2022-2023学年北京市通州区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷
1. 已知椭圆x 2
4
+y 2
2
=1的焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，则|PF 1|+|PF 2|=( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
2. 已知双曲线的标准方程为x 2−y 22
=1，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y =±1
2x
B. y =±
√2
2
x
C. y =±√2x
D. y =±2x
3. 已知数列{a n }的前5项为1，1
2，1
3，1
4，1
5，则数列{a n }的一个通项公式为( ) A. a n =1n
B. a n =1
n+1
C. a n =1
2n−1 D. a n =1
2n
4. 已知等差数列{a n }的通项公式a n =2n −1，则数列{a n }的首项a 1和公差d 分别为( ) A. a 1=−1，d =−2 B. a 1=−1，d =2 C. a 1=1，d =−2 D. a 1=1，d =2
5. 在等比数列{a n }中，a 2=3，a n+1=3a n ，则数列{a n }的前5项和为( )
A. 40
B. 80
C. 121
D. 242 6. 已知圆(x −2)2+(y +3)2=r 2与y 轴相切，则r =( )
A. √2
B. √3
C. 2
D. 3
7. 如图，在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在
圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程为( )
A. x 24+y 2=1
B. x 24
+y 22
=1 C. x 24+
y 23
=1
D.
x 22
+y 2=1
8. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，AB =AP =2，
点E ，F 分别是PC ，PD 的中点，则点C 到平面AEF 的距离为( )
A. √2
2
B. √2
C. 3
2
D. 2
9. 已知抛物线y 2=4x 与直线y =2x −2相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( ) A. √5
B. √10
C. 2√5
D. 5
10. 已知数列{a n }满足a n =1
2n(n+1)，数列{a n }的前n 项和为T n ，若T n >nλ
n 2+4n+19(λ∈R)对
任意n ∈N ∗恒成立，则λ的取值范围是( )
A. (−∞,4)
B. (−∞,2√5)
C. (−∞,5)
D. (−∞,6)
11. 点(1,−2)到直线3x +4y −5=0的距离为______.
12. 已知抛物线x 2=2py(p >0)经过点(2,2)，则该抛物线的方程为______；准线方程为
______.
13. 如图，点M 为四面体OABC 的棱BC 的中点，用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.
14. 已知有穷数列{a n }的各项均不相等，将数列{a n }的项从大到小重新排序后相应的项数构
成新数列{p n }，称数列{p n }为数列{a n }的“序数列”．例如，数列a 1，a 2，a 3满足a 1>a 3>a 2，则其“序数列”为1，3，2.设各项均不相等的数列2，3−t ，t +1，5(t ∈R)为数列Ω. ①若t =0，则数列Ω的“序数列”为______；
②若数列Ω的“序数列”为3，4，1，2，则t 的取值范围为______.
15. 已知曲线E 的方程为
x|x|
4
+y 2=1，给出下列四个结论：
①若点M(x,y)是曲线E 上的点，则x ≤2，y ∈R ； ②曲线E 关于x 轴对称，且关于原点对称； ③曲线E 与x 轴，y 轴共有4个交点； ④曲线E 与直线y =12
x 只有1个交点． 其中所有正确结论的序号是______.
16. 已知两点A(−1,1)，B(1,1)，直线l ：x +y +1=0.
(Ⅰ)若直线l 1经过点A ，且l 1//l ，求直线l 1的方程；
(Ⅰ)若圆心为C 的圆经过A ，B 两点，且圆心C 在直线l 上，求该圆的标准方程．
17. 已知双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是2，离心率e=2.
(Ⅰ)求双曲线的标准方程；
(Ⅰ)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与该双曲线的一个焦点相同，点M为抛物线上一点，且|MF|=3，求点M的坐标．
18. 在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，设b n=3n−2+a n.
(Ⅰ)求a3的值；
(Ⅰ)若m是a3和b4的等差中项，求m的值；
(Ⅰ)求数列{b n}的前n项和S n.
19. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，点E为B1C1的中点．(Ⅰ)求证：AE⊥平面CD1E；
(Ⅰ)求平面CD1E与平面A1B1C1D1的夹角的余弦值．
20. 已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的焦距为2√3，点(−1,√3
2
)在椭圆C上，点B的坐标
为(−1,0)，点O为坐标原点．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅰ)过A(−4,0)的直线l交椭圆C于M(x1,y1)，N(x2,y2)(x1<x2)两点，判断∠ABM与∠OBN的大小，并说明理由．
21. 已知等差数列{a n}的第2项为4，前6项的和为42，数列{b n}的前n项和为T n，且2T n= 3b n−a n.
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；
(Ⅰ)求证：数列{b n +1}是等比数列，并求数列{b n }的通项公式； (Ⅰ)设c n =
{1
4,n =1,1
b n +a n −1
,n
≥2,
求证：c 1+c 2+⋯+c n <5
12.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为椭圆x 2
4
+y 22
=1的焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，
由椭圆的定义可知，|PF 1|+|PF 2|=2a =4， 故选：B.
根据椭圆的定义即可求解．
本题考查了椭圆的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：已知双曲线的标准方程为x 2−y 22
=1，
则该双曲线的渐近线方程为y =±√2x ， 故选：C.
由双曲线的性质求解即可．
本题考查了双曲线的性质，属基础题．
3.【答案】A
【解析】解：数列{a n }的前5项为1，1
2，1
3，1
4，1
5， ∴a n =1
n ，符合题意， 故选：A.
根据题意，分别令n =1，n =2，n =3，n =4，n =5，验证，即可得出答案． 本题考查数列的概念，考查对应思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：等差数列{a n }的通项公式a n =2n −1，
则a 1=2×1−1=1，d =a n −a n−1=2n −1−2(n −1)−1=2， 故a 1=1，d =2. 故选：D.
根据已知条件，结合等差数列{a n }的通项公式，即可求解． 本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为a n+1=3a n ， 所以等比数列{a n }的公比q =3， 因为a 2=3， 所以a 1=
a 2q
=1，
所以数列{a n }的前5项和为S 5=a 1(1−q 5)1−q
=
1−351−3
=121，
故选：C.
由a n+1=3a n ，a 2=3，得等比数列{a n }的公比q ，首项a 1，进而可得数列{a n }的前5项和为S 5，即可得出答案．
本题考查等比数列的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：由圆(x −2)2+(y +3)2=r 2的方程可得圆心的坐标(2,−3)， 再由圆与y 轴相切，可得半径r =2， 故选：C.
由圆的方程可得圆心坐标，再由与y 轴相切，可得半径等于圆心到y 轴的距离，可得半径的值． 本题考查直线与圆相切的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设M(x,y)，则P 为(x,2y)， 又P 在圆x 2+y 2=4上， ∴x 2+4y 2=4， ∴
M 的轨迹方程为x 2
4
+y 2=1.
故选：A.
根据“相关点法“即可求解．
本题考查利用“相关点法“求解轨迹方程，属基础题．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示，
建立空间直角坐标系．A(0,0,0)，D(0,2,0)， F(0,1,1)，C(2,2,0)，E(1,1,1)，
AE
⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)， 设平面AEF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则则n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，则x +y +z =0，y +z =0， 取n ⃗ =(0,−1,1).
∴点C 到平面AEF 的距离为d =|n
⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n
⃗ |=
|−2|
√2
=√2.
故选：B.
如图所示，建立空间直角坐标系．设平面AEF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，利用点C 到平面AEF 的距离为d =
|n
⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |，即可得出． 本题考查了空间向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：抛物线的焦点坐标为(1,0)，准线方程为 x =−1，
联立抛物线y 2=4x 与直线y =2x −2方程得x 2−3x +1=0，
设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3， 因为直线y =2x −2过焦点F ，设A ，B 到准线的距离分别为d 1，d 2，
由抛物线定义可知|AB|=|AF|+|BF|=d 1+d 2=x 1+x 2+2=5； 即线段AB 的长为5. 故选：D.
