高中数学 第一章 三角函数章末综合检测 苏教版必修4

章末综合测评(一) 三角函数
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是第________象限角． 【解析】 ∵sin α＜0，tan α＞0， ∴α是第三象限角． 【答案】 三
2．已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________． 【解析】 15°化为弧度为π
12，设扇形的弧长为l ，
则l ＝6×π12＝π2，其面积S ＝12lR ＝12×π2×6＝3π
2.
【答案】
3π
2
3．cos 675°＝________.
【解析】 cos 675°＝cos(675°－720°)＝cos(－45°) ＝cos 45°＝
22
. 【答案】
22
4．把－11π
4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是________．
【解析】 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π
4
是最小的． 【答案】 －3π
4
5．角α，β的终边关于x 轴对称，若α＝30°，则β＝________.
【解析】 画出图形，可知β的终边与－α的终边相同，故β＝－30°＋k ·360°，
k ∈Z .
【答案】 －30°＋k ·360°，k ∈Z
6．(2016·南通高一检测)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是________．
【解析】 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π
3
，
∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.
【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1
2，32
7．设α是第二象限角，则sin α
cos α·
1
sin 2
α
－1等于________． 【解析】 因为α是第二象限角， 所以sin αcos α·
1
sin 2
α－1 ＝sin αcos α·1－sin 2
α
sin 2
α
＝sin αcos α·|cos α|
|sin α| ＝
sin αcos α·－cos α
sin α
＝－1. 【答案】 －1
8．(2014·重庆高考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点
的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π
6
个单位长度得到y ＝sin x 的图象，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝________. 【解析】 将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，保
持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π6.
所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝sin 12×π6＋π6＝sin π4＝22.
【答案】
22
9．(2016·如皋高一检测)若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2
α＋2sin αcos α
的值为
________．
【解析】 由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－1
3，
∴1cos 2
α＋2sin αcos α＝sin 2
α＋cos 2
α
cos 2α＋2sin αcos α
＝tan 2
α＋11＋2tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋11＋2×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－13＝103
. 【答案】
103
10．(2016·南京高一检测)已知点P (tan α，sin α－cos α)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是________．
【解析】 ∵点P 在第一象限，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
tan α＞0，①sin α－cos α＞0，②
由①知0＜α＜π2或π＜α＜3π
2， ③
由②知sin α＞cos α.
作出三角函数线知，在0,2π]内满足sin α＞cos α的α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，5π4. ④
由③，④得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4.
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝
⎛⎭⎪⎫π，5π4 11．(2016·苏州高一检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图1所示，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π12＝
________.
图1
【解析】 由图象知3
2T ＝π，
∴T ＝2π
3
，A ＝2，
又∵T ＝2πω，∴ω＝3，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0代入y ＝2sin(3x ＋φ)得：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π4＋φ＝0，取
φ＝－3
4
π，
∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4， ∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3×7π12－3π4＝2sin π＝0.
【答案】 0
12．化简：1－2sin 200°cos 160°＝________. 【解析】 原式＝1－＋
－
＝1－2sin 20°cos 20°＝－
2
＝cos 20°－sin 20°. 【答案】 cos 20°－sin 20°
13.如图2为一半径是3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则ω＝________，A ＝________.
图2
【解析】 由题意知，半径即是振幅，A ＝3，因为水轮每分钟旋转4圈，即周期为T ＝604＝15 s ，所以ω＝2πT ＝2π
15
. 【答案】
2π
15
3 14．(2016·泰州高一检测)关于函数f (x )＝2sin3x －3
4π，有下列命题：
①其最小正周期为2
3
π；
②其图象由y ＝2sin 3x 向左平移π
4个单位而得到；
③其表达式可以写成f (x )＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋34π； ④在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π12，512π为单调递增函数．
则其中真命题为________．(需写出所有真命题的序号) 【解析】 ①由f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3x －34π得T ＝2π3，故①正确．
②y ＝2sin 3x 向左平移π4个单位得y ＝2sin3x ＋3
4π，故②不正确．
③由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4－3π2
＝－2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4 ＝2sin ⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3π4 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋34π， 故③正确．
④由2k π－π2≤3x －34π≤2k π＋π2(k ∈Z )得23k π＋π12≤x ≤23k π＋5
12π(k ∈Z )，
∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －34π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2
3
k π＋π12，23k π＋512π(k ∈Z )．
当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π12，5π12， 故④正确． 【答案】 ①③④
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；
(2)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．
【解】 (1)∵r ＝x 2
＋y 2
＝5，
∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45
，
∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－2
5.
