河海大学2015-2016学年硕士生《数值分析》试题

河海大学2015-2016学年硕士生
《数值分析》试题(A)
任课教师姓名
1、若 X >:>1，改变计算式 In & - J x 2
-1 )=
2、设s(x) = [x :X ,
2
O^x^1 ,是以0,1,2为节点的三次样条函数，则
[2x 3 +bx 2
+cx-1, 1 <x <2
3、已知契比雪夫多项式 T 3(X )=4X 3
-3X ,则f(x)=2x 3 + x 2+2X —1在［—1,1］上的二次
最佳一致逼近多项式是 4、已知离散数据(X k , y k )(k =1,2,…，n)，用直线y=a+bx 拟合这n 个点，则参数a 、b 满足的法方程组是
3
2
6、设f(x)=(x+2)(x -3x +3x-1)=0，用牛顿迭代法解此方程的根
x^ -2具有二阶
，求根X 2 =1具有二阶收敛的迭
代格式为
7、如果求解常微分方程初值问题的显式单步法局部截断误差是
Tn+ = y(X n 十)—y n 十=O(h 4
)，则称此单步法具有
《数值分析》2015级(A)第1页 共6页
二、(本题10分)
已知数据表
姓名 _____________ 专业 ____
一、填空题(每空2分，共20分)
学号 成绩
，使计算结果更为准确。

5、给定矩阵胃一2
1
|1
d O , ，则A 的谱半径P(A) = 卜
1
3」
()
,A 的条件数Cond^A)-
收敛的迭代格式为
阶精度。

1
1，写出迭代两步的结果（计算结果保留到小数后第四位）。

九、（本题8分）
给定常微分方程初值问题
（1） 求f （X ）的三次Lagrange （拉格朗日）插值多项式；
（2） 计算差商表，并写出三次 Newton （牛顿）插值多项式。

在区间［_1,1］上给定函数f （x ）=4x ' +1 ,求其在①=S pan{1,x, X 2
}中关于权函数
p （x ） =1的二次最佳平方逼近多项式。

（可用勒让德多项式
P 0（x ）=1 , P 1（X ）=X ,
F 2(X )=2(3X 2—1))
《数值分析》2015级（A ）第2页 共6页
四、（本题10分）
用下列方法计算积分 1
dy。

y
（1 ）龙贝格求积公式（要求二分三次）；
1 3
（2）已知三次勒让德多项式 P 3（x ） = —（5x -3x ），用三点高斯-勒让德公式计算上述积
分。

五、（本题8分）
1 1 1
X
2 —
1
也
2 1
jl
L X3j [ 3
」
试用 Doolittle （杜利特尔）分解法解此线性方程组。

《数值分析》2015级（A ）第3页 共6页
（本题10分）
把下面的线性方程组化为等价的线性方程组，使之应用雅可比迭代法和高斯 -赛德尔迭
代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅可比迭代法和高斯 -赛德尔迭代法的迭代公式（分 量形
式），并说明收敛的理由。

七、（本题10分）
八、 已知方程 f （X ）=（X —1）eX-1 =0。

分析方程存在几个实根；用迭代法求出这些根；证明所用的迭代法是收敛的。

八、（本题8分）
写出规范化的幕法公式， 并用此公式求矩阵 A=
r-4 -5 L-1
14 O l
13 的主特征值及对应的特征向
量，取初始向量
知方阵
写出改进欧拉公式，并用此公式计算y(x)在x=0.1和0.2处的近似值，取步长h = 0.1，
计算结果保留5位有效数字。

《数值分析》2015级(A)第5页共6页
十、(本题8分)
给定线性方程组Ax = b，其中A = ［3
2
，
L1 2」b J3L
hi 用迭代公式
x(k+)=x(k)+©(b-Ax(k))(k =0,1,2；••…)求解Ax = b，试证明0 5 J时迭代公式收
2
敛。