联立抛物线和直线方程，消去y 可得到x 2−3x +1=0，可设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，从而有x 1+x 2=3，可看出直线y =2x −2过焦点，从而根据抛物线定义可得到|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2，可求得线段AB 的长．
本题考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点和准线，韦达定理，以及抛物线的定义．10.【答案】C
【解析】解：∵a n=1
2n(n+1)=1
2
(1
n
−1
n+1
)，
∴T n=a1+a2+...+a n=1
2(1−1
2
+1
2
−1
3
+...+1
n
−1
n+1
)=1
2
(1−1
n+1
)=n
2n+2
，
T n>nλ
n2+4n+19(λ∈R)对任意n∈N∗恒成立，即n
2n+2
>nλ
n2+4n+19
(λ∈R)对任意n∈N∗恒成立，
∵n∈N∗，∴n2+4n+19=(n+2)2+15>0，∴λ<n2+4n+19
2n+2
对任意n∈N∗恒成立，
又n 2+4n+19
2n+2
=(n+1)
2+2(n+1)+16
2(n+1)
=1
2
(n+1)+8
n+1
+1≥2√1
2
(n+1)⋅8
n+1
+1=5，
∴λ<5，即λ∈(−∞,5)，故选：C.
利用裂项求和法可得T n，题意转化为λ<n 2+4n+19
2n+2
对任意n∈N∗恒成立，利用基本不等式求出
n2+4n+19
2n+2
的最小值，即可得出答案．
本题考查裂项法求和和数列与不等式的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】2
【解析】解：点(1,−2)到直线3x+4y−5=0的距离d=
√3+4
=2.
故答案为：2.
由已知结合点到直线的距离公式的应用即可求解．
本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
12.【答案】x2=2yy=−1
2
【解析】解：将(2,2)代入x2=2py，解得p=1，则抛物线方程为x2=2y；
根据准线定义可得，准线方程为y=−1
2.故答案为：x2=2y；y=−1
2
.
将点代入方程求解即可；根据准线方程的定义求解即可．本题主要考查抛物线的定义和性质，属于中档题．
13.【答案】1
2OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2
OC
⃗⃗⃗⃗⃗ −OA
⃗⃗⃗⃗⃗
【解析】解：由于点M 为四面体OABC 的棱BC 的中点，
所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故答案为：12
OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12
OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗
.
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
14.【答案】4，2，1，3(4,+∞)
【解析】解：①因为t =0，所以数列为：2，3，1，5，由“序数列定义可得： t =0时，数列Ω的“序数列”为4，2，1，3，
②因为数列Ω的“序数列”3，4，1，2，而数列Ω为2，3−t ，t +1，5， 由“序数列”定义可得：t +1>5>2>3−1，解得：t >4， 所以t 的取值范围为(4,+∞)， 放答案为：4，2，1，3；(4,+∞).
根据“序数列”定义直接求解即可．“序数列”实际上给出数列中的项的大小顺序． 本题考查数列的项与序数之间的关系，属于中档题．
15.【答案】①④
【解析】解：当x <0时，曲线方程为y 2
−x 2
4
=1，当0≤x ≤
2时，曲线方程为x 2
4
+y 2=1，
故作出曲线E 分图像如下：
由图象知：
x ≤2，y ∈R ，①正确；
曲线E 关于x 轴对称，不关于原点对称，②错误； 曲线E 与x 轴，y 轴共有3个交点，③错误；
当x >0时，曲线E 与直线y =12
x 必有1个交点，
当x <0时，联立直线方程和曲线方程得到{y =1
2x
y 2
−x 24=1
，整理得到0=1，很显然无解，所以曲线E 与直线y =12
x 只有1个交点，④正确， 故答案为：①④．
先分x <0和0≤x ≤2整理得到曲线方程，然后作出曲线的图像即可判断． 本题主要考查曲线与方程，属于中档题．
16.【答案】解：(Ⅰ)∵直线l 的方程为x +y +1=0.
