异面直线距离的向量公式法推导

异面直线距离的向量公式法推导
两条不平行的直线可以确定一个平面，我们可以利用该平面来求解异
面直线的距离。

在推导异面直线距离的向量公式前，我们先来回顾一下向
量的基本概念和运算法则。

向量是具有大小和方向的量，通常用箭头上的字母表示。

向量可以通
过坐标表示也可以使用定点表示。

两个向量之间可以进行加法、减法、数
乘等运算。

设两条异面直线分别为L1和L2,并设相应的参数方程为：
L1:X=a1+t1m1,Y=b1+t1n1,Z=c1+t1p1
L2:X=a2+t2m2,Y=b2+t2n2,Z=c2+t2p2
其中（a1,b1,c1）和（a2,b2,c2）为两条直线上已知的点，
（m1,n1,p1）和（m2,n2,p2）为方向向量。

想要求解异面直线的距离，我们需要找到两条直线上的两个点，使得
连接这两个点的向量和两条直线的方向向量垂直。

选择L1上的一点P1，我们可以取t1=0，此时P1的坐标为
（a1,b1,c1）。

根据向量的线性组合，L2上对应的点坐标为（a2,b2,c2）+t2（m2,n2,p2）。

两个点之间的向量AB可以表示为:
AB=P2-P1=(a2,b2,c2)+t2(m2,n2,p2)-(a1,b1,c1)
要使得向量AB垂直于L1和L2的方向向量，我们需要满足两个条件：AB·(m1,n1,p1)=0
AB·(m2,n2,p2)=0
展开上述两个等式得到：
(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m1,n1,p1)+t2(m2,n2,p2)·(m1,n1,p1)=0 (a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m2,n2,p2)+t2(m2,n2,p2)·(m2,n2,p2)=0我们可以将这两个等式整理成一个方程组形式：
[(m1,n1,p1)·(m1,n1,p1)]t2+[(m2,n2,p2)·(m1,n1,p1)]t2=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m1,n1,p1)]
[(m1,n1,p1)·(m2,n2,p2)]t2+[(m2,n2,p2)·(m2,n2,p2)]t2=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m2,n2,p2)]
记：
A=[(m1,n1,p1)·(m1,n1,p1)]
B=[(m2,n2,p2)·(m1,n1,p1)]
C=[(m1,n1,p1)·(m2,n2,p2)]
D=[(m2,n2,p2)·(m2,n2,p2)]
E1=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m1,n1,p1)]
E2=-[(a2-a1,b2-b1,c2-c1)·(m2,n2,p2)]
我们可以用Cramer法则求解这个方程组，首先计算系数行列式D0、D1和D2：
D0=，AB
C
D1=，E1B
E2
D2=，AE1
CE
根据Cramer法则，t2的值可以计算为：
t2=D1/D
进一步化简，我们得到：
t2=(D1/D)=[B*E1-D*E2]/[AD-BC]
最后，我们可以将t2的值代入原始参数方程，得到L2上离P1最近的点P2：
P2=(a2,b2,c2)+[B*(m2,n2,p2)-D*(a2-a1,b2-b1,c2-c1)]/[AD-BC]异面直线的距离就是向量P1P2的模长，在求得P2的坐标后，我们可以用向量的模长公式求解异面直线的距离：
PD=，P2-P1，=，(a2,b2,c2)+[B*(m2,n2,p2)-D*(a2-a1,b2-b1,c2-c1)]/[AD-BC]-(a1,b1,c1)
综上所述，利用向量的线性组合和Cramer法则，我们可以推导出异面直线距离的向量公式，并求得两条异面直线之间的距离。