需要， 问如何安排，既可以满足各销地需要，又使 总费用最小？ 总费用最小？
5
A3
1 3
3 6 6
2
9
销量
20
第27页 页
2.沃格尔（Vogel）法(差额法) 沃格尔（Vogel） 差额法)
基本思想：优选考虑最大差额（最小运价优势）方案 基本思想：优选考虑最大差额（最小运价优势） 最大差额 差额（罚数） 次小运价系数 最小运价系数 运价系数行（列）差额（罚数）=次小运价系数-最小运价系数
n m ∑ ai = ∑ b j j =1 i =1
产销平衡条件
第11页 页
产销平衡的运输问题的特点与性质 产销平衡的运输问题的特点与性质
1.约束条件都是等式约束 1.约束条件都是等式约束 2.总产量＝ 2.总产量＝总销量 总产量
∑ a = ∑b
i =1 i j =1
第4页 页
运输问题的框图表示
供应量 供应地
运价x 运价 ij
需求地 需求量
a1
A1
B1
b1
a2 ︰ ︰ am
运筹学第七讲运输问题
j1
s.t.
m
xij d j j 1..n
i 1
xij
0,
i
1..m,
j
1..n 6
运筹学第七讲运输问题
2021/3/1
运输问题
它是典型的LP问题，但若用单纯
形法，[等式约束数m+n(但当产销
平衡的时候其中有一个是多余的，
mn
nm
xij ),不等式x约ij 束数0]初始
基可i1行j解1 就显得j1很i难1 求，决策变量
运筹学第七讲运输问题
20
11 2021/3/1
找解 初的 始西 基北 可角 行法
尽量用下标小的（左上角——
西北角优先安排）：
➢x11=min(s1,d1)=d1=3,划去
第一列（B1已满足）,s1←s1-
x11；
➢x12=min(s1-x11,d2)=4,划去
第一行（A1已满足）；…… 12
运筹学第七讲运输问题
➢c21=min(cij)=1,
x21=min(s2,d1)=3划去第一列
（B1已满足）s2←s2-x21；
➢c23=min,x23=min(s2-x21,d3)=1
划去第二行（A2已满足）d3←d3-
x ；…… 运筹学第七讲运输问题
14 2021/3/1
基最可优行的解判是别否
基可行解是否最优的判别
此问题是我国科学家(王元,越
民义等)在1959年前率先研究
讨论的，并获得了：表上作业
法和图上作业法等重要结果。
4
运筹学第七讲运输问题
2021/3/1
运输问题 产地数m=2,
销地数n=3,
销地
运价
B1
管理运筹学 第3章 运输问题
m
s.t.
xij bj ( j 1, 2,L , n)
i 1
xij 0
2.产量小于销量（
m
ai
n
＜
bj ）
i 1
j 1
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai (i 1, 2,L , m)
j 1
m
s.t.
xij bj ( j 1, 2,L , n)
方法:最小元素法,即对单位运价最小的变量先分 配运输量.
例、食品公司有三个生产面包的分厂A1，A2，A3，有四个销 售公司B1，B2，B3，B4，其各分厂每日的产量、各销售公司 每日的销量以及各分厂到各销售公司的单位运价如表所示， 在表中产量与销量的单位为吨，运价的单位为百元/吨。问 该公司应如何调运产品在满足各销点的需求量的前提下总运 费最少？
季度 生产能力(台) 单位成本(万元)
1
25
10.8
2
35
11.1
3
30
11.0
4
10
11.3
解: 设xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机的数目 Cij为第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的 实际成本.
