2020年湖南省邵阳市中考数学试卷(含答案解析)

2020年湖南省邵阳市中考数学试卷
副标题
题号一二三总分得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.2020的倒数是()
A. −2020
B. 2020
C. 1
2020D. −1
2020
2.下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是()
A. B. C. D.
3.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权
的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长14.4%.其中，3450亿元用科学记数法表示为()
A. 3.45×1010元
B. 3.45×109元
C. 3.45×108元
D. 3.45×1011元
4.设方程x2−3x+2=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为()
A. 3
B. −3
2C. 3
2
D. −2
5.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象过点(2,3)，把正比例函数y=kx(k≠0)的图
象平移，使它过点(1,−1)，则平移后的函数图象大致是()
A. B.
C. D.
6.下列计算正确的是()
A. 5√3+√18=8√3
B. (−2a2b)3=−6a2b3
C. (a−b)2=a2−b2
D. a2−4
a+b ⋅a+b
a+2
=a−2
7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个
条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是()
A. AE=CF
B. ∠AEB=∠CFD
C. ∠EAB=∠FCD
D. BE=DF
8.已知a+b>0，ab>0，则在如图所示的平面直角坐标系
中，小手盖住的点的坐标可能是()
A. (a,b)
B. (−a,b)
C. (−a,−b)
D. (a,−b)
9.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案
的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果)，他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为()
A. 6m2
B. 7m2
C. 8m2
D. 9m2
10.将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：
(1)将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，
(2)将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．
若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是()
A. 135°
B. 120°
C. 112.5°
D. 115°
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.因式分解：2x2−18=______．
(k≠0)的图象上，
12.如图，已知点A在反比例函数y=k
x
过点A作AB⊥y轴于点B，△OAB的面积是2.则k的值
是______．
13.据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有一名
学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间(单位：小时)：
甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看，______学生每周接受送教的时间更稳定．(填“甲”或“乙”)
14.如图，线段AB=10cm，用尺规作图法按如下步骤
作图．
AB；
(1)过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC=1
2
(2)连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；
(3)以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D.即点D为线段AB的黄金分割点．则
线段AD的长度约为______cm.(结果保留两位小数，参考数据：√2=1.414，√3=
1.732，√5=
2.236)
15.在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个
空格的实数之积为______．
3√22√3
16
3√2
16.中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只
云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为______．
17.如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中
国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图(如图②)，则该圆锥的母线长AB为______．
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=√2，过点C作CF//AB，以AB为
边作菱形ABEF，若∠F=30°，则Rt△ABC的面积为______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
)−1+|−1+√3|−2sin60°．
19.计算：(−1)2020+(1
2
20.已知：|m−1|+√n+2=0，
(1)求m，n的值；
(2)先化简，再求值：m(m−3n)+(m+2n)2−4n2．
21.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，
