吉林省实验中学高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

2015-2016学年吉林省实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（）
A．B．C．D．
2．命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为（）
A．∃x0∈N，x02+2x0≤3B．∀x∈N，x2+2x≤3
C．∃x0∈N，x02+2x0＜3 D．∀x∈N，x2+2x＜3
3．如果（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a0+a1+…+a7的值等于（）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2
4．若命题p：，命题q：x2＜2x，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）
A．70种B．80种C．100种D．140种
6．有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②∀x∈R，x4＞x2；
③命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是：所有能被2整除的整数都不是偶数其中正确命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．圆C1；x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2；x2+y2﹣4x+4y﹣8=0的位置关系是（）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
8．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+5y的取值范围是（）
A．[3，+∞）B．[﹣8，3] C．（﹣∞，9] D．[﹣8，9]
9．某小说共有三册，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为（）
A．B．C．D．
10．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）
A．B．C．D．
11．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．216
12．已知点P为双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右
焦点，且|F1F2|=，I为三角形PF1F2的内心，若S=S+λS△成立，则λ的值为（）
A．B． C．D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为．14．已知椭圆x2+2y2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度为．
15．（x2+）5的展开式中的常数项为（用数字作答）．
16．已知点A（4，4）在抛物线y2=px（p＞0）上，该抛物线的焦点为F，过点A作直线l：的垂线，垂足为M，则∠M AF的平分线所在直线的方程为．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
18．已知命题p：c2＜c，和命题q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．
19．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，点A（3，5）．
（1）求过点A的圆的切线方程；
（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．
20．从1到9的九个数字中任取三个偶数四个奇数，问：
（Ⅰ）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（Ⅱ）上述七位数中三个偶数排在一起的概率？
（Ⅲ）在（Ⅰ）中任意两偶数都不相邻的概率？
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD 为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．
（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．
（2）求B点到平面PCD的距离．
（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．已知抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：（a＞0，b＞0）有公共焦点F2，点A是
曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）以双曲线C2的另一焦点F1为圆心的圆M与直线y=相切，圆N：（x﹣2）2+y2=1．过点P（1，）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设l1被圆M截得的弦长
为s，l2被圆N截得的弦长为t，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
2015-2016学年吉林省实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（）
A．B．C．D．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】函数思想；综合法；直线与圆．
【分析】设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ．由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1，可得tanθ=﹣，即可得出．
【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ．
由直线x+y﹣1=0化为y=﹣x+1，
∴tanθ=﹣，
∵θ∈[0，π），∴θ=．
故选：C．
【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2．命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为（）
A．∃x0∈N，x02+2x0≤3B．∀x∈N，x2+2x≤3
C．∃x0∈N，x02+2x0＜3 D．∀x∈N，x2+2x＜3
【考点】命题的否定．
【专题】计算题；规律型；转化思想；简易逻辑．
【分析】直接利用特称命题的否定是求出命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为：∀x∈N，x2+2x＜3．故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，是基础题．
3．如果（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a0+a1+…+a7的值等于（）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；二项式定理．
【分析】利用赋值法求解即可．
【解答】解：（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，
当x=1时，a0+a1+…+a7=（1﹣2）7=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力．
4．若命题p：，命题q：x2＜2x，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】求解不等式得出相应的解集，利用充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：∵，
∴0＜x＜1，
∵x2＜2x，
∴0＜x＜2
∵{x|0＜x＜1}⊊{x|0＜x＜2}
∴根据充分必要条件的定义可判断得出：命题p是q的充分必要条件
故选：A
【点评】本题考查了充分必要条件的定义，关键转化为集合的关系判断即可，求解不等式，属于中档题，难度不大．
5．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）
A．70种B．80种C．100种D．140种
【考点】分步乘法计数原理．
【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=5×6=30种，
两男一女，有C52C41=10×4=40种，共计70种
间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，
都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84﹣10﹣4=70种．
故选A
【点评】直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法．
6．有三个命题：
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②∀x∈R，x4＞x2；