j
i
1
2
3
4
1
10.8 10.95 11.10 11.25
2
11.10 11.25 11.40
25
销量
60 40 20 15
销地 产地
A B C 销量
甲
4 2 8
8
乙
12 10 5
14
丙
4 3 11
第三章--运输问题课件
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1
第一节 运输问题及模型
• 一、产销平衡的运输问题
• （一）数学模型
• 例：某公司有三个加工厂A1、 A2、A3 生产某种产品，每日 的产量分别为7吨、4吨、9吨， 该公司把这些产品分别运往四 个销地B1、B2、B3、B4，各 销售点每日销量分别为3吨、6 吨、5吨、6吨，从各工厂到各
12
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13
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7
• 例题：已知某物资的产量和销量及运价，另外还 假定这些物资在三个产地之间可以互相调运，在 四个销地之间可以互相调运，运价如表所示，另 外再假定还有四个纯中转站，他们到各产地、销 地及中转站之间的运价如表所示，问在考虑到产 销地之间直接运输和非直接转运的各种可能方案 的情况下，怎样将三个产地的物资运往销地总运 费最省。
出ui和 vj • 3）计算空格的检验数
• 3.方案调整
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4
第三节 产销不平衡运输问题
• 1、直达运输问题
• 求解思路：通过增加虚拟点，使产销不平衡问题变为产 销平衡问题，再进行求解。
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5
2、可中转的运输问题
• 1）问题的提出：
• 产地和销地之间没有直达路线，货物从产地到销地必须 通过某中转站转运
• 步骤：
• 1.确定初始调运方案——最小元素法 • 原则：根据运价最低的原则安排运量 • 方法：选择最小运价进行调运，同时划掉被满足的行或列，
但只能划一次，同时标注剩余运量。 • 检验：有数字格的数量=行数+列数-1=划线数量
PPT学习交流
3
• 2.判断方案是否最优——乘数法
管理学第三章运输问题
该公司应如何调运产品,在满足各销售点
的需要量的前提下,使总运费最少.
表3-5信息表
第三章 运输问题
B 1 B 2 B 3 B 4 产量
A1
3 11
3 10 7
A2
19
基于此，采用伏格尔法确定初始基本可行解，仍以例２为例 第一步：在运价表中计算出各行最小运费和次最小运费的差额， 行差额记为ui，i=1,2,…,m；同时求出每列次小运价与最小运价 之差，记为vj，j=1,2,…,n；填入表中的最右列和最下行
第三章 运输问题
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中 的最小运价．即L=max{ui，vi}，差额L对应行或列的最小运
……
m
cm1 cm2 … cmn
第三章 运输问题
【解】设xij为从产地Ai运往销地Bj的物资数 量（i=1，…m；j=1，…n），由于从Ai 运出的物资总量应等于Ai的产量ai，因此 xij应满足：
n
xij ai
j 1
i 1,2, , m
第三章 运输问题
同理，运到Bj的物资总量应该等于Bj的销量bj，所以xij还 应满足：
（4）粮食的运量应大于或等于零（非负要求），即
有些问题表面上与运输问题没有多大关系，其模型的数学 结构与例1运输问题模型形式相同，我们把这类模型都称为 运输模型。
不失一般性.
第三章 运输问题
设有m个产点Ai, i=1,2,…,m. 可供应某种物资, 其供应量(产量)分别为ai , i=1,2,…,m. 有n个 销地Bj , j=1,2,…,n. 其需要量分别为bj, j=1,2,…,n. 从Ai到Bj运输单位物资的运价为
运筹学ch3运输问题ppt课件
Transportation Problem
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 非基变量的检验数 闭回路法、位势法 确定进基变量，调整运量，确定离基变量
08.10.2020
1
一.运输问题的一般提法
人们在从事生产活动中，不可避免地要进行物资调运工作。如 某时期内将生产基地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别运到 需要这些物资的地区，根据各地的生产量和需要量及各地之间 的运输费用，如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。
n
供过于求：即产量大于销量时有ai bj
1
1
这两种情形都 a可 i 以 bj的 化形 为式来
求解
08.10.2020
8
二.运输问题的模型
产销平衡问题模型
m
n
M i n z a i j x i j
1
1
n
x ij a i
i 1,......m
j1
m
x ij b j j 1 , . . . . . . n
1.变量多（mn
1 1
个），但结构
简单。
11
技术系数矩阵
A
=
1
1
1 1 1
08.10.2020
11
1 11
系数矩阵的特点: (1)约束条件的系数矩阵的元素只有两个:0,1. (2)元素 xij 对应于每一个变量在前m个约束方程中(第i个 方程中)出现一次,在后n个约束方程中(第m+j 个方程中) 也出现一次. (3)产销平衡问题为等式约束. (4)产销平衡问题中各产地产量之和与各销售地点的销量 之和相等.