直线l 1经过点A(−1,1)，且满足l 1//l ， ∴设所求直线l 1方程为x +y +m =0， 由已知−1+1+m =0，m =0， ∴直线l 1的方程为x +y =0； (Ⅰ)∵A(−1,1)，B(1,1)，
∴直线AB 的斜率k AB =1−1
−1−1=0， ∴直线AB 的垂直平分线的斜率为不存在， 又线段AB 的中点坐标为(0.1)， ∴线段AB 的垂直平分线的方程是x =0， ∵圆心C 在直线l ：x +y +1=0上 ∴圆心C 的坐标是方程组{
x =0
x +y +1=0
的解，得圆心C 的坐标(0,−1)，
∴圆C 的半径长r =√(−1−0)2+(1+1)2=√5， ∴圆C 的标准方程是x 2+(y +1)2=5.
【解析】(Ⅰ)设所求直线l 1方程为x +y +m =0，由直线l 1经过点A(−1,1)，求出m =0，由此能求出直线l 1的方程．
(Ⅰ)根据题意，分析可得圆C 的圆心是线段AB 的垂直平分线与直线l 的交点，先求出线段AB 的垂直平分线的方程，与直线l 联立可得圆心C 的坐标，进而可得圆的半径，即可得答案； 本题考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)由题意设所求双曲线方程为x 2
a 2
−y 2b
2
=1，
又双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是2，离心率e =2， 则a =1，c =2，
即b 2=c 2−a 2=3，
即双曲线方程为x 2−y 23=1； (Ⅰ)由(Ⅰ)可知F(2,0)，
则p =4，
即抛物线的方程为y 2=8x ，
设点M 的坐标为(x 0,y 0)，
又|MF|=3，
则x 0+2=3，
则x 0=1，y 0=±2√2，
即点M 的坐标为(1,2√2)或(1,−2√2).
【解析】(Ⅰ)由双曲线的性质求双曲线的标准方程即可；
(Ⅰ)由抛物线的性质求点M 的坐标即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了抛物线的性质，属基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)因为等比数列{a n }中，a 1=1，公比q =2，
所以a n =1×2n−1=2n−1⇒a 3=23−1=4；
(Ⅰ)因为b n =3n −2+a n =3n −2+2n−1，
所以b 4=3×4−2+24−1=18，
又因为a 3=4，所以a 3和b 4的等差中项m =
4+182=11； (Ⅰ)因为b n =3n −2+2n−1，
所以S n =(1+4+7+⋯+3n −2)+(1+2+4+⋯+2n−1)
=(1+3n−2)n 2+1×(1−2n )1−2=3n 2−n 2+2n −1=
3n 2−n−22+2n . 【解析】(Ⅰ)先求通项公式，再求a 3的值；
(Ⅰ)先求b n 的通项公式，可得a 3和b 4的值，从而可求m 的值；
(Ⅰ)利用分组求和的方法，结合等差数列等比数列的求和公式求解即可．
本题考查了等差数列和等比数列的综合运用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)证明：建立如图的空间右手直角坐标
系，则根据题意可得：
A(0,0,0)，E(1,1,1)，C(1,2,0)，D 1(0,2,1)，
∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，
∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，
∴AE ⊥EC ，AE ⊥D 1E ，又EC ∩D 1E =E ，
∴AE ⊥平面CD 1E ；
(Ⅰ)易知平面A 1B 1C 1D 1的法向量为n ⃗ =(0,0,1)，
又由(Ⅰ)知平面CD 1E 的法向量m ⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，
∴平面CD 1E 与平面A 1B 1C 1D 1的夹角的余弦值为：
|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√3=√3
3. 【解析】(Ⅰ)建系，利用向量法及线面垂直的判定定理即可证明；
(Ⅰ)建系，利用向量法即可求解．