《数值分析》2015级(A)第6页共6页
河海大学2015-2016学年硕士生
《数值分析》试题(B)
任课教师姓名
姓名_____________ 专业____
一、填空题(每空2分，共20分)
学号成绩
1、如果求解常微分方程初值问题的显式单步法局部截断误差是
T n+ = y(X n+ )—y n d! =O(h4)，则称此单步法具有阶精
度。

2、若X >:>1，改变计算式In(X - J x2 -1)=，使计算结果更为准
确。

3、设s(x j X：X2,2
2x3 +bx2 +CX-1, 0 < X <1
，是以0,1,2为节点的三次样条函数，则1 <x<2
4、设f(x) =(x +2)(X3—3x2 +3X-1) =0，用牛顿迭代法解此方程的根X1 = —2具有二阶
收敛的迭代格式为，求根X2二1具有二阶收敛的迭代格式为
5、已知契比雪夫多项式T3(X)=4X3—3x，则f(x)=2x3+ x2+ 2x—1在［—1,1］上的二次
最佳一致逼近多项式是
6、给定矩阵A JT
L-1 3」，则
A的谱半径P(A) ，A的条件数Cond^A)-
7、已知离散数据（X k ,y k ）（k =1,2,…，n ），用直线y=a+bx 拟合这n 个点，则参数a 、b 满足的法方程组是
《数值分析》2015级（B ）第1页 共6页
二、（本题8分）
L X 3」L 3J
三、（本题10分）
把下面的线性方程组化为等价的线性方程组，使之应用雅可比迭代法和高斯 -赛德尔迭
代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅可比迭代法和高斯 -赛德尔迭代法的迭代公式（分
量形式），并说明收敛的理由，并取初始向量 x
（0
）=（0,0,0）
T
,分别计算出迭代2次后的结果
X⑵（计算过程保留小数点后四位小数）。

《数值分析》2015级（B ）第2页 共6页
四、（本题8分）
在区间［ —1,1］上给定函数f （X ）=4x 3
+1 ,求其在①=Span{1, x, x 2
}中关于权函数
（可用勒让德多项式 P o （x ）=1 , P 1（X ）
=X ,
1 2
F 2（xr （3x -1））
2
五、（本题10分）
3 dv
用下列方法计算积分r o
（1 ）龙贝格求积公式（要求二分三次）；
1 3
（2）已知三次勒让德多项式 P 3（xH-（5x -3x ），用三点高斯-勒让德公式计算上述积分。

《数值分析》2015级（B ）第3页 共6页
六、（本题10分）
已知数据表
|1
知方阵1
-2
X 2 试用 Doolittle （杜利特尔）分解法解此线性方程组。

P （x ） =1的二次最佳平方逼近多项式。

（1）求f（X）的三次Lagrange （拉格朗日）插值多项式;
写出改进欧拉公式，并用此公式计算y （x ）在x=0.1和0.2处的近似值，取步长h = 0.1， 计算结果保留5位有效数字。

《数值分析》2015级（B ）第4页 共6页
八、（本题8分）
写出规范化的幕法公式, r-4 -5 14
量，取初始向量 并用此公式求矩阵 A=
L-1
13
的主特征值及对应的特征向
1 1，写出迭代两步的结果（计算结果保留到小数后第四位）。

九、（本题10分） 已知方程 f(x)=(x-1)e x
-1 =0。

分析方程存在几个实根；用迭代法求出这些根；证明所用的迭代法是收敛的。

《数值分析》2015级（B ）第5页 共6页 十、（本题8分） 线性方程组Ax = b ，其中A =〔3 2
L
1 2
」 b fl ， [-
1
」 用迭代公式
= x （k ）+时（b -Ax （k
））（k =0,1,2；"…）求解 Ax = b ，试证明 0 c 时
<-时迭代公式收
2 敛。

《数值分析》2015级（B ）第6页 共6页
（2）计算差商表，并写出三次
七、（本题8分）
Newton （牛顿）插值多项式。