以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD=∠C．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AC=4，求⊙O的半径．
22.2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程--邵阳资
水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置
的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，100m，200m.若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度(结果保留根号)．
23.“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了
解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查(问卷调查表如图所示)，并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图(均不完整)，请根据统计图解答以下问题：
(1)本次接受问卷调查的学生共有______人；
(2)请补全图①中的条形统计图；
(3)图②中，D选项所对应的扇形圆心角为______度；
(4)若该校共有1500名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用
网络学习时间在C选项的有多少人？
24.2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，
小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元．
(1)求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？
(2)小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B
型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
25.已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF与正方形ABCD的一角重合，连接
AF，CE，点M是CE的中点，连接DM．
(1)请你猜想AF与DM的数量关系是______．
(2)如图②，把正方形ABCD绕着点D顺时针旋转α角(0°<α<90°)．
①AF与DM的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(温
馨提示：延长DM到点N，使MN=DM，连接CN)
②求证：AF⊥DM；
③若旋转角α=45°，且∠EDM=2∠MDC，求AD
的值．(可不写过程，直接写出结
ED
果)
26.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C(8,0)，
x+c(a≠0)过B，C两点，动点M从点D B(0,6)，CD=5，抛物线y=ax2−15
4
开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点D的坐标；
(3)当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
(4)过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A′，求A′Q+QN+DN的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
=1
【解析】解：∵2020×1
2020
∴2020的倒数是1
，
2020
故选：C．
根据倒数的定义求解即可
本题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；
C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．
本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，则3450亿=345000000000=3.45×1011．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
本题主要考查利用科学记数法表示较大的数的方法，掌握科学记数法的表示方法是解答本题的关键，这里还需要注意n的取值．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．
本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．
【解答】
解：由x2−3x+2=0可知，其二次项系数a=1，一次项系数b=−3，
由根与系数的关系：x1+x2=−b
a =−(−3)
1
=3，
故选A．
5.【答案】D
【解析】解：把点(2,3)代入y=kx(k≠0)得2k=3，
解得k=3
2
，
∴正比例函数解析式为y=3
2
x，
设正比例函数平移后函数解析式为y=3
2
x+b，
把点(1,−1)代入y=3
2x+b得3
2
+b=−1，
∴b=−5
2
，
∴平移后函数解析式为y=3
2x−5
2
，
故函数图象大致为：
．
故选：D．
先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点(1,−1)求出一次函数解析式，即可求解．本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数解析式是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A．5√3+√18=5√3+3√2，故A选项错误；
B.(−2a2b)3=(−2)3(a2)3b3=−8a6b3，故B选项错误；
C.(a−b)2=a2−2ab+b2，故C选项错误；
D.a2−4
a+b ⋅a+b
a+2
=(a+2)(a−2)
a+b
⋅a+b
a+2
=a−2，故D选项正确．
故选：D．
分别运用二次根式、整式和分式的运算法则逐项排除即可．
本题考查了二次根式、整式和分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