本题考查向量法证明线面垂直，线面垂直的判定定理，向量法求解面面角问题，属中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)因为椭圆C ：x 2a 2+y 2
b 2=1的焦距为2
c =2√3，解得c =√3； 又因为点(−1,√32)在椭圆C 上，所以1a 2+34b
2=1， 又因为a 2=b 2+c 2=b 2+3，所以b 2=1，a 2=4，
所以椭圆C 的标准方程为x 2
4+y 2=1；
(Ⅰ)因为过A(−4,0)的直线l 交椭圆C 于M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，且x 1<x 2，
所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k(x +4)，
由{y =k(x +4)x 2+4y 2=4
，消去y ，整理得(1+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−4=0， Δ=1024k 4−4(1+4k 2)(64k 2−4)>0，解得2√3<k <2√3；
由x 1+x 2=−32k 21+4k 2，x 1x 2=64k 2−41+4k
2，
得k BM +k BN =y 1x 1+1+y 2x 2+1 =k(x 1+4)x 1+1+k(x 2+4)x 2+1
=(k +
3k x 1+1)+(k +3k x 2+1
) =2k +3k(1x 1+1+1x 2+1
) =2k +3k ⋅x 1+x 2+2x 1x 2+x 1+x 2+1 =2k +3k ⋅−32k 2
1+4k 2+264k 2−41+4k 2+−32k 21+4k
2+1 =2k +3k ⋅−32k 2+2+8k 2
64k 2−4−32k 2+1+4k 2
=2k +3k ⋅(−23
)
=0，
所以直线BM 与BN 的倾斜角互补，则∠ABM =∠OBN.
【解析】(Ⅰ)根据题意求出c =√3，把点(−1,√32)代入椭圆方程，利用a 2=b 2+c 2求出b 2和a 2即可； (Ⅰ)根据题意知直线l 的斜率存在，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，消去y 整理成关于x 的方程，计算Δ>0，利用根与系数的关系求出x 1+x 2和x 1x 2，计算k BM +k BN ，判断直线BM 与BN 的倾斜角互补，得出∠ABM =∠OBN.
本题考查了直线与椭圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力与推理转化能力，是难题． 21.【答案】解：(Ⅰ)设{a n }的首项和公差分别为a 1，d ，
由题意可知a 1+d =4，6a 1+15d =42，解得a 1=2，d =2，
故a n =2+(n −1)×2=2n ；
证明：(Ⅰ)由2T n =3b n −a n 得：当n ≥2时，2T n−1=3b n−1−a n−1，
故得2T n −2T n−1=(3b n −a n )−(3b n−1−a n−1)⇒b n =3b n−1+2，因此b n +1=3(b n−1+1)， 故b n +1
b n−1+1=3，因此{b n +1}是等比数列，且公比为3，
在2T n =3b n −a n 取n =1，则b 1=2，
所以{b n +1}的首项为b 1+1=3，
因此b n +1=3×3n−1=3n ，进而b n =3n −1；
证明：(Ⅰ)由c n =
{14,n =11b n +a n −1,n ≥2，得c n ={14,n =113n +2n−2,n ≥2， 当n ≥2时，c n =1
3n +2n−2<13n
， 所以当n =1时，c 1=14<512
显然成立， 当n ≥2时，c 1+c 2+⋯+c n <14+132+133⋯+13n =14+132(1−13n−1)1−13=512−12×1
3n <512，故得证． 【解析】(Ⅰ)根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差进行求解；
(Ⅰ)根据前n 项和为T n 与b n 的关系即可得b n +1=3(b n−1+1)，进而可证其为等比数列，即可求解通项；
(Ⅰ)n ⩾2时，c n =1
3n +2n−2<13n
，根据等比求和公式即可证明． 本题考查了等差数列和等比数列的综合运用，属于中档题．。