i1
j 1
运筹学章3运输问题(增补)
运输问题通用模型
min z Cij xij , xij 0 xij ai , i 1,...m j 1 m x b , j 1,...n ij j i 1
1个
从运价最小的地方开始运。
求初始解：差额元素法
计算每行、列的最低和次低运价差。 以此作为罚数 罚数意味着，如果不用最低运价，
而用次低运价会遭受的损失。 因此应从罚数最大处起运。
求初始解：差额元素法
B1 B2 B3 B4 供供 B1 B2 B3 B4 行差 A1 A1 3 11 3 10 7 7 0 5 2 A2 A2 1 9 2 8 4 4 1 3 1 A3 2 A3 7 (6) 4 10 (3) 5 9 9 1 6 3 需需 3 3 6 6 5 5 6 6 列差 2 5 1 3
转运问题:示例
A1
3 4
1
A2
5 2
A1 A2 B1 B2 供 无 转运的情形 有 A1 — 1 3 4 a1+t1 B1 A2 1 — B1 B2 a2+t2 5 2 B1 3 A1 — 4 a13 5 3 6 t 6 B2 4 A2 5 2 a24 2 6 — t 销 t1 t2 b1+t3 b2+t4 b1 b2
运输问题
第一节 运输问题的基本理论
运输问题通用模型 决策变量列的特点 表上作业法（重点）
运输问题的实例
某大米销售公司有2个仓库，3个商店。 B1 B2 B32个产地，3 库存 根据3个店的订货需求，供货方已经 个销地。在产 把大米运到了2个仓库。公司希望以 A1 3 4 2 销平衡的条件 10 下，确定最小 最小的总运费把大米运走满足三个 A2 3 5 3 运费运输方案。 4 商店的需求，问应该如何确定运输 方案。数据如表所示： 从仓库A2到商店B2，每吨大米的
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* 位势法的计算过程令u1=0 按ui+vj=cij相继确定其他数字格的ui 和vj 计算空格的检验数。
如λ11=3-(0+2)=1 因为λ11=-1 0,因而该问题至此尚未达到最优解. 销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③④①⑥③③ ui vj 0 3 10 -1 -5 2 9 1 2 1 -1 10 12 * 位势法的理论依据（互补松弛定理） * 位势法的理论依据运输问题设B为一可行基，则相应的基可行解的各变量的检验数为运输问题的对偶问题由对偶理论有Y=CBB-1 基变量的检验数等于0 （I：基变量下标集） * 位势法的步骤对于每一个基变量（数字格）都按照公式 ui+vj=cij 列出一个位势方程，形成位势方程组（m+n－1个）；任意决定其中一个位势的数值，然后求出其他位势的数值；按照公式计算非基变量（空格处）的检验数（m×n-(m+n－1)个）。
* 从最小负检验数所对应的空格进行调整例7 对由最小元素法得出的初始解进行调整调整方法： 1）找出负检验数所在空格处的闭回路 2）在闭回<a name=baidusnap0></a>路上</B>找到偶数点所对应的基变量的最小值再按调整后的解由位势法计算空格的检验数四、调整销地产地 B1 B2 B3 B4 A13 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 74 105 ③④①⑥③③ 1 2 1 -1 10 12 ⑤①② x23 x14 x24 x13 3）以此最小值θ为调整量，在奇数格加上该调整量，在偶数格上减去该调整量换入变量：x24 换出变量：x23 * 1.由最小元素法求得初始基可行解五、典型运输问题解题步骤示例销地产地 B1 B2 B3 B4 ai A1 3 11 3 10 7 A2 1 9 2 8 4 A3 7 4 10 5 9 bj 3 6 5 6 20 ③④①⑥③③ * 2.由位势法求检验数令u1=0 按ui+vj=cij相继确定其他数字格的ui和vj 计算空格的检验数因为λ24=-1 0,因而该问题至此尚未达到最优解. 销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③④①⑥③③ ui vj 0 3 10 -1 -5 2 9 1 2 1 -1 10 12 如λ11=3-(0+2)=1 * 3.从最小负检验数所对应的空格进行调整调整方法： 1）找出闭回路 2）使最小负检验数所对应的空格达到最大的调整量1 销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③④①⑥③③ 1 2 1 -1 10 12 ⑤①② * 令u1=0 按ui+vj=cij相继确定其他数字格的ui和vj 计算空格的检验数。
