高中数学《第2章 一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷(一)(含解析)

高中数学《第2章一元二次函数、方程和不等式》单元测试卷（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设f(x)=1
3x3+1
2
ax2+2bx+c，若f(x)在x1∈(0,1)处取得极大值，在x2∈(1,2)处取得极小值，
则b−2
a−1
的取值范围为
A. (1,4)
B. (1
2,1) C. (1
4
,1) D. (1
4
,1
2
)
2.已知集合A={x|x2−x≤0}，B={x|1
2
≤4x≤2}，则A∩B=()
A. {x|1
2≤x≤1} B. {x|0≤x≤1
2
} C. {x|1
2
≤x≤0} D. {x|1
2
≤x≤1}
3.已知a>0，b>0，c>0，且，则的最大值为
A. B. C. 3 D. 4
4.设集合，，则等于()
A. B.
C. D.
5.定义表示不超过x的最大整数[x]，记{x}=x−[x]，二次函数y=−x2+mx−2与函数y={−x}
在(−1,0]上有两个不同的交点，则m的取值范围是()
A. (−5
2,−√2−1) B. (4
3
,+∞) C. ⌀ D. 以上均不正确
6.12函数f(x)、g(x)的定义域为R，且f(x)≥0的解集为{x|1≤x<2}，g(x)≥0的解集为，则
不等式f(x)・g(x)>0的解集为()
A. {x|1≤x<2}
B. R
C. D. {x|x<1或x≥2}
7.在下列结论中，正确的结论为()
(1)“”为真是“”为真的充分不必要条件
(2)“”为假是“”为真的充分不必要条件
(3)“”为真是“”为假的必要不充分条件
(4)“”为真是“”为假的必要不充分条件
A. (1)(2)
B. (1)(3)
C. (2)(4)
D. (3)(4)
8. 如图所示，正方形铁皮ABCD 的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥、则正四棱锥体积的最大值为( )
A. 32√275
B. 32√10
75 C. 32√2375 D. 32√10
375
9.
已知x +3y =2，则3x +27y 的最小值为( )
A. 2√2
B. 4
C. 3√3
D. 6
10. 若函数f(x)满足对于任意x ∈[n,m](n <m)有n
k ≤f(x)≤km 恒成立，则称函数f(x)在区间
[n,m]上是“被k 限制”的，若函数f(x)=x 2−ax +a 2在区间[1
a ,a](a >0)上是“被2限制”的，则a 的取值范围是( )
A. (1,√2]
B. (1,√32
] C. (1,2]
D. [√23
3
,√2] 11. 下列各式中最小值为2的是( )
A.
B.
C.
D.
12. 已知直线(k +1)x +(k −1)y −5k −3=0恒过定点P(m,n)，若正实数a ，b 满足m
a +n
b =1，则
a +
b 的最小值为( )
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1
x ∈A ，则称A 是“互倒集”.给出以下数集：
①{x ∈R|x 2+ax +1=0}；②{x|x 2−6x +1≤0}；③{y|y =2
x ,x ∈[1,4]}；④{y|y ={2x +2
5
,x ∈[0,1)
x +1x ,x ∈[1,2]
}.其中“互倒集”的是______(请在横线上写出所有正确答案) 14. 一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷
下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩
三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2,2019]时，符合条件的a共有______个．
15.已知直线ax+by−1=0(ab>0)经过圆x2+y2−2x−4y=0的圆心，则1
a +2
b
最小值是
______ ．
16.设x，y∈R+，且1
x +9
y
=2，则x+y的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.解关于x的不等式ax2+(a−2)x−2≤0．
18.已知正实数a，b满足a+b=4．
(1)求1
a +4
b
的最小值．
(2)证明：(a+1
a )2+(b+1
b
)2≥25
2
19.已知集合A={x|x2−ax≤x−a}，B={x|1≤log2(x+1)≤2}，C={x|x2+bx+c>0}，
(1)若A∩B=A，求a的取值范围．
(2)若B∩C=φ，且B∪C=R，求b、c的值．
20.已知定义在R上的函数f(x)=|x−m|+|x|，m∈N∗，存在实数x使f(x)<2成立．(Ⅰ)求正整数m的值；
(Ⅱ)若α>1，β>1，f(x)+f(β)=2，求证：4
α+1
β
≥9
2
．
21.如图，一海岛O，离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品
要尽快送达海岛.已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为100km，快艇时速为50km.设点C到点B的距离为x.(参考数据：√3≈1.7.)
