2019版物理大一轮浙江讲义：第四章 曲线运动 万有引力与航天 第3讲 含答案 精品

第3讲 圆周运动
[考试标准]
一、圆周运动、向心加速度、向心力 1．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等． (2)性质：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动． 2．描述匀速圆周运动的物理量
(1)线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．
v ＝
Δs Δt ＝2πr T
.单位：m/s. (2)角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量． ω＝ΔθΔt ＝2πT
.单位：rad/s.
(3)周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
T ＝1
f
. (4)转速：物体单位时间内所转过的圈数．符号为n ，单位：r/s(或r/min)．
(5)相互关系：v ＝ωr ＝2π
T
r ＝2πrf ＝2πnr .
3．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．
a n ＝v 2r ＝r ω2
＝ωv ＝4π2
T
2r ＝4π2f 2r .
4．向心力
做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力，公式为F n ＝m v 2r
或F n ＝mr ω2
.向心力的方向总
是沿半径指向圆心，方向时刻改变，所以向心力是变力． 自测1 下列关于匀速圆周运动的说法正确的是( ) A ．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 B ．向心加速度大小和方向都不变 C ．物体所受合力全部用来提供向心力 D ．向心力总是沿半径指向圆心，是一个恒力 答案 C
二、生活中的圆周运动 1．火车转弯
特点：重力与支持力的合力提供向心力．(火车应按设计速度转弯，否则将挤压内轨或外轨) 2．竖直面内的圆周运动 (1)汽车过弧形桥
特点：重力和桥面支持力的合力提供向心力． (2)水流星、绳球模型、内轨道
最高点：当v <gR 时，不能到达最高点． 3．离心运动定义
做匀速圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，即离心运动． 4．受力特点
当F 合＝m ω2
r 时，物体做匀速圆周运动； 当F 合＝0时，物体沿切线方向飞出； 当F 合<m ω2r 时，物体逐渐远离圆心． 当F 合＞m ω2r 时，物体做近心运动． 自测2 以下说法中正确的是( ) A ．在光滑的水平冰面上，汽车可以转弯
B ．火车转弯速率大于规定的数值时，内轨将会受压力作用
C ．火车转弯速率大于规定的数值时，外轨将会受压力作用
D ．汽车转弯时需要的向心力是由司机转动方向盘所提供的力 答案 C
命题点一 描述圆周运动的物理量间的关系 1．对公式v ＝ωr 的理解 当r 一定时，v 与ω成正比； 当ω一定时，v 与r 成正比； 当v 一定时，ω与r 成反比．
2．对a ＝v 2r
＝ω2
r ＝ωv 的理解
在v 一定时，a 与r 成反比；在ω一定时，a 与r 成正比． 3．同轴转动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同．
4．皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．
例1 如图1所示，有一皮带传动装置，A 、B 、C 三点到各自转轴的距离分别为R A 、R B 、R C ，已知R B ＝R C ＝R A
2
，若在传动过程中，皮带不打滑，则( )
图1
A ．A 点与C 点的角速度大小相等
B ．A 点与B 点的线速度大小相等
C ．A 点与C 点的角速度大小之比为2∶1
D ．B 点与C 点的向心加速度大小之比为1∶4 答案 D
解析 同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等．因此
v A ＝v C ，ωA ＝ωB ，根据关系式v ＝ωR ，可得ωA R A ＝ωC R C ，又R B ＝R C ＝R A 2
，所以ωA ＝ωC
2
，v B
＝v A 2，故选项A 、B 、C 错误；根据ωA ＝ωB ，ωA ＝ωC 2，可得ωB ＝ωC 2
，由关系式a ＝ω2
R ，可得a B ＝a C
4
，即B 点与C 点的向心加速度大小之比为1∶4，故选项D 正确．
变式1 (2017·浙江“七彩阳光”联考)东白山是东阳的第一高峰，因为景色秀美已成了远近闻名的旅游区，在景区内的小公园里有一组跷跷板，某日郭老师和他六岁的儿子一起玩跷
跷板，因为体重悬殊过大，郭老师只能坐在靠近中间支架处，儿子坐在对侧的边缘上．请问在跷跷板上下运动的过程中，以下说法中哪些是正确的( )
A．郭老师能上升是因为他的力气大
B．儿子能上升是因为他离支点远
C．郭老师整个运动过程中向心加速度都比较大
D．郭老师和儿子的运动周期是相等的
答案 D
变式2 (2017·嘉兴市高一期末)风能作为一种清洁的可再生能源，正逐步被推广使用．如图2所示是位于杭州湾跨海大桥北岸的海盐风力发电场内的一台发电机，在风力推动下，风叶带动发电机发电，a、b为同一叶片上的两点，则a点( )
图2
A．线速度等于b点的线速度
B．角速度小于b点的角速度
C．周期大于b点的周期
D．向心加速度小于b点的向心加速度
答案 D
解析由同轴转动知ωa＝ωb，则T a＝T b，而r a＜r b，
则v a＜v b，由a＝ω2r知a a＜a b.故D正确．
