考研数学一(高等数学)模拟试卷249(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷249(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．把当x→0+时的无穷小量α=tanx－x，β=∫0x(1－cos)dt，γ=()x－1排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A．α，β，γ．
B．γ，β，α．
C．β；α，γ．
D．γ，α，β．
正确答案：C
解析：即当x→0+时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除(A)与(D)．即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除(B)，即应选(C)．知识模块：高等数学
2．设f’(a)＞0，则ヨδ＞0，有
A．f(x)≥f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．
B．f(x)≤f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．
C．f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a－δ，a))．
D．f(x)＜f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＞f(a)(x∈(a－δ，a))．
正确答案：C
解析：直接由定义出发f’(a)=＞0．由极限的保序性ヨδ＞0，当x∈(a－δ，a+δ)，x≠a时＞0．f(x)＞f(a) (x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a) (x∈(a－δ，a))．因此选(C)．知识模块：高等数学
3．设常数α＞0，I1=∫0π／2dx，I2=∫0π／2dx，则
A．I1＞I2．
B．I1＜I2．
C．I1=I2．
D．I1与I2的大小与α的取值有关．
正确答案：A
解析：I1－I2当0＜x＜π／4时cosx＞sinx，又0＜x＜－x，所以I1－I2＞0．故选(A)．知识模块：高等数学
4．下列函数在点(0，0)处不连续的是
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：直接证(C)中f(x，y)在点(0，0)处不连续．当(x，y)沿直线y=x趋于点(0，0)时因此f(x，y)在点(0，0)处不连续．故选(C)．知识模块：高等数学
5．
A．绝对收敛．
B．条件收敛．
C．发散．
D．敛散性与a有关．
正确答案：B
解析：由莱布尼兹法则知原级数收敛．因此是条件收敛．选(B)．知识模块：高等数学
填空题
6．设y=sinx2．则dy／d(x3)=_______.
正确答案：2cosx2／3x
解析：用微分之商来求．知识模块：高等数学
7．∫0aarctandx(a＞0)=_______．
正确答案：a／2
解析：利用分部积分法．知识模块：高等数学
8．已知方程y”+y=0的两个特解y1=ex，y2=x，则该方程满足初值y(0)=1，y’(0)=2的解y=_______．
正确答案：ex+x
解析：因y1，y2线性无关，该方程的通解y=C1ex+C2x．由初始条件得C1=1，C1+C2=2C1=1，C2=1y=ex+x．知识模块：高等数学
9．曲线在M0(1，1，2)处的切线方程为_______，法平面方程为_______.
正确答案：；y－x=0
解析：M0在曲线上，M0处的切向量=－4i+4j=4{－1，1，0}．M0处切线方程法平面方程－(x－1)+(y－1)=0，即y－x=0．知识模块：高等数学
10．设D为圆域x2+y2≤x，则I=dσ=_______．
正确答案：4╱9
解析：D如图9．3．用极坐标变换，D的极坐标表示：－π／2≤0≤π／2，0≤r≤cosθ，于是I=∫－π／2π／2dθ∫0cosθr．rdr1／3cos3θdθ知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11．设a＞0为常数，xn=xn．
正确答案：当0＜a＜1时0＜xn＜an，an=0；当a=1时xn=1／2n，1／2n=0；涉及知识点：高等数学
12．设(x－3sin3x+ax－2+b)=0，试确定常数a，b的值．
正确答案：由题设知利用(*)，一方面有另一方面，直接计算又有这表明3+a=0a=－3．将a=－3代入(*)式，即得故b=9／2．综合得a=－3，b=9／2．涉及知识点：高等数学
讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：
13．
正确答案：这是初等函数，它在定义域(x2≠1)上连续．因此，x≠±1时均连续．x=±1时，故x=1是第一类间断点(跳跃的)．又=0，故x=－1也是第一类间断点(可去)．涉及知识点：高等数学
14．
正确答案：先求极限函数．注意x2n=0(|x|＜1)，1／x2n=0(|x|＞1)，x≠±1时，|x|＜1与|x|＞1分别与某初等函数相同，故连续．x=±1时均是第一类间断点(跳跃间断点)．因左、右极限均ヨ，不相等．涉及知识点：高等数学
15．求∫0e－1(x+1)ln2(x+1)dx．
正确答案：原式=1／2∫0e－1ln2(x+1)d(x+1)21／2∫1eln2tdt2=1／2(t2ln2t|1e －∫1et2dln2t)=1／2(e2－∫1et2．2lnt．1／tdt)=1／2(e2－∫1elntdt2)=1／2(e2－t2lnt|1e+∫1et2dlnt)=1／2∫1etdt=1／4t2|1e=1／4(e2－1)．涉及知识点：高等数学
16．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点P(1，2)，且在该点与圆(x－)2=1／2相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a，b，c．