A.若添加AE=CF，则无法证明△ABE≌△CDF，故选项A符合题意；
B.若添加∠AEB=∠CFD，运用AAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项B不符合题意；
C.若添加∠EAB=∠FCD，运用ASA可以证明△ABE≌△CDF，故选项C不符合题意；
D.若添加BE=DF，运用SAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项D不符合题意．
故选：A．
根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】B
【解析】解：∵a+b>0，ab>0，∴a>0，b>0．
A、(a,b)在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B、(−a,b)在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
C、(−a,−b)在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D、(a,−b)在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
故选：B．
因为ab>0，所以a、b同号，又a+b>0，所以a>0，b>0，观察图形判断出小手盖住的点在第二象限，然后解答即可．
本题考查了点的象限的判断，熟练判断a，b的正负是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：x
，
20
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
=0.35，解得x=7．
综上有：x
20
故选：B．
本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高
10.【答案】C
【解析】解：∵折叠，且
∠P1MA=90°，
∴∠DMP1=∠DMA=
45°，即∠ADM=45°，
∵折叠，
∴∠MDP1=∠ADP=
∠ADM=22.5°，
∠PDM=1
2
∴在△DP1M中，∠DP1M=180°−45°−22.5°=112.5°，
故选：C．
由折叠前后对应角相等且∠P1MA=90°可先求出∠DMP1=∠DMA=45°，进一步求出∠ADM=45°，再由折叠可求出∠MDP1=∠ADP=∠PDM=22.5°，最后在△DP1M中由三角形内角和定理即可求解．
此题主要考查了平行线的性质，本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．
11.【答案】2(x +3)(x −3)
【解析】解：2x 2−18=2(x 2−9)=2(x +3)(x −3)， 故答案为：2(x +3)(x −3)．
提公因式2，再运用平方差公式因式分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】4
【解析】解：设点A 的坐标为(x A ,y A )，AB ⊥y ， 由题意可知：S △OAB =1
2OB ⋅AB =1
2y A ⋅x A =2， ∴y A ⋅x A =4，
又点A 在反比例函数图象上， 故有k =x A ⋅y A =4． 故答案为：4．
根据△OAB 的面积等于2，即可得到线段OB 与线段AB 的乘积，进而得到A 点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出k 值．
本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键．
13.【答案】甲
【解析】解：甲的“送教上门”时间的平均数为：7+8+8+9+7+8+8+9+7+9
10
=8，
乙的“送教上门”时间的平均数为：
6+8+7+7+8+9+10+7+9+9
10
=8，
甲的方差：S 甲2
=3×(7−8)2+4×(8−8)2+3×(9−8)2
10
=3
5
，
乙的方差：S 乙
2=(6−8)2+3×(7−8)2+2×(8−8)2+3×(9−8)2+(10−8)2
10
=7
5
， 因为35<7
5，
所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定． 故答案为：甲．
先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定．
本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义：方差越小，数据的密集度越高，波动幅度越小是解题的关键．
14.【答案】6.18
AB=5cm，AE=AD，【解析】解：由作图得△ABC为直角三角形，CE=BC=1
2
∴AC=√AB2+BC2=√102+52=5√5cm，
∴AE=AC−CE=5√5−5=5(√5−1)cm，
∴AD=AE=5(√5−1)≈6.18cm．
故答案为：6.18．
AB=5cm，AE=AD，根据勾股定理求根据作图得△ABC为直角三角形，CE=BC=1
2
出AC，再求出AE，即可求出AD．
本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键．15.【答案】6√2
【解析】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：3√2×2×√3=6√6，
设第二行中间数为x，则1×x×6=6√6，解得x=√6，
设第三行第一个数为y，则y×3×√2=6√6，解得y=2√3，
∴2个空格的实数之积为xy=2√18=6√2．
故答案为：6√2．
先将表格中最上一行的3个数相乘得到6√6，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是6√6，即可求解．
本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
16.【答案】x(x+12)=864
【解析】解：∵矩形的宽为x，且宽比长少12，
∴矩形的长为(x+12)．
依题意，得：x(x+12)=864．
故答案为：x(x+12)=864．
由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为(x+12)，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】13