变式3 (2017·绍兴一中高一期末)如图3所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置．P是轮盘的一个齿，Q是飞轮上的一个齿．下列说法中正确的是( )
图3
A．P、Q角速度大小相等
B．P、Q两点向心加速度大小相等
C．P点向心加速度小于Q点向心加速度
D．P点向心加速度大于Q点向心加速度
答案 C
解析P、Q两点是链条传动装置的两轮子边缘上两点，则v P＝v Q，而r P＞r Q，v＝rω，所以
P 、Q 两点角速度大小不相等，故A 错误；根据a ＝v 2
r
及v P ＝v Q 、r P ＞r Q ，可知P 点向心加速
度小于Q 点向心加速度，故C 正确，B 、D 错误． 命题点二 水平面内的圆周运动 解决圆周运动问题的主要步骤：
1．审清题意，确定研究对象，明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环； 2．分析物体的运动情况，轨道平面、圆心位置、半径大小以及物体的线速度是否变化； 3．分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源； 4．根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
例2 如图4所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R ＝90 m 的大圆弧和r ＝40 m 的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O 、O ′距离L ＝100 m ．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g 取10 m/s 2
，π＝3.14)．则赛车( )
图4
A ．在绕过小圆弧弯道后加速
B ．在大圆弧弯道上的速率为30 m/s
C ．在直道上的加速度大小为5.63 m/s 2
D ．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s 答案 A
解析 路面对轮胎的最大径向静摩擦力提供赛车做圆周运动所需要的向心力，则根据牛顿第
二定律得F f ＝mv 21r ，F f ＝mv
2
2R
，得v 1＝30 m/s ，v 2＝45 m/s ，从小圆弧弯道到大圆弧弯道
的速度是增加的，所以在绕过小圆弧弯道后加速，A 项正确，B 项错误；赛道上直跑道的单向长度为x ＝L 2
－R －r 2
＝50 3 m ，赛车在直道上的加速度大小为a ＝v 22－v
2
12x
＝
452
－30
2
1003
m/s 2≈6.5 m/s 2
，则C 错误；由题意知小圆弧弯道的圆心角为2π3，通过小圆弧弯道
的时间为t ＝2πr 3v 1＝6.28×40
90
s≈2.79 s，则D 项错误．
变式4 如图5所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴匀速运动，下列说法中正确
的是( )
图5
A ．物块处于平衡状态
B ．物块受三个力作用
C ．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘
D ．在物块到转轴的距离一定时，物块运动周期越小，物块越不容易脱离圆盘 答案 B
解析 对物块进行受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力，合力提供向心力，A 错误，B 正确；根据向心力公式F n ＝mr ω2
可知，当ω一定时，半径越大，所需的向心力越大，物块越容易脱离圆盘，C 错误；ω＝2πT
，则F n ＝mr ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2πT 2
，可知当物块到转轴的距离一定时，周期越小，所需的向心力越大，物块越容易脱离圆盘，
D 错误．
变式5 (2017·浙江11月选考·11)如图6所示，照片中的汽车在水平路面上做匀速圆周运动，已知图中双向四车道的总宽度约为15 m ，假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7倍，则运动的汽车( )
图6
A ．所受的合力可能为零
B ．只受重力和地面支持力作用
C ．最大速度不能超过25 m/s
D ．所需的向心力由重力和支持力的合力提供 答案 C
解析 汽车在水平面上做匀速圆周运动，合外力时刻指向圆心，拐弯时靠静摩擦力提供向心力，因此排除A 、B 、D 选项，所以选择C. 命题点三 竖直面内的圆周运动问题 绳、杆模型涉及的临界问题
模型1 轻绳模型
例3 如图7所示，一质量为m ＝0.5 kg 的小球(可视为质点)，用长为0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动．g 取10 m/s 2
，求：
图7
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为4 m/s 时，轻绳拉力多大？
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N ，小球的速度不能超过多大？ 答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4 2 m/s
解析 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mg ＋F 1＝mv 2
R
①
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，F 1不可能取负值，即F 1≥0 ②
联立①②得v ≥gR ， 代入数值得v ≥2 m/s
所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s.
