数学北师大版必修4课堂导学：2.3从速度的倍数到数乘向量 含解析 精品

课堂导学
三点剖析
1.向量数乘的定义及其运算律
【例1】 在平行四边形ABCD 中，AC =a ,BD =b ,求AB 、AD .
思路分析：由平面几何的知识可知，对角线相等且互相平分，用已知向量可以表示所求向量；也可用所求向量表示已知向量.联立方程组，求得所求向量.
解：如右图，利用平行四边形的性质,得
AO =
21AC =2
1a , =21=21b. ∵=+=-, ∴=21a -2
1b . 又∵AD =+,=
21BD , ∴AD =21a +2
1b . 友情提示
把向量的加减同数乘结合起来，用来解决分向量的加减问题.
各个击破
类题演练 1
若O 为平行四边形ABCD 的中心，AB =4e 1,BC =6e 2,则3e 2-2e 1=_______.
解析:3e 2=
21,2e 1=21AB , ∴3e 2-2e 1=21BC -21AB =21(BC -AB )=21(BC +BA )=21BD . 答案：21 变式提升 1 化简
3
2［(4a -3b )+31b -41(6a -7b )］=___________________. 解析：原式=3
2（4a -3b +31b -23a +47b ） =32［(4-23)a +(-3+31+47)b ］
=
32(25a -12
11b )=35a -1811b . 答案：35a -1811b 2.对向量数乘运算律的应用
【例2】 设x 是未知向量，解方程2（x -31a ）-2
1(b -3x +c )+b =0. 思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可用和实数方程类似的方法来求解. 解：原方程化为2x -32a -21b +23x -2
1c +b =0， 27x -32a +21b -2
1c =0， 27x=32a -21b +2
1c ， ∴x =214a -71b +7
1c . 友情提示
向量的加、减、数乘混合运算与实数的加、减、乘混合运算十分类似，运算时完全可以按照实数运算的思路进行.
类题演练 2
设x 为未知向量，解方程
31x+3a -15
2b =0. 解析:原方程化为31x +(3a -15
2b )=0. 所以31x =0-(3a -152b ),31x=-3a +152b .所以x=-9a +52b . 变式提升 2
如右图所示,已知ABCD 的边BC 、CD 上的中点分别为K ，L ，且= e 1,= e 2，试用e 1, e 2表示，.
解析：设=x ,则BK =
21x ,AB =e 1-21x ,DL =21e 1-4
1x ，又AD =x ,由AD +DL =AL ，得 x +21e 1-41x = e 2,解方程，得x=34e 2-3
2e 1 即=34e 2-3
2e 1. 由=-，=e 1-21x,
得=34-e 1+3
2e 2. 3.向量共线的应用
【例3】 已知两个非零向量e 1和e 2不共线，且k e 1+ e 2和e 1+k e 2共线，求实数k 的值. 思路分析：因为k e 1+e 2和e 1+k e 2共线，所以一定存在实数λ，使得k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2). 解：∵k e 1+e 2和e 1+k e 2共线，
∴存在实数λ，使得k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2).
∴(k-λ)e 1=(λk -1)e 2.
∵e 1和e 2不共线，
∴⎩⎨⎧==-.
1,0l k k λλ ∴k=±1.
友情提示
本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k 的方程，用待定系数法解决问题.
类题演练 3
a =e 1+2e 2,
b =3e 1-4e 2,且e 1、e 2共线，则a 与b （ ）
A.共线
B.不共线
C.可能共线，也可能不共线
D.不能确定
解析：∵e 1与e 2共线，则存在实数e 1=λe 2,
∴a =e 1+2e 2=(λ+2)e 2,b =3e 1-4e 2=(3λ-4)e 2,
当3λ-4≠0时，a =4
32-+λλb ，故a 与b 共线. 当3λ-4=0时，b =0,a 与b 也共线.
答案：A
变式提升 3
设e 1、e 2是不共线的向量，已知向量=2e 1+k e 2,=e 1+3e 2,=2e 1-e 2,若A 、B 、D 三点共线，求k 的值. 解析：BD =CD -CB
=（2e 1-e 2）-(e 1+3e 2)
= e 1-4e 2,
由题设A 、B 、D 三点共线，故存在实数λ,使=λ,
所以2e 1+k e 2=λ(e 1-4e 2),
解得⎩
⎨⎧-==.4,2λλk 所以k=-8. 【例4】 如右图所示，在平行四边形ABCD 中，AD =a ,AB=b ,M 是AB 的中点，点N 是BD 上一点，|BN|=3
1|BD|.
求证：M 、N 、C 三点共线.
思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（M 、N 、C ），不妨证MN 、MC 具有一定的倍数关系.只要用已知条件a,b 表示出MN ，MC ，问题就可以解决. 证明：∵AD =a ,AB =b , ∴BD =AD -AB =a -b . ∴MN =MB +BN =
2
1b +31BD =2
1b +31(a -b )=31a +61b =61(2a +b ). 又∵MC =MB +BC =21b +a =2
1(2a +b ), ∴=3.又与有共同起点，
∴M 、N 、C 三点共线.
友情提示
几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量具有一定的倍数关系.
类题演练 4
已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果=2e 1+3e 2，=6e 1+23e 2，=4e 1-8e 2.求证：
A 、
B 、D 三点共线. 证明：∵=++
=2e 1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2
=12e 1+18e 2=6(2e 1+3e 2) =6. ∴向量AD 与向量AB 共线. 又∵AB 与AD 有共同的起点A,
∴A 、B 、D 三点共线.
变式提升 4
如右图，已知ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，判断AE 和CF 是否平行.
解：设=a,=b ,
∵E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴AE =AD +DE =a +2
1b , BF CB CF +==-a -2
1b =-(a +2
1b )=-. 即存在实数λ=-1,使得=-. 所以AE 与CF 平行.。