【解析】解：∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长=10π，
∴OB=10π
2π
=5，
在Rt△AOB中，AB=√AO2+BO2=√122+52=13，
所以该圆锥的母线长AB为13．
故答案为：13．
由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长．
本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式．
18.【答案】1
2
【解析】解：如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，
∴AB=BE=√2，
又∵∠ABE=30°
∴在RT△BHE中，EH=√2
2
，
根据题意，AB//CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE=CG=√2
2
，
∴Rt△ABC的面积为1
2×√2×√2
2
=1
2
．
故答案为：1
2
．
先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边
是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积．
19.【答案】解：原式=1+2+(√3−1)−2×√3
2
=1+2+√3−1−√3
=2．
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键．
20.【答案】解：(1)根据非负数得：m−1=0且n+2=0，
解得：m=1，n=−2，
(2)原式=m2−3mn+m2+4mn+4n2−4n2=2m2+mn，
当m=1，n=−2，原式=2×1+1×(−2)=0．
【解析】(1)m=1，n=−2；
(2)2m2+mn；0．
本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键．21.【答案】(1)证明：如图：连接OA，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB，
∵AB=AC，
∴∠OBA=∠C，
∴∠OAB=∠C，
∵∠CAD=∠C，
∴∠OAB=∠CAD，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠OAC=∠BAD−∠OAB+∠CAD=90°，
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：由(1)可知AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，∠AOD=2∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AOC+∠C=2∠B+∠C=3∠C=90°，∴∠B=∠C=30°，
在Rt△ABD中，BD=AB
cosB =4
cos30∘
=8√3
3
，
∴OB=4√3
3
，
∴⊙O的半径为4√3
3
．
【解析】(1)连接OA，由圆的性质可得OA=OB，即∠OBA=∠OAB；再由AB=AC，即∠OBA=∠C，再结合∠CAD=∠C，可得∠OAB=∠CAD，然后由∠BAD=90°说明∠OAC=90°即可完成证明；
(2)根据等腰三角形的性质和圆的性质即可得到结论．
本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定和性质，证得∠OAC=90°是解答本题的关键．
22.【答案】解：根据题意知，四边形AA1B1O和
四边形BB1C1B2均为矩形，
∴OB1=AA1=62m，B2C1=BB1=100m，
∴BO=BB1−OB1=100−62=38m，CB2=
CC1−B2C1=200−100=100m，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠BAO=30°，BO=
38m，
∴AB=2BO=2×38=76m；
在Rt△CBB2中，∠CB2B=90°，∠CBB2=45°，CB2=100m，
∴BC=√2CB2=100√2m，
∴AB+BC=(76+100√2)m，
即管道AB和BC的总长度为：(76+100√2)m．
【解析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度．
23.【答案】100 18
【解析】解：(1)15÷15%=100(人)．
故答案为：100；
(2)如图，选B的人数：100−40−15−5=40(人)．
条形图补充如下：
=18o．
(3)图②中，D选项所对应的扇形圆心角为：360o×5
100
故答案为：18；
(4)1500×40
=600(人)．
100
故估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在C选项的有600人．
(1)根据选A的有50人，占15%，从而求得本次接受问卷调查的学生总数；
(2)根据各组人数之和等于数据总数求得选B的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
(3)用360°乘以D选项所占百分比可得所对应扇形圆心角的度数；
(4)利用样本估计总体，用1500乘以样本中学习时间在C选项的人数所占的百分比即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
24.【答案】解：(1)设A型风扇进货的单价是x元，B型风扇进货的单价是y元，
依题意，得：{2x +5y =100
3x +2y =62，
解得：{x =10
y =16
．
答：A 型风扇进货的单价是10元，B 型风扇进货的单价是16元； (2)设购进A 型风扇m 台，则购进B 型风扇(100−m)台， 依题意，得：{m ≤3(100−m)
10m +16(100−m)≤1170，
解得：712
3≤m ≤75， 又∵m 为正整数，
∴m 可以取72、73、74、75，
∴小丹共有4种进货方案，方案1：购进A 型风扇72台，B 型风扇28台；方案2：购进A 型风扇73台，B 型风扇27台；方案3：购进A 型风扇74台，B 型风扇26台；方案4：购进A 型风扇75台，B 型风扇25台．
