北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第12章 概率 第3节 离散型随机变量及其分布列

35
7
2
36
8
2
37
9
2
38
10
2
39
m
5
答案:(1)
12
(2)C
1
1
解析:(1)由 +m+
数).
-
C C-
C
(其中k为非负整
如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称X服从参数为N,M,n的超几何
分布.
微点拨在超几何分布中的随机变量为抽到的某类个体的个数,主要特征为:
(1)考察对象分两类;
(2)已知各类对象的个数;
(3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布,超几何分布主要用
完成某项试验任务,工作时间不超过10分钟.如果10分钟内完成任务,则试
验成功结束任务,如果10分钟内不能完成任务,则撤回再派下一个人,每个
人只派出一次.已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为
4 3 2
, ,
5 4 3
,每
个人能否完成任务相互独立,该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出,则试
验任务成功的概率为(
件 B 发生的条件概率
在古典概型中,若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事
件的个数,则P(B|A)=
()
()
.
3.离散型随机变
量及其分布列
微点拨
分两类:离散型随机变量和连续型随机变量
1.随机变量的特点
(1)随机变量将随机事件的结果数量化;
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值;
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
)
答案:(1)D (2)D
解析:(1)试验任务成功的事件M是甲成功的事件M1,甲不成功乙成功的事
件M2,甲乙都不成功丙成功的事件M3的和,事件M1,M2,M3互斥,
4
P(M1)=5,P(M2)=
1−
4
5
3
4
× =
所以试验任务成功的概率
的估计值.
2
(
-
)
附:χ2=
,
(+)(+)(+)(+)
P(χ2>k) 0.10
k
2.706
0.05
3.841
0.01
6.635
解:(1)由题意可知,n=200,
2
2
(
-
)
200×(40×90-10×60)
∴χ2=(+)(+)(+)(+)= 100×100×50×150 =24>6.635,
3
第一类检验单独通过率为4,第二类检验单独通过率为 p(0<p<1),规定:第一类
检验不通过则不能进入第二类检验,每类检验未通过可修复后再检验一次,
修复后无需从头检验,通过率不变且每类检验最多两次,且各类检验间相互
5
独立.若该产品能出货的概率为 ,则
6
2
A.
5
1
B.
2
2
C.3
5
D.6
p=(
)
答案:(1)B (2)C
60
=0.6,
100
0.4×0.9
=6.∴指标
0.6×0.1
R 的估计值为 6.
规律方法 条件概率的3种求法
P(AB )
P(B|A)=
求
P(A)
定义法
先求 P(A)和 P(AB),再由
基本事
借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再
件法
缩样法
P(B|A)
求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB),得
n(AB )
P(B|A)= n(A)
缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下
的情况,用古典概型求解,它能化繁为简
对点训练3甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服
务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目,每人限报其中一
项,记事件A为“恰有2名同学所报项目相同”,事件B为“只有甲同学一人报关
当该棋手在第二盘与丙比赛时,p=p3p1(1-p2)+p3p2(1-p1)=p1p3+p2p3-2p1p2p3.
由p3>p2>p1>0,可知该棋手在第二盘与丙比赛,p最大.
规律方法 求复杂事件的概率,应先列出题中涉及的各事件,并用适当的符
号表示,再理清各事件之间的关系,最后根据事件之间的关系选取相应的公
(|)
(|)
示事件“选到的人患有该疾病”,
与
的比值是卫生习惯不够良好对
(|)
(|)
患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为 R.
(|)
(ⅰ)证明:R=
(|)
(|)
·
;
(|)
(ⅱ)利用该调查数据,给出 P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(ⅰ)的结果给出 R
解析:(1)比赛甲获胜有3种可能①1,3甲胜,2乙胜;②2,3甲胜,1乙胜;③1,2甲
胜.
则本次比赛甲获胜的概率为
3
P=4
1
4
3
4
1
4
3
4
3
4
3
4
3
4
× × + × × + × =
27
.
32
故选 B.
(2)设 Ai 表示第 i 次通过第一类检验,Bi 表示第 i 次通过第二类检验(i=1,2),
由题意得
∴有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
( | )
( | )
(2)(ⅰ)证明:R= ( | ) =
(|)
(|)
(|)
·(|)
( | )
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.
研考点•精准突破
考点一
事件的相互独立性的判断
例1(2021新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回
的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙
表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字
的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机
调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
卫生习惯
病例组
对照组
不够良好
40
10
良好
60
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有
差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表
式进行计算.
对点训练 2(1)(2022 河南濮阳一模)已知甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛规
则是 3 局 2 胜,即以先赢 2
的概率为(
)
21
A.32
27
B.32
15
C.16
13
D.16
3
局者胜.甲每局获胜的概率为4,则本次比赛甲获胜
(2)(2022 山西太原二模)某产品需要通过两类质量检验才能出货.已知该产品
6×6
1
,P(丙丁)=0.