(1)写出运输时间t(x)关于x的函数；
(2)当点C选在何处时运输时间最短？
22.m=−4求函数f(x)的最值；
−4求实数m的值范围．若在x0∈R，f(x0)≥1
m
【答案与解析】
1.答案：C
解析：
本题考查导数和导数的应用，解题时要注意等价命题的合理转换．
由题意知f′(x)=x2+ax+2b，结合韦达定理，利用不等式的性质求出a和b的范围，由此可以导
出b−2
a−1
的取值范围．
解：f′(x)=x2+ax+2b，
设x2+ax+2b=(x−x1)(x−x2)，(x1<x2)
则x1+x2=−a，x1x2=2b，
因为函数f(x)当x∈(0,1)时取得极大值，x∈(1,2)时取得极小值
∴0<x1<1，1<x2<2，
∴1<−a<3，0<2b<2，−3<a<−1，0<b<1.
∴−2<b−2<−1，−4<a−1<−2，−1
2<1
a−1
<−1
4
，
∴1
4<b−2
a−1
<1，
故选C.
2.答案：B
解析：
考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
解：∵A={x|0≤x≤1},B={x|−1
2≤x≤1
2
}，
∴A∩B={x|0≤x≤1
2
}．故选：B．
3.答案：A
解析：试题分析：因为，所以
，当且仅当时取等号，所以，因为
，所以
，当
时，，所以
，
则
，所以
的最大值为
，故选A ．
考点：基本不等式．
4.答案：D
解析：试题分析：因为
，，所以
=。

考点：集合的运算；一元二次不等式的解法。

点评：此题把集合的运算和一元二次不等式的解法相结合，考查我们对知识点的灵活应用，属于较简单题目。

5.答案：C
解析：解：根据题意，得； ∵x ∈(−1,0]， ∴−x ∈[0,1)，
∴函数y ={−x}=−x −[−x]=−x ，x ∈(−1,0]，
构造函数f(x)=(−x 2+mx −2)−(−x)=−x 2+(m +1)x −2， 两函数图象在(−1,0]上有两个不同的交点， 转化为f(x)在(−1,0]上有两个不同的零点，则： {
−1<m+1
2<0f(m+1
2)>0f(−1)<0f(0)<0
， 解得{−3<m <−1
m <−2√2−1或m >2√2−1m >−4；
∴m 的取值范围是⌀． 故选：C ．
根据题意，化简函数y ={−x}，构造新函数f(x)=(−x 2+mx −2)−(−x)，
问题转化为f(x)在(−1,0]上有两个不同的零点，列出不等式组，求出m 的取值范围即可．
本题考查了新定义的函数图象与性质的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．
6.答案：D
解析：本题主要考查不等式的解集，注意集合中的交、并、补的运算．
解：因为f(x)・g(x)>0等价于：
(1)f(x)>且g(x)>0；或(2)f(x)<0且g(x)<0；
由已知函数f(x)、g(x)的定义域为R，且f(x)≥0的解集为{x|1≤x<2}，g(x)≥0的解集为，所以f(x)<0的解集为{x|x<1或x≥2}，g(x)<0的解集为R．
所以(1)的解为；(2)的解为{x|x<1或x≥2}∩R={x|x<1或x≥2}．
故不等式f(x)・g(x)>0的解集为{x|x<1或x≥2}．
故选：D．
7.答案：B
解析：试题分析：对于(1)“”为真，则说明p，q都是真，那么“”为真表示至少一个为真，则它是“”为真的充分不必要条件
对于(2)“”为假说明p，q中至少一个为假，是“”为真表示至少一个为真，因此条件是“”为真的不充分必要条件，故错误。