如λ11=3-(3+0)=0 因为所有的λij≥0,至此该问题已经达到最优解. 4.再按调整后的解由位势法计算空格的检验数销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③⑤①⑥③②ui vj 0 3 10 -2 -5 3 9 0 2 2 9 12 1 * 表上作业法的步骤：（1）编制调运表（产销平衡表、单位运价表）（2）在调运表上求出初始基可行解（3）用位势法或闭回路法计算非基变量的检验数，若所有非基变量的检验数均大于等于0，则已得到问题的最优解（4）选取小于0的检验数中的最小者所对应的非基变量作为进基变量，用闭回路法进行基可行解的转换，得到新的基可行解，转入步骤（3）。
* 可能出现的几种情况（1）无穷多最优解某一个非基变量（空格处）的检验数为0；以（1,1）为调入格左闭回路（1,1）―（1,4）―（2,4）―（2,1）－（1,1），调整量?=2 销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③⑤①⑥③② 0 2 2 9 12 1 * 7 4 10 5 8 10 1 3 9 11 2 3 A3 A2 A1 B4 B3 B2 B1 销地产地①⑤③⑥③ 2 2 9 12 1 ② 0 * 可能出现的几种情况（2）退化同时划去一行和一列；同时有两个或两个以上的偶数顶点数字格具有最小值，这时只能选择其中一个作为调入格，经过调整后，得到退化解。
这时另一个数字格必须填入一个0，表明它是基变量。
销地产地 B1 B2 B3 B4 ai A1 3 11 4 5 7 A2 7 7 3 8 4 A3 1 2 10 6 9 bj 3 6 5 6 20 ⑥③ * 练习：下表是一运输问题的表格，其中右上角数字是单位运价，圆圈内是运量。
B1 B2 B3 B4 产量 A1 ② 6 3 ① 2 ② 5 5 A2 7 5 8 ② 4 2 A3 3 ③ 2 5 7 3 需求量 2 3 1 4 (1)上表所给方案是否为该问题的可行解，是否为该问题的基本可行解，为什么？ (2) 上述方案是否是该问题最优解？若不是，如何用表上作业法继续迭代？ * 一、原理第三节产销不平衡的运输问题 * 证明： * 结论： 1. 运输问题有可行解产销平衡 2. 运输问题有可行解运输问题有最优解3. 运输问题有最优解产销平衡 * 二、产销不平衡问题的处理销地产地 1 2 … n n+1 1 2 … m a1 a2 … am 销量b1 b2 … bn bn+1 * 产量约束销量约束 m+n+1个约束条件 m×(n+1)个决策变量 * 二、产销不平衡问题的处理销地产地 1 2 …n 1 2 … m m+1 a1 a2 … am am+1 销量 b1 b2 … bn * 产量约束销量约束 m+n+1个约束条件 (m+1)×n个决策变量 * 例8 求下面运输问题的最优解这是一个产大于销的运输问题，增加一个假想的销售地，可以将其转化为产销平衡问题。
销地产地甲乙丙丁戊产量 1 2 3 4 10 2 1 8 20 10 20 6 5 8 7 3 9 30 10 7 10 6 4 5 5 6 2 9 销量 4 4 6 2 4 * 假设“己”的虚拟销量为2，各实际产地到其的运费为0。
如下表所示：用表上作业法可以求出最优解。
销地产地甲乙丙丁戊己产量 1 2 3 4 10 2 1 8 20 10 20 6 5 8 7 3 9 30 10 7 10 6 4 5 0 0 0 0 5 6 2 9 销量 4 4 6 2 4 2 22 注：某列单位运价为0，应该最后考虑 * 例9 产销不平衡问题（书P90例2）在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂D，年产量为50万吨；将需求分两种情况的地区，实际按两个地区看待。