(2)v 2＝4 m/s 时，mg ＋F 2＝m v 22
R
，
解得F 2＝15 N.
(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳的张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得
F 3－mg ＝mv 2
3
R
③
将F 3＝45 N 代入③得v 3＝4 2 m/s 即小球的速度不能超过4 2 m/s.
变式6 (2015·浙江10月学考·8)质量为30 kg 的小孩坐在秋千板上，秋千板离系绳子的横梁的距离是2.5 m ．小孩的父亲将秋千板从最低点拉起1.25 m 高度后由静止释放，小孩沿圆弧运动至最低点时，她对秋千板的压力约为( ) A ．0 B ．200 N C ．600 N D ．1 000 N
答案 C
解析 秋千板从释放至最低点的过程中， 由机械能守恒定律：mgh ＝12
mv
2
① 在最低点，有F N －mg ＝m v 2
L
②
由①②得：F N ＝600 N.
结合牛顿第三定律可知，她对秋千板的压力约为600 N. 模型2 轻杆模型
例4 (2017·金衢五校期中联考)如图8所示，长为l 的轻杆，一端固定一个可视为质点的小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v ，下列叙述中不正确的是( )
图8
A ．v 的值可以小于gl
B ．当v 由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大
C ．当v 由gl 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D ．当v 由gl 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小 答案 D
解析 轻杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故v 的值可以小
于gl ，选项A 正确；由F n ＝m v 2
R
知，当v 由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐
渐增大，选项B 正确；当v ＞gl 时，杆对小球提供的是拉力，由牛顿第二定律得F ＋mg ＝
m v 2
l
，故当v 由gl 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大，选项C 正确；当v ＜gl 时，杆对小球提供的是支持力，由牛顿第二定律得mg －F ＝m v 2
l
，故当v 由gl 逐渐减小时，杆对小
球的弹力逐渐增大，选项D 错误． 模型3 凹形桥与拱形桥模型
例 5 一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力F N1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为F N2，则F N1与F N2之比为( ) A ．3∶1 B．3∶2 C．1∶3 D．1∶2 答案 C
解析 汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即F N1′＝F N1
① 由牛顿第二定律可得mg －F N1′＝mv 2R
②
同样，如图乙所示，F N2′＝F N2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有F N2′－mg ＝mv 2
R
③
由题意可知F N1＝1
2
mg
④
由①②③④得F N1∶F N2＝1∶3.