③命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是：所有能被2整除的整数都不是偶数其中正确命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；规律型；解题思想；转化思想；简易逻辑．
【分析】利用直线与平面的位置关系判断①的正误，特例判断②的正误；命题的否定判断③的正误．
【解答】解：对于①垂直于同一个平面的两条直线平行，满足直线与平面垂直的性质，所以①正确．
对于②∀x∈R，x4＞x2，当x=0，不等式不成立，所以②不正确；
对于③命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是：所有能被2整除的整数都不是偶数，不满足命题的命题的否定形式，所以③不正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，直线与平面的位置关系，全称命题与命题否定的应用，是基础题．
7．圆C1；x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2；x2+y2﹣4x+4y﹣8=0的位置关系是（）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距等于5，大于半径之和，可得两个圆关系．
【解答】解：由于圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，即（x+1）2+（y+4）2=25，表示以C1（﹣1，﹣4）为圆心，
半径等于5的圆．
圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣8=0，即（x﹣2）2+（y+2）2=16，表示以C2（2，﹣2）为圆心，半径等于4的圆．
由于两圆的圆心距等于=，大于半径之差，小于半径和，故
两个圆相交．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，圆的标准方程的求法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．
8．若变量x，y满足约束条件，则z=3x+5y的取值范围是（）
A．[3，+∞）B．[﹣8，3] C．（﹣∞，9] D．[﹣8，9]
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题．
【分析】先做出不等式组表示的平面区域，然后分析目标函数中z的几何意义，结合图象即可求解
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示
由z=3x+5y，则可得y=，则z表示直线z=3x+5y在y轴上的截距，截距越大，z
越大
结合图象可知，当z=3x+5y经过点A时，z最小，当z=3x+5y经过点，C时，z最大
由可得C（3，0），此时z=9
由可得A（﹣1，﹣1），此时z=﹣8
∴﹣8≤z≤9
故选D
【点评】本题主要考查了线性规划在求解目标函数中的最值中的应用，解题的关键是明确目标函数的几何意义
9．某小说共有三册，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】先根据全排列求出总的事件种数，再找到满足条件的种树，根据概率公式计算即可．【解答】解：三册书任意排放在书架的同一层上，共有A33=6种，其中各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册为2种，
故各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为=，
故选：B．
【点评】本题考查了古典概型概率问题，以及排列组合的问题，属于基础题．
10．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上
一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x=上一点
∴
∴
故选C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．
11．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．216
【考点】计数原理的应用．
【专题】应用题；排列组合．
【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，
由此可得结论．
【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，
故所求的取法共有﹣4﹣=189种．
故选：C．
【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．
12．已知点P为双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右
焦点，且|F1F2|=，I为三角形PF1F2的内心，若S=S+λS△成立，则λ的值为（）
A．B． C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设△PF1F2的内切圆半径为r，由|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，用△PF1F2的边长和r 表示出等式中的
三角形的面积，解此等式求出λ．
【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，
由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，
S△IPF1 =|PF1|•r，S△IPF2=|PF2|•r，S△IF1F2=•2c•r=cr，
由题意得：|PF1|•r=|PF2|•r+λcr，
故λ==，
∵|F1F2|=，
∴=
∴
∴=
故选D．
【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质，考查三角形面积的计算，考查利用待定系数法求出参数的值．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为假．
【考点】四种命题．
【专题】简易逻辑．
【分析】首先对原命题的逆命题的真假进行判断，由于逆命题与否命题是等价命题，所以通过判断逆命题的真假来判断结论．
【解答】解：命题“若∠C=90°，则△ABC是直角三角形”，
逆命题为：若△ABC是直角三角形，则∠C=90°．为假命题．
由于否命题于逆命题是等价命题．
所以：命题的否命题为假命题．
故答案为：假
【点评】本题考查的知识要点：四种命题的相互转换与命题真假的判断．属于基础题型．14．已知椭圆x2+2y2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度为．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设弦的两端的端点为（a，b）和（2﹣a，2﹣b），列方程组
得两端点的坐标，由此可知弦长．
【解答】解：设弦的两端的端点为（a，b）和（2﹣a，2﹣b）
列方程组
解得a=1+，b=1﹣或a=1﹣，b=1+
两端点的坐标为（1﹣，1+）和（1+，1﹣）
弦长为=．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．
15．（x2+）5的展开式中的常数项为10 （用数字作答）．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【解答】解：（x2+）5的展开式中的通项公式为 T r+1=•x10﹣2r•x﹣3r=•x10﹣5r．
令10﹣5r=0，解得 r=2，∴展开式中的常数项为=10，
故答案为 10．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
16．已知点A（4，4）在抛物线y2=px（p＞0）上，该抛物线的焦点为F，过点A作直线l：的垂线，垂足为M，则∠MAF的平分线所在直线的方程为x﹣2y+4=0 ．
【考点】抛物线的简单性质；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先求出抛物线方程，再抛物线的定义可得|AF|=|AM|，所以∠MAF的平分线所在直线就是线段MF的垂直平分线，从而可得结论．
【解答】解：∵点A（4，4）在抛物线y2=px（p＞0）上，∴16=4p，∴p=4
∴抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，M（﹣1，4）
由抛物线的定义可得|AF|=|AM|，所以∠MAF的平分线所在直线就是线段MF的垂直平分线
∵=﹣2，
∴∠MAF的平分线所在直线的方程为y﹣4=（x﹣4），即x﹣2y+4=0
故答案为：x﹣2y+4=0
【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】先设抛物线的标准方程，把点M代入抛物线方程求得m和p的关系，根据M到焦点的距离求得m和p的另一个关系式，联立方程求得m和p．
【解答】解：设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0）点F（﹣，0）由题意可得
，解之得或，