对于(3)因为“”为真即“”为真表示至少一个为真，那么是“”为假的必要不充分条件，成立。

对于(4)“”为真，则说明p为假，则必定是“”为假，但是反之不一定成立，因此是充分不必要条件，因此错误，故选B．
考点：本题主要考查命题的真值和充分条件的判定的运用。

点评：解决该试题的关键是理解且命题是一真即真，或命题是一假即假，利用集合的包含关系来判定充分条件的判定。

8.答案：D
解析：
正方形ABCD 的边长为2，可得对角线的一半为√2，设正四棱锥边长为a ，高为h ，可得ℎ2=2−√2a ，表示出正四棱锥体积V =1
3a 2⋅ℎ，利用导数求解体积最大时a 的值，即可求解正四棱锥体积的最大值．
本题考查多面体体积的求法，考查函数思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题． 解：由题意，正方形ABCD 的边长为2，可得对角线的一半为√2， 折成正四棱锥后，设正四棱锥底面边长为a ，高为h ，
四棱锥的侧面三角形中，三角形底面边长为a ，高为√2−a
2即四棱锥的斜高为√2−a
2， 由四棱锥的斜高，高和底面边长的一半构成直角三角形， ∴(√2−a 2)2
=ℎ2
+(a 2)2
，
可得：ℎ2=2−√2a ，(0<a <√2)，
正四棱锥体积为V =1
3a 2⋅ℎ，即V =1
3
√2a 4−√2a 5，
设f(a)=2a 4−√2a 5，得f′(a)=8a 3−5√2a 4， 令f′(a)=0，可得a =5√2，
a ∈5√2)时，f′(a)>0，f(a)单调递增，
a ∈(5
√2√2)时，f′(a)<0，f(a)单调递减．
当a =5√2时f(a)取得最大值
322×2252×5
，
即此时体积取得最大值，最大体积为V =32√10375
，
故选：D ．
9.答案：D
解析：
本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题． 利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出． 解：∵x +3y =2，
则3x +27y ≥2√3x ⋅33y =2√3x+3y =2√32=6， 当且仅当3x =33y 即x =3y =1时等号成立， 故选：D ．
10.答案：C
解析：解：由题意可得当x ∈[1a ,a]时，12a ≤x 2−ax +a 2≤2a 恒成立，且由已知得a >1
a ，解得a >1， 令f(x)=x 2−ax +a 2=(x −a
2)2+3
4a 2，显然对称轴x =a
2∈[1
a ,a]，
所以f(x)min =f(a
2)=3
4a 2，f(x)max =max{f(1
a ),f(a)}.又因为f(1
a )=a 2+1
a 2−1，f(a)=a 2，结合a >1，所以f(a)>f(1
a )．
所以要使原式成立恒成立，只需{3
4
a 2
≥1
2a a 2≤2a
，解得√2
3
3
≤a ≤2，又因为a >1，所以1<a ≤2为所求．
故选：C ．
根据“被k 限制”的定义，可以构造出关于x 的不等式(组)恒成立，然后借助于二次函数的性质构造出a 的不等式求解．
本题考查了新定义问题的解题思路，关键是正确理解新定义，将问题转化为两个不等式恒成立问题来解，从而将问题转化为函数的最值问题求解．
11.答案：D
解析：
本题主要考查利用基本不等式求最值问题． 解：
A 不正确，∵==+≥2，但等号不可能成立，故最小值不是2．
B 不正确，例如a ，b 的符号相反时，式子的最小值不可能等于2.
