数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十三章

第十三章 函数列与函数项级数
一、证明题
1.讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D 上是否一致收敛，并说明理由：
(1) f n (x)=22n 1x +
,n=1,2,…,D=(-1,1); (2) f n (x)=22x
n 1x +,n=1,2,…D=(-∞,+∞); (3) f n (x)=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤<++≤≤++-1x 1n 1 0,1n 1x 0 1,1)x (n (n=1,2……); (4) f n (x)=
n
x , n=1,2,…, (i) D=[0,+∞]; (ii) D=[0,1000]; (5) f n (x)=sin n x , n=1,2,…, (i) D=[-L,L]; (ii) D=[-∞,+∞]; (6) ∑+--n
x 1)(21
n , D=[-∞,+∞]; (7) ∑-+1n 22)x (1x , (i) D=[-∞,+∞]; (ii) D=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡10,101. 2. 证明:设f(x)→f(x),x ∈D; a n →0(n →∞),(a n >0),若对每一
个自然数n.有
|f n (x)-f(x)|≤a n , x ∈D,
则{f n }在D 上一致收敛于f.
3. 设{f n }为定义在[a,b]上的函数列,且对每一个n,f n 在点a 右连续,但{f n (a n )}是发散的,证明在任何开区间(a,a+δ)这里(a+δ<b)内{f n }都不一致收敛.
4. 设函数项级数∑n u (x)在D 上一致收敛于S(x),函数g(x)
在D 上有界,证明级数∑(x)g(x)u n 在
D 上一致收敛于g(x)S(x). 5. 若在区间I 上,对任何自然数n, |u n (x)|≤V n (x), 证明当∑n v (x)在I 上一致收敛时,级数∑n u (x)在I 也一致收敛.
6. 设u n (x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数,证明:若∑n u (a)与∑n u (b)都绝对收敛,则级数∑n u (x)在[a,b]上绝对并一致收敛.
7. 在[0,1]上定义函数列
1,2n n 1
x 0,n 1 x ,n 1(x)u n =⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≠==
证明: 级数
∑n u (x)在[0,1]上一致收敛,但它不存在优级
数.
8. 证明:级数∑∞=0n n n x )-(1x (-1)
在[0,1]上绝对并一致收敛,
但由其各项绝对值组成的级数在[0,1]上却不一致收敛.
9. 设f 为定义在区间(a,b)内的任一函数,记f n (x)=
n [nf(x)],n=1,2,……,证明函数列{f n }在(a,b)内一致收敛于f.
10. 设{u n (x)}为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列,每一个u n (x)都是[a,b]上的单调函数.则级数
u 1(x)-u 2(x)+u 3(x)-u 4(x)+…
在[a,b]上一致收敛.
11. 证明: 若函数列{f n }在[a,b]上满足定理13.10的条件,则{f n }在[a,b]上一致收敛.
12. 证明: 函数f(x)=
∑3n sinnx 在(-∞,+∞)上连续,且有连续的导函数.
13. 证明: 定义在[0,2π]上的函数项级数
∑∞
=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.12条件,且 ∑⎰∞
==0n n
2πcosnx dx r 02π 14. 讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及其极限函数的连续性,可积性和可微性.
(1) f n (x)=2nx x e -(n=1,2,…)x ∈[-L,L];
(2) f n (x)=
nx
1nx +,n=1,2,…, (i) x ∈[)+∞,0, (ii) x ∈[)+∞a, (a>0); 15. 证明函数ξ(x)=
∑x n 1在(1,+∞)内连续,且有连续的各阶导数.
16. 证明:若函数列{f n }在x 0的某δ邻域U(x 0,δ)内一致收敛于f,且)1,2,(n a (x)f lim n n x x 0 ==→,则n n a lim ∞→与f(x)lim 0x x →存在且相等,即
∞→n lim (x)f lim n x x 0→=(x)f lim lim n n x x 0∞
→→ 17. 设f 在(-∞,+∞)上有任何阶导数,记F n =f (n),且在任何有限区间内,F n →ϕ(n →∞),试证 ϕ(x)=ce x (c 为常数).
二、计算题
1. 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性. (1) ∑-∈-r]r,[x ,1)!
(n x n
; (2) ∑+∞-∞∈+],[x ,)
x (1x (-1)n 22
1-n ; (3) ∑>≥0r |x |,x n n ;
(4) ∑∈[0,1]x ,n
x 2n
.
2. 讨论下列函数列或函数英级数在所示区间D 上的敛散性: (1) (0,1]D ,1,2,n ,nx
11(x)f n ==+=
(2) ∑=][0,2D ,n sinnx π; (3) ∑∞
=++2n 2222]1)-(n )[x n (x 2n -1, D=[-1,1]; (4) ∑n n 3x
sin 2, D=(0,+∞) (5) ∑+-+)
nx ](11)x (n [1x 222
, D=(0,+∞) (6) ∑n
x n
, D=[-1,0]; (7) ∑+-+1
2n x 1)(1
2n n D=[-1,1] 3. 设S(x)=∑-21
n n
x ,x ∈[-1,1],计算积分S(t)dt 0x ⎰. 4. 设S(x)=∑⋅n n cosnx ,x ∈(-∞,+∞),计算积分S(t)dt 0x ⎰.
5. 设S(x)=∑-nx ne (x>0),计算积分S(t)dt ln2
ln3⎰ 三、考研复习题
1. 试问K 为何值时,下列函数列{f n }一致收敛:
(1) f n (x)=xn k e -nx ,0≤x<+∞; (2) ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤=1x n 2 0,,n 2x n 1 ,n x n
2n 1x 0 ,xn (x)f k k n 2. 证明:(1)若f n (x)→f(x)(n →∞)(x ∈I),且f 在I 上有界,则{f n }至多除有限项外,在I 上是一致有界的;(2) 若f n (x)⇒f(x) (n →∞)(x ∈I),且对每一个自然数n,f n 在I 上有界,则{f n }在I 上一致有界.
3. 设f 为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2
1上的连续函数,证明: (1) {x n f(x)}在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2
1上收敛; (2) {x n f(x)}在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上一致收敛的充要条件是f 在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡1,21上有界且f(1)=0
4. 若把定理13.9中一致收敛函数列{f n }的每一项在[a,b]上连续改为在[a,b]上可积,试证{f n }在[a,b]上的极限函数在[a,b]上也可积.
5. 证明: 由二重极限∞→m lim (∞
→n lim cos 2n (m!πx)) 所确定的极限函数是狄利克雷函数.
6. 设级数∑n a 收敛,证明∞
→n lim ∑x n n a =∑n a . 7. 设可微函数列{f n }在[a,b]上收敛,{f 'n }在[a,b]上一致有界,证明:{f n }在[a,b]上一致收敛.。