【解析】(1)设A 型风扇进货的单价是x 元，B 型风扇进货的单价是y 元，根据“2台A 型风扇和5台B 型风扇进价共100元，3台A 型风扇和2台B 型风扇进价共62元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进A 型风扇m 台，则购进B 型风扇(100−m)台，根据“购进A 型风扇不超过B 型风扇数量的3倍，购进A 、B 两种风扇的总金额不超过1170元”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数即可得出各进货方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25.【答案】AF =2DM
【解析】解：(1)猜想AF 与DM 的数量关系是AF =2DM ， 理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD =AD ，∠ADC =90°， 在△ADF 和△CDE 中， {AD =CD
∠ADF =∠CDE DF =DE
， ∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴AF=CE，
∵M是CE的中点，
∴CE=2DM，
∴AF=2DM，
故答案为：AF=2DM；
(2)①AF=2DM仍然成立，
理由如下：延长DM到点N，使MN=DM，连接CN，∵M是CE中点，
∴CM=EM，
又∠CMN=∠EMD，
∴△MNC≌△MDE(SAS)，
∴CN=DE=DF，∠MNC=∠MDE，
∴CN//DE，
又AD//BC
∴∠NCB=∠EDA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠BCD=90°=∠EDF，
∴∠ADF=∠DCN，
∴△ADF≌△DCN(SAS)，
∴AF=DN，
∴AF=2DM；
②∵△ADF≌△DCN，
∴∠NDC=∠FAD，
∵∠CDA=90°，
∴∠NDC+∠NDA=90°，
∴∠FAD+∠NDA=90°，
∴AF⊥DM；
③∵α=45°，
∴∠EDC=90°−45°=45°∵∠EDM=2∠MDC，
∠EDC=30°，
∴∠EDM=2
3
∴∠AFD=30°，
过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG=90°−45°=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
设AG=k，则DG=k，AD=AG÷sin45°=√2k，
FG=AG÷tan30°=√3k，
∴FD=ED=√3k−k，
故AD
ED =√2k
√3k−k
=√6+√2
2
．
(1)根据题意合理猜想即可；
(2)①延长DM到点N，使MN=DM，连接CN，先证明△MNC≌△MDE，再证明△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；
②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；
③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设AG=k，得到DG，AD，FG，ED的长，故可求解．
此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与性质及三角函数的运用．
26.【答案】解：(1)将C(8,0)，B(0,6)代入y=ax2−15
4x+c，得{64a−
15
4
×8+c=0
c=6
，
解得{a=3
8
c=6
，
∴抛物线的解析式为：y=3
8x2−15
4
x+6；
(2)如答图1，作DE⊥x于点E，
∵C(8,0)，B(0,6)，
∴OC=8，OB=6．
∴BC=10．
∵∠BOC=∠BCD=∠DEC，∴△BOC～△CED．
∴BC
CD =BO
CE
=OC
DE
．
∴CE=3，DE=4．
∴OE=OC+CE=11．
∴D(11,4)．
(3)若点M在DA上运动时，DM=5t，ON=4t，
当△BON～△CDM，则BO
CD =ON
DM
，即6
5
=4t
5t
不成立，舍去；
当△BON～△MDC，则BO
MD =ON
DC
，即6
5t
=4t
5
，解得：t=√6
2
；
若点M在BC上运动时，CM=25−5t．
当△BON～△MCD，则BO
MC =ON
CD
，即6
25−5t
=ON
5
，
∴ON=6
5−t
．
当3<t≤4时，ON=16−4t．
∴6
5−t
=16−4t，
解得t=9±√7
2
(舍去)．
当4<t≤5时，ON=4t−16
∴6
5−t
=4t−16，无解；
当△BON～△DCM，则BO
DC =ON
CM
，即6
5
=ON
25−5t
，
∴ON =30−6t ；
当3<t ≤4时，ON =16−4t ，
∴30−6t =16−4t ，
解得t =7(舍去)；
当4<t ≤5时，ON =4t −16，
∴30−6t =4t −16，
解得t =235．
综上所示：当t =√62时，△BON ～△MDC ；t =23
5时，△BON ～△DCM ；
(4)如答图2，作点D 关于x 轴的对称点F ，连接QF 交x 轴于点N ，
∵点D(11,4)，
∴点F(11,−4)．
由y =38x 2−15
4x +6得对称轴为x =5， ∴点Q(5,4)．
∴QF =√(5−11)2+(4+4)2=10BQ =√(0−5)2+(6−4)2=√29．
∴A′Q +QN +DN =BQ −BA′+QF =√29−5+10=√29+5．
故A ′Q +QN +DN 的最小值为√29+5．
【解析】(1)将C(8,0)，B(0,6)代入y =ax 2−15
4x +c 计算即可；
(2)作DE ⊥x 于点E ，证明△BOC ～△CED ，可得CE ，DE 长度，进而得到点D 的坐标；
(3)分为点M 在AD ，BC 上两种情况讨论，当点M 在AD 上时，分为△BON ～△CDM 和△BON ～△MDC 两种情况讨论；当点M 在BC 上时，分为△BON ～△MCD 和△BON ～△DCM 两种情况讨论；
(4)作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得QN+DN的最小值；连接BQ减去BA′可得A′Q的最小值，综上可得A′Q+QN+DN的最小值．
本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短路径问题的计算，熟知以上知识的应用是解题的关键．。