C 正确，∵2x +2−x =2x +
≥2，当且仅当x =0时，等号成立，
D 不正确，当cosx <0时，它的最小值显然不是2. 故选C ．
12.答案：A
解析：解：直线(k +1)x +(k −1)y −5k −3=0化为：k(x +y −5)+x −y −3=0， 令{x +y −5=0
x −y −3=0
，解得x =4，y =1．
∴此直线恒过定点P(4,1)，即m =4，n =1． ∵正实数a ，b 满足m
a +n
b =1，∴4
a +1
b =1． 则a +b =(a +b)(4
a
+1
b )=5+
4b a
+a b
≥5+2√
4b a
⋅a
b
=9，当且仅当a =2b =6时取等号．
∴a +b 的最小值为9． 故选：A ．
直线(k +1)x +(k −1)y −5k −3=0化为：k(x +y −5)+x −y −3=0，令{x +y −5=0
x −y −3=0，解得
此直线恒过定点P(4,1)，可得m ，n.再利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了直线系的应用、基本不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.答案：②③④
解析：
本题考查集合的新定义，一元二次不等式以及函数的值域问题，属于中档题． 先化简各个集合，再根据新定义逐一判断即可．
解：①当Δ=a 2−4<0，即−2<a <2时，集合为空集，不满足“互倒集”的定义，故错误； ②{x|x 2−6x +1≤0}=[3−2√2,3+2√2]，
若∀x ∈[3−2√2,3+2√2]，有1
x ∈[3−2√2,3+2√2]，且0∉[3−2√2,3+2√2]，满足“互倒集”的定义，故正确；
③{y|y =2
x ,x ∈[1,4]}=[1
2,2]，若∀y ∈[1
2,2]则1
y ∈[1
2,2]，满足“互倒集”的定义，故正确；
④{y|y ={2x +2
5,x ∈[0,1)
x +1x ,x ∈[1,2]
} =[25,125)∪[2,52]=[25,52
], 若∀y ∈[25,5
2]则1
y ∈[25,5
2]，满足“互倒集”的定义，故正确； 故答案为②③④．
14.答案：135
解析：解：由题设a =3m +2=5n +3，m ，n ∈N ∗，则3m =5n +1 当m =5k ，n 不存在； 当m =5k +1，n 不存在
当m=5k+2，n=3k+1，满足题意当m=5k+3，n不存在；
当m=5k+4，n不存在；
故2≤a=15k+8≤2019，解−6
15≤k≤2011
15
，
则k=0，1，2…134，共135个
故答案为：135
由题设a=3m+2=5n+3，m，n∈N∗，得3m=5n+1，对m讨论求解即可．
本题以传统文化为背景考查整数的运算性质，考查不等式性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
15.答案：9
解析：解：圆x2+y2−2x−4y=0的圆心为(1,2)，
由题意可得a+2b=1(a,b>0)，
则1
a +2
b
=(1
a
+2
b
)×1=(1
a
+2
b
)(a+2b)
=5+2a
b +2b
a
≥5+4=9．
当且仅当a=b=1
3
时，取得最小值9．故答案为：9．
求得圆的圆心，代入直线方程，可得a+2b=1(a,b>0)，即有1
a +2
b
=(1
a
+2
b
)×1=(1
a
+2
b
)(a+
2b)=5+2a
b +2b
a
，运用基本不等式，即可得到最小值．
本题考查直线和圆的位置关系，注意运用直线过圆心，考查乘1法和均值不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．
16.答案：8
解析：解：∵1x+9y=2，∴12x+92y=1，x、y∈R+，
∴x+y=(x+y)·(1
2x +9
2y
)=x+y
2x
+9x+9y
2y
=5+y
2x
+9x
2y
≥5+2√y
2x
⋅9x
2y
=8(当且仅当y
2x
=9x
2y
，x=
2，y=6时取“=”)．故答案为：8．
将x、y∈R+且1
2x +9
2y
=1，代入x+y=(x+y)⋅(1
2x
+9
2y
)，展开后应用基本不等式即可．
本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题．
17.答案：解：由题意(ax−2)(x+1)≤0
(1)a=0时解集为[−1,+∞)
(2)a≠0时x1=2
a
，x2=−1
(Ⅰ)a>0时x∈[−1,2
a
]
(Ⅱ)−2<a<0时x∈(−∞,2
a
]∪[−1,+∞)
(Ⅲ)a<−2时x∈(−∞,−1]∪[2
a
,+∞)
(Ⅳ)a=−2时x∈R
解析：因式分解，分类讨论，即可解不等式．
本题考查含参数一元二次不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．18.答案：解：(1)∵正实数a，b满足a+b=4，