正确答案：所以在圆上任何一点的曲率为．由于点P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线在点P(1，2)处为凹的，所以由确定的连续函数y=y(x)在P(1，2)处的y”＞0．又经过计算，可知在点P(1，2)处的y’=1．由题设条件知，抛物线经过点P(1，2)，于是有a+b+c=2．抛物线与圆在点P(1，2)相切，所以在点P(1，2)处y’=1，即有2a+b=1．又抛物线与圆在点P(1，2)有相同的曲率半径及凹凸性，因此有解得a=2，从而b=－3，c=2－a－b=3．涉及知识点：高等数学
17．设函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上连续，证明：[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．(*)
正确答案：引入参数，即考虑[f(x)+tg(x)]2．由于∫ab[f(x)+tg(x)]2dx=∫abf2(x)dx+2t∫abf(x)g(x)dx+t2∫abg2(x)dx≥0，因此，其判别式△=[2∫abf(x)g(x)dx]2－4∫ab2f2(x)dx∫abg2(x)dx≤0，即(*)式成立．涉及知识点：高等数学
18．作函数y=lnx／x的图形．
正确答案：定义域：x＞0．(Ⅱ)渐近线：只有间断点x=0．由=－∞可知，有垂直渐近线x=0；可知，有水平渐近线y=0．涉及知识点：高等数学
19．设f(x)在x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且f’(0)=0，f”(0)存在．求证：
正确答案：因为ln(1+x)≤x(x∈(－1，+∞))，故由拉格朗日中值定理可知，存在ξ(x)∈(ln(1+x)，x)，使得涉及知识点：高等数学
20．设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0，f)(n)(x)≠0．
正确答案：由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得f(x)=f(0)+f’(0)x+…+f(n)(0)xn+xn+1．若fn+1(x)≡0，f(n)(x)≠0，由上式f(x)=f(0)+f’(0)x+…+f(n)(0)xn 是n次多项式．反之，若f(x)=anxn+an－1xn－1+…+a1x+a0(an≠0)是n次多项式，显然f(n)(x)=ann!≠0，f(n+1)(x)≡0．涉及知识点：高等数学
21．设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧AB上的任意点(图6．4)．已知凸弧与弦AP之间的面积为x3，求此凸弧的方程．
正确答案：设凸弧的方程为y=f(x)，因梯形OAPC的面积为x／2[1+f(x)]，故x3=∫0xf(t)dt－[1+f(x)]．两边对x求导，则得y=f(x)所满足的微分方程为xy’－y=－6x2－1．(原方程中令x=0得0=0，不必另加条件，它与原方程等价)其通解为y=e∫1／xdx[C－∫(6x+)e－∫1／xdxdx]=Cx－6x2+1．对任意常数C，总有y(0)=1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)=0，由此即得C=5，即所求曲线为y=5x－6x2+1．涉及知识点：高等数学
设z=f(x，y)满足≠0，由z=f(x，y)可解出y=y(z，x)．求：
22．
正确答案：以z，x为自变量，y为因变量y=y(z，x)，它满足z=f(x，y(z，x))．将z=f(x，y)对x求偏导数，得0=再对x求偏导数，得涉及知识点：高等数学
23．y=y(z，x)．
正确答案：因y=y(z，x)，y=xφ(z)+ψ(z)．涉及知识点：高等数学
24．设函数z=(1+ey)cosx－yey，证明：函数z有无穷多个极大值点，而无极小值点．
正确答案：(Ⅱ)求出所有的驻点．由解得(x，y)=(2nπ，0)或(x，y)=((2n+1)π，－2)，其中n=0，±1，±2，…(Ⅲ)判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点．在(2nπ，0)处，由于=(－2)×(－1)－0=2＞0，=－2＜0．则(2n π，0)是极大值点．在((2n+1)π，－2)处，由于=(1+e－2)(－e－2n)=－＜0，则((2n+1)π，－2)不是极值点．因此函数z有无穷多极大值点(2nπ，0)(n=0，±1，±2，…)，而无极小值点．涉及知识点：高等数学
25．设曲面z=1／2(x2+y2)，其面密度μ为常数，求该曲面在0≤z≤3／2部分S的质量与质心．
正确答案：质量M=μdS，其中S：z=1／2(x2+y2)，(x，y)∈Dxy：x2+y2≤3．又=y，于是=π[∫03(t+1)3／2dt－∫03(t+1)1／2dt] 涉及知识点：高等数学
求下列平面上曲线积分
26．=1正向从A(a，0)到(0，b)的一段弧，a≠1．
正确答案：涉及知识点：高等数学
27．I=∫Ldy，其中L是椭圆周=1，取逆时针方向．
正确答案：将I表成I=∫LPdx+Qdy，则不能在L围成的区域上用格林公式，取圆周(如图10．4)Cε：x2+y2=ε2(ε＞0充分小)，逆时针方向，在L与Cε围成的区域Dε上可用格林公式得=1／ε22．πε2=2π．涉及知识点：高等数学
28．I=∫L(exsiny－my－y)dx+excosy－mx)dy，其中L：t从0到π，a＞0．
正确答案：将积分I分解成I=I1+I2，其中I1=∫Lsinydex+exd(siny)－m(ydx+xdy)，I2=∫L－ydx．I1易通过求原函数而求得，I2容易直接计算：I1=∫Ld(exsiny－mxy)=(exsiny－mxy)|(0，0)(πa，2a)=eπasin2a－2mπa2．I2=－∫Lydx=－∫0aπ(1－cost)a(1－cost)dt=－4a2∫0πsin4t／2dt=－8a2∫0π／2sin4sds因此I=I1+I2=eπasin2a－2ma2π－a2π．涉及知识点：高等数学
29．求xn的收敛域及和函数．
正确答案：(Ⅰ)求收敛域：原幂级数记为anxn，则由收敛域为(－∞，+∞)．(Ⅱ)求和函数．逐项积分与逐项求导法．我们也是为了利用e－x的展开式，作如下变形：[xS(x)]’=xg’(x)=x(x－1)e－x，xS(x)=∫0x(t2－t)e－tdt=－∫0x(t2－t)de－t=(x－x2)e－x+∫0x(2t－1)e－tdt=1－e－x(1+x+x2)，涉及知识点：高等数学。