1．把一个小球放在光滑的玻璃漏斗中，晃动漏斗，可使小球沿漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动．如图1所示，关于小球的受力情况，下列说法正确的是( )
图1
A ．重力、漏斗壁的支持力
B ．重力、漏斗壁的支持力及向心力
C ．重力、漏斗壁的支持力、摩擦力及向心力
D ．小球受到的合力为零
答案 A
2．如图2所示，手表指针的运动可看成匀速运动，下列说法中正确的是( )
图2
A．秒针、分针、时针转动周期相同
B．秒针的角速度最大，时针的角速度最小
C．秒针上A、B两点线速度一样大
D．秒针上A、B两点向心加速度一样大
答案 B
3．某同学用一根结实的细绳，其中一端拴一个小物体，使其在光滑的水平桌面上做圆周运动，体验手拉绳的力，如图3所示．当保持物体质量不变时，下列说法正确的是( )
图3
A．半径不变，减小角速度，拉力将减小
B．半径不变，增大角速度，拉力将减小
C．角速度不变，减小半径，拉力将增大
D．角速度不变，增大半径，拉力将减小
答案 A
解析小物体在光滑的水平桌面上做圆周运动时，绳子对小物体的拉力F T提供向心力．由向心力公式F n＝F T＝mω2R可知，m及R不变，角速度ω减小，则拉力F T将减小，选项A正确；同理可知B、C、D错误．
4. (2017·“七彩阳光”联考)转篮球是一项需要技巧的活动，如图4所示，假设某同学让篮球在指尖上匀速转动，指尖刚好静止在篮球球心的正下方，下列判断正确的是( )
图4
A ．篮球上的各点做圆周运动的圆心均在指尖与篮球的接触处
B ．篮球上各点的向心力是由手指提供的
C ．篮球上各点做圆周运动的角速度相等
D ．篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越大 答案 C
解析 篮球上各点做同轴圆周运动，故角速度相等，由a n ＝ω2
r 知，篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越小．篮球上各点的向心力是由该点周围各点对它的合力提供的． 5．(2017·浙江名校协作体联考)2015年7月31日，中国申报冬奥会成功，高山滑雪是最引人瞩目的项目之一．现假设有一运动员经过一段半径为R 的圆弧轨道，如图5所示，当他滑到最低点时速度大小为v ，若运动员和滑雪板的总质量为m ，滑雪板与雪道之间的动摩擦因数为μ，运动员和滑雪板可看成质点，重力加速度为g ，则关于运动员和滑雪板整体在圆弧轨道最低点的分析正确的是( )
图5
A ．受重力、弹力、摩擦力和向心力四个力作用
B ．受到的向心力为mg ＋m v 2R
C ．受到的摩擦力为μ⎝
⎛⎭⎪⎫mg ＋m v 2
R D ．受到的合力方向斜向左上方 答案 C
解析 在最低点，运动员和滑雪板作为整体，受重力、弹力和摩擦力三个力的作用，如图所
示，选项A 、B 错误；在最低点，由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 2
R ，F f ＝μF N ，由以上两式解
得F f ＝μ⎝
⎛⎭⎪⎫mg ＋m v 2
R ，选项C 正确；由力的合成可知，运动员和滑雪板作为整体所受合力方向斜向右上方，选项D 错误．
6．(2017·台州市期末质量评估)如图6为一压路机，其大轮半径是小轮半径的1.5倍，A 、
B 分别为小轮和大轮边缘上的点，压路机在平直路面上前进时，轮与地面不打滑，则下列说
法正确的是( )
图6
A ．A 、
B 两点的线速度之比为v A ∶v B ＝2∶3 B ．A 、B 两点的线速度之比为v A ∶v B ＝3∶2
C ．A 、B 两点的向心加速度之比为a A ∶a B ＝2∶3
D ．A 、B 两点的向心加速度之比为a A ∶a B ＝3∶2 答案 D
解析 相同时间内，压路机大轮和小轮通过的距离相等，由v ＝l t
知大轮和小轮边缘上各点
的线速度大小相等，故v A ∶v B ＝1∶1，选项A 、B 错误；由a ＝v 2r 得a A a B ＝r B r A ＝3
2
，选项C 错误，
D 正确．
7．(2016·杭州市萧山区模拟)2009年5月12日中央电视台《今日说法》栏目报道了发生在湖南长沙某公路上的离奇交通事故：在公路转弯处外侧的李先生家门口，三个月内连续发生了八次大卡车侧翻的交通事故．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图7所示．为了避免事故再次发生，很多人提出了建议，下列建议中不合理的是( )
图7
A ．在进入转弯处设立限速标志，提醒司机不要超速转弯
B ．在进入转弯处设立限载标志，要求降低车载货物的重量
C ．改进路面设计，增大车轮与路面间的摩擦力
D ．改造此段弯路，使弯道内侧低、外侧高 答案 B
8．(2016·嵊州市调研)如图8所示，质量相等的A 、B 两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有( )