36
1
P(甲丁)=P(甲)·
P(丁)=36 ,
根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选 B.
=
1
,
6
规律方法 判断事件A,B的独立性的方法
(1)若事件A是否发生和事件B是否发生没有关系,则事件A与事件B相互独
立;
(2)利用事件A与事件B相互独立的定义,即若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事
第十二章
第三节 离散型随机变量及其分布列
内
容
索
引
01
强基础•固本增分
02
研考点•精准突破
课标解读
1.结合古典概型,了解事件的独
立性,了解条件概率及其与独立
性的关系,能计算简单随机事件
的条件概率,会利用乘法公式计
算概率.
2.通过具体实例,了解离散型随
机变量的概念,理解离散型随机
变量分布列,了解超几何分布,并
(3)在试验之前不可能确定取何值.
2.利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.
3.随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相
关事件的概率.
4.超几何分布
一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品,用X
表示取出的n件产品中次品的件数,那么P(X=k)=
≠P(B)P(C),故选项 B 错误;
C 正确;
对于 D,P(CD)=0≠P(C)P(D),故选项 D 错误.故选 C.
考点二
事件的相互独立性的概率
例2(1)(2023河南南阳检测)2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务
都取得圆满成功,这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步.现有
航天员甲、乙、丙三个人,进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外
3
,P(M3)=
20
1
4
−5
×1−
4
P(M)=P(M1+M2+M3)=
5
3
4
3
+
20
2
3
× =
+
1
30
=
1
,
30
59
.故选
60
D.
(2)当该棋手在第二盘与甲比赛时,
p=p1p2(1-p3)+p1p3(1-p2)=p1p2+p1p3-2p1p2p3;
当该棋手在第二盘与乙比赛时,p=p2p1(1-p3)+p2p3(1-p1)=p1p2+p2p3-2p1p2p3;
· ( ) =
( )
(|) (|)
·
.
(|) (|)
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
· ( ) =
( )
()·( )
()·()
()
(ⅱ)P(A|B)=
()
()
1
.
6
考点四
离散型随机变量分布列的性质
例4(1)(2021浙江杭州模拟)设随机变量X的概率分布列为
X
P
则P(|X-3|=1)=
1
2
1
3
.
m
3
4
1
4
1
6
(2)已知随机变量X的概率分布如下.
X
P
1
2
2
3
3
2
32
则P(X=10)=(
2
A.39
1
C. 9
3
4
2
33
)
2
B.310
1
D. 10
3
5
2
34
6
2
9
A.
10
19
B.
20
29
C.
30
59
D.
60
)
(2)(2022全国乙,理10)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛
结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且
p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则(
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
A.事件A和事件C相互独立
B.事件B和事件C相互独立
C.事件B和事件D相互独立
D.事件C和事件D相互独立
)
答案:C
1
3
1
1
解析:由题意,P(A)=5,P(B)=5,P(C)=25 ,P(D)=5.
对于 A,P(AC)=0≠P(A)P(C),故选项 A 错误;
对于
1
B,5 =P(B)P(D),故选项
P(A|)=
()
同理
=
=
()
()
( )
P(|)=
()
()
P(|B)= ()
(|)
∴R=
(|)
=
()
()
=
()
()
(|)
·
(|)
=
=
=
10
=0.1,
100
( )
()
=
40
=0.4,
100
=
90
=0.9,
100
5
P(A1B1+1 A2B1+A11 B2+1 A2 1 B2)=6,
3
1
即4p+4
3
3
p+4
4
×
1
×(1-p)p+4
×
3
4
5
×(1-p)p=6,解得
2
p=3或
4
p=3(舍去).故选
C.
考点三
条件概率
例3(2022新高考Ⅰ,20)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居
民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病
之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
)
答案:B
解析:由已知得
1
1
5
P(甲)=6,P(乙)=6,P(丙)=6×6
1
P(甲丙)=0,P(甲丁)=
6×6
由于
=
1
1
,P(乙丙)=
36
6×6
=
=
5
6
,P(丁)=
36
能解决简单的实际问题.
衍生考点
核心素养
1.事件的相互独立性的判断
2.事件的相互独立性的概率
3.条件概率
4.随机变量分布列的性质
5.离散型随机变量的分布列
1.数据分析
2.数学建模
3.逻辑推理
4.数学运算
强基础•固本增分
1.事件的相互独立性
(1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)= P(A)P(B) ,那么称事件A与事件B
相互独立.
(2)如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与, 与 B,与也相互独立.
2.条件概率
定义
性质
设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称
(1)0≤P(B|A)≤1
P(AB )
P(B|A)= P(A) 为在事件
(2)若 B,C 是两个互斥事件,则
A 发生的条件下,事
P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A)
怀老人项目”,则P(B|A)=(
1
A.
6
2
C.3
)
1
B.
3
5
D.6
答案:A
解析:事件AB为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同
学一人报关怀老人项目”.
C 24 A 33
34
P(A)=
=
C 23 A 22