(2)当点P 在第一象限时，
sin α＝35，cos α＝4
5，2sin α＋cos α＝2；
当点P 在第二象限时，
sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝2
5；
当点P 在第三象限时，
sin α＝－35，cos α＝－4
5
，2sin α＋cos α＝－2；
当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－2
5.
16．(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)． (1)求
π－α＋π－α
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α的值；
(2)求sin 2
α＋2sin αcos α－cos 2
α＋2的值． 【解】 由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)， ∴sin α＝－2cos α. ∵cos α≠0，∴tan α＝－2.
(1)原式＝sin α＋5cos α－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin α＝sin α＋5cos α
－2cos α＋sin α
＝
tan α＋5－2＋tan α＝－2＋5－2－2＝－34
.
(2)原式＝sin 2
α＋2sin αcos α－cos 2
αsin 2α＋cos 2
α＋2 ＝tan 2
α＋2tan α－1tan 2
α＋1＋2 ＝4＋
－－14＋1
＋2＝95
.
17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4.
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
图3
(2)写出f (x )的值域、周期、对称轴、单调区间． 【解】 (1)列表如下：
(2)由上图可知：值域为－3,3]，周期为2π，
对称轴为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＝π
4＋k π，k ∈Z
， 单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )， 单调减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )． 18．(本小题满分16分)(2016·天津十二区联考二)函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图4所示．
图4
(1)求φ及图中x 0的值；
(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．
【解】 (1)由题图得f (0)＝
3
2
，
所以cos φ＝
32
， 因为0＜φ＜π2，故φ＝π
6
.
由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1＜x 0＜2. 故
7π6＜πx 0＋π6＜13π
6
， 由f (x 0)＝
32得cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，
所以πx 0＋π6＝11π6，解得x 0＝5
3
.
(2)因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋13 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2 ＝－sin πx ，
所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋13
＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π
6－sin πx
＝
32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －3
2
sin πx ＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫π6－πx .
当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3，
所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－πx ≤1，
故π6－πx ＝π2，即x ＝－1
3时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32
. 19．(本小题满分16分)(2016·宿迁高一检测)已知函数y ＝a sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋b 在x ∈
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为－5,1]，求a ，b 的值． 【解】 由题意知a ≠0.∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，7π6，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＋b ＝1，－a
2
＋b ＝－5，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝－3.
当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧
－12
a ＋
b ＝1，
a ＋
b ＝－5，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝－4，
b ＝－1.
综上，a ＝4，b ＝－3或a ＝－4，b ＝－1.
20．(本小题满分16分)(2016·南通高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一系列对应值如下表：
(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的周期为2π3，当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，
方程f (kx )
＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．
【解】 (1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π.由T ＝2πω，得ω＝
1.
又⎩
⎪⎨
⎪⎧
B ＋A ＝3，
B －A ＝－1，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
A ＝2，
B ＝1，
令ω·5π6＋φ＝π
2＋2k π，k ∈Z ，
即
5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－π
3
＋2k π，k ∈Z .
又|φ|＜π2，解得φ＝－π
3
，
∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.
(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k
＞0，∴k ＝3.
令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3
，2π3. 如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3
，2π3上有两个不同的解的条件是s ∈⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫32，1，∴方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，π3时，恰有两个不同的解的条件是m ∈
[
)3＋1，3，即实数m 的取值范围是3＋1,3).。