故所求的抛物线方程为y2=﹣8x，m的值为±2
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，考查了对抛物线基础知识的理解和应用．
18．已知命题p：c2＜c，和命题q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】先化简两个命题，当p是真命题，且q是假命题时，求得实数c的取值范围；当p 是假命题，且q是真命题时，求得实数c的取值范围．再把这两个实数c的取值范围取并集，即得所求．
【解答】解：由命题p为真命题，可得c2＜c，解得 0＜c＜1．
由命题q为真命题，可得△=16c2﹣4＜0，解得﹣＜c＜．
∵pⅤq为真，p∧q为假，故p和 q一个为真命题，另一个为假命题．
若p是真命题，且q是假命题，可得≤c＜1．
若p是假命题，且q是真命题，可得﹣＜c≤0．
综上可得，所求的实数c的取值范围为[，1）∪（﹣，0]．
【点评】本题主要考查复合命题的真假，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
19．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，点A（3，5）．
（1）求过点A的圆的切线方程；
（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．
【考点】圆的切线方程．
【专题】直线与圆．
【分析】（1）先把圆转化为标准方程求出圆心和半径，再设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，然后可得切线方程．
（2）先求OA的长度，再求直线AO 的方程，再求C到OA的距离，然后求出三角形AOC的面积．
【解答】解：（1）因为圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0⇒（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．
所以圆心为（2，3），半径为1．
当切线的斜率存在时，
设切线的斜率为k，则切线方程为kx﹣y﹣3k+5=0，
所以=1，
所以k=，所以切线方程为：3x﹣4y+11=0；
而点（3，5）在圆外，所以过点（3，5）做圆的切线应有两条，
当切线的斜率不存在时，
另一条切线方程为：x=3．
（2）|AO|==，
经过A点的直线l的方程为：5x﹣3y=0，
故d=，
故S=d|AO|=
【点评】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离公式，是基础题．
20．从1到9的九个数字中任取三个偶数四个奇数，问：
（Ⅰ）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（Ⅱ）上述七位数中三个偶数排在一起的概率？
（Ⅲ）在（Ⅰ）中任意两偶数都不相邻的概率？
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】由题意意利用排列组合的只知识，古典概率及其计算公式，求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，没有重复数字的七位数的个数为••=100800．（Ⅱ）上述七位数中三个偶数排在一起的概率为=．
（Ⅲ）在（Ⅰ）中任意两偶数都不相邻的概率=．
【点评】本题主要考查排列组合的只知识，古典概率及其计算公式，属于基础题．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD 为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．
（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．
（2）求B点到平面PCD的距离．
（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的
值；若不存在，请说明理由．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．
【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）先证明直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直，可得PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，确定平面POC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线PB与平面POC所成角的余弦值．
（2）求出平面PDC的法向量，利用距离公式，可求B点到平面PCD的距离．
（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1），求出平面CAQ的法向量、平面CAD的法向量=（0，0，1），根据二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，利用向量是夹角公式，即可求得结论．
【解答】解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，
又侧面PA D⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；
所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．
则P（0，0，1），A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；所以，易证：OA⊥平面POC，
所以，平面POC的法向量，
所以PB与平面POC所成角的余弦值为…．
（2），设平面PDC的法向量为，
则，取z=1得
B点到平面PCD的距离…．
（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1）
因为=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．
设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，
所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），
平面CAD的法向量=（0，0，1），
因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，
所以=，
所以3λ2﹣10λ+3=0．
所以λ=或λ=3（舍去），
所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题主要考查直线与平面的位置关系、直线与平面所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．
22．已知抛物线C1：y2=8x与双曲线C2：（a＞0，b＞0）有公共焦点F2，点A是
曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）以双曲线C2的另一焦点F1为圆心的圆M与直线y=相切，圆N：（x﹣2）2+y2=1．过点P（1，）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设l1被圆M截得的弦长
为s，l2被圆N截得的弦长为t，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，
请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由已知条件推导出双曲线C2的焦点为F1（﹣2，0）、F2（2，0），且|AF2|=5，|AF1|=7，点A在双曲线C2上，由此能求出双曲线C2的方程．
（2）为定值．由已知条件求出设圆M的方程为M：（x+2）2+y2=3，设l1的方程为kx﹣y+
﹣k=0，设l2的方程为x+ky﹣k﹣1=0，由此利用点到直线的距离公式和弦长公式能求出证明为定值．
【解答】解：（1）∵抛物线的焦点为F2（2，0），
∴双曲线C2的焦点为F1（﹣2，0）、F2（2，0），…
设A（x0，y0）在抛物线上，且|AF2|=5，
由抛物线的定义得，x0+2=5，
∴x0=3，∴，∴，…
∴|AF1|==7，…
又∵点A在双曲线C2上，由双曲线定义得：
2a=|7﹣5|=2，∴a=1，∴双曲线C2的方程为：．…
（2）为定值．下面给出说明．
设圆M的方程为：（x+1）2+y2=r2，
∵圆M与直线y=x相切，
∴圆M的半径为r=，
∴圆M：（x+2）2+y2=3．…
当直线j1的斜率不存在时不符合题意，…
设l1的方程为y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y+﹣k=0，
设l2的方程为y﹣=﹣（x﹣1），即x+ky﹣k﹣1=0，
∴点F1到直线l1的距离为，
点F2到直线l2的距离为，…
∴直线l1被圆M截得的弦长：
S=2=2，…
直线l2被圆N截得的弦长t=2=2，…
∴=
==，
∴为定值．…
【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查两数的比值为定值的判断与证明，解题时要注意点到直线的距离公式和弦长公式的合理运用．。