图8
A．线速度v A<v B
B．运动周期T A>T B
C．它们受到的摩擦力F f A>F f B
D．筒壁对它们的弹力F N A>F N B
答案 D
解析由于两物体同轴转动，角速度相等，根据v＝rω，r A>r B，所以v A>v B，A项错误；由于ω相等，则T相等，B项错误；因竖直方向受力平衡，F f＝mg，所以F f A＝F f B，C项错误；筒壁对物体的弹力提供向心力，根据F N＝F n＝mrω2，r A＞r B，故F N A>F N B，D项正确．9．(2016·绍兴一中期中考试)如图9所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ(可认为最大静摩擦力和滑动摩擦力相等)，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B到轴的距离为R，C到轴的距离为2R，则当圆台旋转时，若A、B、C均没滑动，则下列说法不正确的是( )
图9
A．C的向心加速度最大B．B的摩擦力最小
C．当圆台转速增大时，B比A先滑动D．当圆台转速增大时，C比B先滑动
答案 C
解析三个物体都做匀速圆周运动，每个物体所受合力都指向圆心，对任意一个物体受力分析，受重力、支持力及指向圆心的摩擦力，支持力与重力平衡，F合＝F f＝F n，由于A、B、C 三个物体共轴转动，角速度ω相等，根据题意，设r C＝2r A＝2r B＝2r，则由向心力公式F n ＝mω2r得三物体的向心力分别为F A＝2mω2r，F B＝mω2r，F C＝mω2(2r)＝2mω2r，向心加速度分别为a A＝ω2r，a B＝ω2r，a C＝2ω2r，选项A、B正确；对任意一物体，摩擦力提供向心力，当ω变大时，所需向心力也变大，当摩擦力达到最大静摩擦力时，物体开始滑动，当转速增加时，B、C所需向心力都增加，且最大静摩擦力保持相等，但因C需要的向心力比B 大，因此C比B先滑动，选项D正确；当转速增加时，A、B所需向心力都增加，且保持2∶1关系，但因A、B最大静摩擦力也满足2∶1关系，因此A、B会同时滑动，选项C错误．10．(2016·绍兴市调研)奥运会单杠比赛中有一个“单臂大回环”的动作，难度系数非常大．假设运动员质量为m，单臂抓杠杆身体下垂时，手掌到人体重心的距离为l.如图10所示，在运动员单臂回转从顶点倒立转至最低点过程中，可将人体视为质量集中于重心的质点，
且不考虑手掌与单杠间的摩擦力，重力加速度为g ，若运动员在最低点的速度为2gl ，则运动员的手臂拉力为自身重力的( )
图10
A ．2倍
B ．3倍
C ．4倍
D ．5倍 答案 D
解析 对运动员在最低点受力分析，由牛顿第二定律可得，F －mg ＝m v 2
l
，解得F ＝5mg ，D 项
正确．
11．(2017·绍兴市选考模拟)如图11所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为4∶1∶16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是( )
图11
A ．小齿轮和后轮的角速度大小之比为16∶1
B ．大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4
C ．大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶4
D ．大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为4∶1 答案 B
解析 小齿轮和后轮共轴，角速度相等，故A 错误；大齿轮和小齿轮轮缘的线速度相等，根据ω＝v r
可知，大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4，故B 正确；小齿轮和后轮共轴，根据v ＝ωr 可知，小齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶16，则大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶16，故C 错误；大齿轮和小齿轮轮缘的线速度相等，根据a n
＝v 2
r
可知，大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为1∶4，故D 错误． 12．冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，其安全速度为( ) A ．v ＝k Rg
B ．v ≤kRg
C ．v ≤2kRg
D ．v ≤
Rg k
答案 B
解析 水平冰面对运动员的静摩擦力提供运动员做圆周运动的向心力，则运动员的安全速度
v 满足：kmg ≥m v 2
R
，解得v ≤kRg .