需求地区化肥厂 I II III IV 产量（万吨）A B C 16 14 19 13 13 20 22 19 23 17 15 -- 50 60 50 最低需求（万吨）最高需求（万吨） 30 50 70 70 0 30 10 60 160 [110,210] * 这样可将该问题化为产销平衡问题：需求地区化肥厂 I’ I’’ II III IV’ IV’’产量（万吨） A B C D 16 14 19 M 16 14 19 0 13 13 20 M 22 19 23 0 17 15 M M 17 15 M 0 50 60 50 50 销量（万吨） 30 20 70 30 10 50 210 * 根据表上作业法计算，可得该问题的最优方案，如下表：需求地区化肥厂 I’ I’’ II III IV’ IV’’产量（万吨） A B C D 30 20 50 20 0 30 10 30 20 50 60 50 50 销量（万吨） 30 20 70 30 10 50 210 * 第四节应用举例例10 （书P92例3） * 设ai表示第i季度的生产能力，bj表示第j季度的合同供应量，建立数学模型表示为： j i I II III IV I II III IV 10.8 10.95 11.10 11.10 11.25 11.00 11.25 11.40 11.15 11.30 设cij为第i季度生产的用于第j季度交货的柴油机的单位实际成本，等于该季度的单位生产成本加上存储、维护等费用。
* 这是一个产大于销的运输问题，增加一个假想的需求D，将问题转化为产销平衡的运输问题。
如下表：销产 I II III IV 产量 I II III IV 10.8 M M M 10.95 11.10 M M 11.10 11.25 11.00 M 11.25 11.40 11.15 11.30 25 35 30 10 销量 10 15 25 20 100 D 0 0 0 0 30 * 用表上作业法求解可得多个最优解，下表给出了其中一个最优解（单位：台）按此方案生产，总费用为773万元。
销产 I II III IV D 产量 I II III IV 10 15 5 20 10 10 30 25 35 30 10 销量 10 15 25 20 30 100 第I季度生产25台，其中有15台用于第II季度的合同；第II季度生产5台，全部用于第III 季度的合同；第III季度生产30台，其中有10台用于第IV季度的合同；第IV季度生产10台。
* 练习：有三个工厂B1、B2、B3，它们需要同一种原料，现有三个产地A1、A2、A3可供应该原料，运用表上作业法求解最小的调运方案，某步的运算表如下，其中方框中的数字是运量，括号中的数字是单位运输费用：产地工厂 B1 B2 B3 生产量 A1 ③ 3 5 7 3 A2 ② 4 ④2 4 6 A3 5 ① 6 ⑤ 3 d 需求量 a b c （1）求a、b、c、d的值；（2）上述方案是否是该问题最优解？若不是，运用表上作业法求出最优调运方案。
（3）A3到B1的运费满足什么条件，使得（2）中求出的最优解保持不变。
* 第三章运输问题本章主要内容：运输问题的数学模型运输问题的求解―表上作业法运输问题应用―建模 * 第一节运输问题的数学模型一、数学模型例1 销地产地 B1 B2 B3 ai A1 6 4 6 200 A2 6 5 5 300 bj 150 150 200 500 产地：货物发出的地点销地：货物接收的地点产量：各产地的可供货量销量：各销地的货物需求量运输问题就是研究如何组织调运，既满足各销售地的需求，又使得总运费最小。
* 二、运输问题的一般数学模型设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，cij表示对应的单位运费令a1, a2, …, am表示各产地产量, b1, b2, …, bn表示各销地的销量有m个地区生产某种物资，有n个地区需要该类物资产销平衡表单位运价表销地产地 1 2 … n 1 2 … m a1 a2 … am 销量 b1 b2 … bn 销地产地 1 2 … n 1 2 … m c11c12 … c1n c21 c22 … c2n …... cm1 cm2 … cmn *。