∴1
a +4
b
=1
4
(1
a
+4
b
)(a+b)=1
4
(5+b
a
+4a
b
)≥1
4
(5+2√b
a
⋅4a
b
)=9
4
，
当且仅当b
a =4a
b
且a+b=4即a=4
3
，b=8
3
时取得最小值9
4
；
(2)证明：∵a+b=4，
∴1
a +1
b
=1
4
(a+b)(1
a
+1
b
)=1
4
(b
a
+a
b
+2)≥1
4
(2+2)=1，
∴(4+1
a
+1
b
)2
2
≥(4+1)2
2
=25
2
，
∴(a+1
a )2+(b+1
b
)2≥(a+b+
1
a
+1
b
)2
2
=(4+
1
a
+1
b
)2
2
≥25
2
(当且仅当a=b=2时取等号)
解析：本题主要考查了利用基本不等式求解最值及证明不等式，解题的关键是进行1的代换．
(1)由已知可得，1
a +4
b
=1
4
(1
a
+4
b
)(a+b)，展开后利用基本不等式可求；
(2)由1
a +1
b
=1
4
(a+b)(1
a
+1
b
)，展开后结合基本不等式可求范围，然后由(a+1
a
)2+(b+1
b
)2≥
(a+b+1
a +1 b
)2
2
即可证明．
19.答案：(1)∵A={x|(x−a)(x−1)≤0}∴B={x|1≤x≤3}
∵A∩B=A∴A⊆B
所以1≤a≤3
(2)∵B∩C=⌀，且B∪C=R
∴集合C为集合B的补集
即C={x|x<1或x>3}
∴−b=1+3，c=1×3
即b=−4，c=3
解析：(1)先由题中条件：A∩B=A得A⊆B，结合化简后的集合A、B，考虑它们端点间的大小关系即可；
(2)由B∩C=⌀，且B∪C=R，得集合C，再利用方程x2+bx+c=0的根与集合C端点间的关系即可求得b、c的值．
这是一个集合与函数、不等式及方程交汇的题，本小题主要考查集合的简单运算．属于基础题之列．20.答案：(Ⅰ)解：因为|x−m|+|x|≥|(x−m)−x|=|m|
要使不等式|x−m|+|x|<2有解，则|m|<2，…(2分)
解得−2<m<2…(3分)
因为m∈N∗，所以m=1…(4分)
(Ⅱ)证明：因为α，β≥1，f(α)+f(β)=2，
所以f(α)+f(β)=2α−1+2β−1=2
即α+β=2…(6分)
所以4
α+1
β
=1
2
(4
α
+1
β
)(α+β)=1
2
(5+4β
α
+α
β
)≥(5+2√4β
α
⋅α
β
)=9
2
…(8分)
(当且仅当4β
α=α
β
时，即α=4
3
,β=2
3
等号成立)…(9分)
所以4
α+1
β
>9
2
即
4
α
+1
β
≥9
2
…(10分)
解析：(Ⅰ)利用绝对值不等式，结合不等式|x−m|+|x|<2有解，求正整数m的值；
(Ⅱ)若α>1，β>1，f(x)+f(β)=2，得出α+β=2，即可证明：4
α+1
β
≥9
2
．
本题考查不等式的证明，考查绝对值不等式的运用，考查基本不等式，属于中档题．21.答案：解：(1)由题意知|OC|=√1202+x2，|AC|=300−x，
∴t(x)=√1202+x2
50+300−x
100
(0≤x≤300)；
(2)t′(x)=1
2(1202+x2)−
1
2×2x
50
−1
100
=
50√1202+x2
−1
100
，
令t′(x)=0，得x=40√3，
当0<x<40√3时，t′(x)<0，故f(x)单调递减，当40√3<x<300时，t′(x)>0，故f(x)单调递增，所以x=40√3≈68时t(x)取最小值，
所以当点C 选在距B 点68km 时运输时间最短．
解析：(1)根据题意先求出OC 和AC ，然后利用勾股定理以及时间=距离÷速度，即可得到答案；
(2)对f(x)进行求导，利用导数求解函数单调性，从而得到函数的最值，即可得到答案．
本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了利用导数研究函数最值的应用，解题的关键是正确理解题意，属于中档题．
22.答案：解：当=−4时，fx)=x −x|−|x −3|+4={3+3x <−2
−1,−2x ≤3x +5,x >3
，
f(x 0)≥1m −4，即x 0−|x 0+2−|x 0−|+4≥m +1m ， 当m <时，原不等式为(−≥0，解得m <0，
∴函数f(x 在−∞，3]上增函数，在3，+∞)是函数，以(x)ax =f =2．
令(x)=x −|x2−|x −3|4，则存在x0∈R ，(x0)≥m +1m 成立，
综上述，实的取值范围(−∞,0)∪{1．
解析：(I 利用绝值意义，去掉绝对值，化为分段函，利用段函数性质，求解的最值；
(I)由f(x 0)≥1m −4，即x 0−|x 02|−|x 0−3+4≥m +1m ，转为m +1m ≤gx)max =2，分类讨论m ，可解数m 的取值围．
本题考查函数方程的综应用查分类论思想应，转化思想的应，考查计算能力．。