13．(2017·宁波市九校高一期末)如图12所示，质量为m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为g ，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则( )
图12
A ．该盒子做圆周运动的向心力一定恒定不变
B ．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2π
R
g
C ．盒子在最低点时，小球对盒子的作用力大小等于mg
D ．盒子在与O 点等高的右侧位置时，小球对盒子的作用力大小等于mg 答案 B
解析 向心力的方向始终指向圆心，是变化的，故A 错误；在最高点，由mg ＝mR 4π
2
T 2
得，周
期T ＝2π
R g ，故B 正确；盒子在最低点，由F －mg ＝mR 4π2T 和mg ＝mR 4π
2
T
可得，F ＝2mg ，故C 错误；盒子在与O 点等高的右侧位置时，盒子底部对小球的支持力等于小球的重力mg ，而盒子侧壁的支持力也等于mg ，两者相互垂直，所以盒子对小球的作用力等于2mg ，根据牛顿第三定律，小球对盒子的作用力大小等于2mg ，故D 错误．
14．如图13所示，半径为R 的光滑圆环轨道竖直放置，一质量为m 的小球恰能在此圆轨道内做圆周运动，则小球在轨道最低点处对轨道的压力大小为( )
图13
A ．3mg
B ．4mg
C ．5mg
D ．6mg
答案 D
解析 由题意知小球刚好能够通过最高点，则在最高点有mg ＝m v 2
R
，从最高点到最低点，由
动能定理得
2mgR ＝12mv ′2－12
mv 2，解得v ′2
＝5gR ，
在最低点由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v ′2
R
解得F N ＝6 mg ，根据牛顿第三定律，小球在轨道最低点处对轨道的压力大小F N ′＝6mg .故D 正确．
15．(2017·湖州市高一期末)如图14所示，小球A 质量为m ，固定在长为L 的轻杆一端，并随杆一起绕杆的另一端O 在竖直平面内做圆周运动．若小球经过最高点时速度大小为2gL ，则此时杆对球的作用力( )
图14
A ．大小等于4mg ，方向竖直向上
B ．大小等于3mg ，方向竖直向上
C ．大小等于4mg ，方向竖直向下
D ．大小等于3mg ，方向竖直向下 答案 D
解析 在最高点由向心力公式有，F T ＋mg ＝m v 2
L
，得F T ＝3mg ，故杆对球的作用力向下，大小
为3mg .
16．为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前必须减速，如图15所示，AB 为进入弯道前的平直公路，BC 为水平圆弧形弯道，已知AB 段的距离s AB ＝14 m ，弯道半径R ＝24 m ，汽车到达
A 点时速度v A ＝16 m/s ，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，设最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，取g ＝10 m/s 2
，要确保汽车进入弯道后不侧滑，求汽车：
图15
(1)在弯道上行驶的最大速度的大小；
(2)在AB 段做匀减速运动的最小加速度的大小． 答案 (1)12 m/s (2)4 m/s 2
解析 (1)汽车在弯道上行驶速度最大时，最大静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律知：
μmg ＝m v 2
R
可得v ＝μgR ＝12 m/s
(2)AB 过程中汽车做匀减速直线运动，在弯道以最大速度行驶时，减速运动的加速度最小，则v 2
－v 2
A ＝2as A
B ，
解得a ＝－4 m/s 2
，即最小加速度大小为4 m/s 2
.
17．如图16所示，一过山车在半径为R 的轨道内运动，过山车的质量为M ，里面人的质量为m ，运动过程中人与过山车始终保持相对静止．则：
图16
(1)当过山车以多大的速度经过最高点时，人对座椅的压力大小刚好等于人的重力？ (2)以(1)中速度过最高点时，过山车对轨道的压力为多大？ (3)当过山车以6gR 的速度经过最低点时，人对座椅的压力为多大？ 答案 (1)2gR (2)(M ＋m )g (3)7mg
解析 (1)在最高点时，人的重力和座椅对人的弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得
F N ＋mg ＝m v
2
1R
人对座椅的压力大小刚好等于人的重力，根据牛顿第三定律得F N ＝mg 解得v 1＝2gR
(2)将过山车和人作为一个整体，向心力由整体的总重力和轨道对过山车的弹力的合力提供，设此时轨道对过山车的弹力为F ，根据牛顿第二定律得
F ＋(M ＋m )g ＝(M ＋m )v
21R
解得F ＝(M ＋m )g
根据牛顿第三定律，过山车对轨道的压力大小为(M ＋m )g ，方向竖直向上．
(3)在最低点时，设座椅对人的弹力为F N ′，则根据牛顿第二定律得F N ′－mg ＝m v
22R
代入v 2＝6gR 得F N ′＝7mg
根据牛顿第三定律，人对座椅的压力大小为7mg ，方向竖直向下．。