中职数学对口升学一轮复习基础测试题：解答题(02)

中职数学对口升学一轮复习基础测试题：解答题
解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15．（本小题共13分）
函数cos2()2sin sin cos x
f x x x x
=
++.
（Ⅰ）求π
()4
f 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.
16．（本小题共13分）
根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示
（Ⅰ）求上图中a 的值；
（Ⅱ）甲队员进行一次射击，求命中环数大于7环的概率（频率当作概率使用）； （Ⅲ）由上图判断甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定（结论不需证明）.
17．（本小题共14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，
PA PB =，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是棱AB 的
中点．
（Ⅰ）求证：//CD 平面PAB ；
P
A
E
B
C
D
0.05
0.150.100.35
0.300.25
0.20O
频率
乙击中环数
0.190.29
0.45
O
甲击中环数
0.01
a
（Ⅱ）求证：PE AD ⊥；
（Ⅲ）若CA CB =，求证：平面PEC ⊥平面PAB .
18．（本小题共13分）
已知函数()()e x f x x a =+，其中a 为常数.
（Ⅰ）若函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若2()e f x ≥在[0,2]x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围.
19.（本小题共14分）
已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，右焦点为F ，右顶点A 在
圆F ：222(1)(0)x y r r -+=>上. （Ⅰ）求椭圆C 和圆F 的方程；
（Ⅱ）已知过点A 的直线l 与椭圆C 交于另一点B ，与圆F 交于另一点P .请判断是否存在
斜率不为0的直线l ，使点P 恰好为线段AB 的中点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
20.（本小题共13分）
如果函数()f x 满足在集合*N 上的值域仍是集合*N ，则把函数()f x 称为N 函数. 例如：()f x x =就是N 函数.
（Ⅰ）判断下列函数：①2y x =，②21y x =-，③y =中，哪些是N 函数？（只需写
出判断结果）；
（Ⅱ）判断函数()[ln ]1g x x =+是否为N 函数，并证明你的结论； （Ⅲ）证明：对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.
（注：“[]x ”表示不超过x 的最大整数）
解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）π
cos
ππ2
()2sin ππ44sin cos 44f =
+==+. ------------------------3分 （Ⅱ）由sin cos 0x x +≠得π
π,4
x k k ≠-
∈Z . 因为cos2()2sin sin cos x
f x x x x =
++
22cos sin 2sin sin cos x x
x x x
-=
++ ------------------------------------5分 cos sin x x =+
π)4
x +， -------------------------------------7分 所以()f x 的最小正周期2πT =. -------------------------------------9分 因为函数sin y x =的对称轴为π
π+
,2
x k k =∈Z , ------------------------------11分 又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得π
π+,4
x k k =∈Z ,
所以()f x 的对称轴的方程为π
π+,4
x k k =∈Z .-----------------------------------13分
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,
所以0.06a =. ----------------------------------4分
（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲
队员射击，命中环数为8环，9环，10环.
所以()0.290.450.010.75P A =++=. ----------------------------------9分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分 17．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，
所以//CD AB . ----------------------------1分 又因为CD ⊄平面PAB ， -------------------3分 所以//CD 平面PAB . --------------------------4分 （Ⅱ）因为PA PB =，点E 是棱AB 的中点，
所以PE AB ⊥. ----------------------------------5分 因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB
平面ABCD AB =,PE ⊂平面PAB ,
----------------------------------7分
所以PE ⊥平面ABCD , ------------------------------------8分 因为AD ⊂平面ABCD ,
所以PE AD ⊥. ------------------------------------9分 （Ⅲ）因为CA CB =，点E 是棱AB 的中点，
所以CE AB ⊥. --------------------------------10分 由（Ⅱ）可得PE AB ⊥， ---------------------------------11分 所以AB ⊥平面PEC ， --------------------------------13分 又因为AB ⊂平面PAB ,
所以平面PAB ⊥平面PEC . --------------------------------14分
18．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）'()(1)e x f x x a =++,x ∈R . -------------------------------2分 因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，
所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分 因为1y x a =++是增函数，
所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥. -------------------------------5分 （Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =-- -------------------------------6分 (),'()f x f x 的情况如下：
--------------------------------------10分
①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ， 若满足题意只需2(0)e f ≥，解得2
e a ≥，
所以此时，2
e a ≥； --------------------------------------11分
②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --， 若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，
所以a 不存在； ------------------------12分
③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f , 若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,
所以此时，a 不存在. ------------------------------13分
综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞. 19. （本小题共14分）
解：（Ⅰ）由题意可得1c =， ----------------------------------1分 又由题意可得
1
2
c a =， 所以2a =， ----------------------------------2分
所以2
2
2
3b a c =-=, ----------------------------------3分
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=. ---------------------------------4分
所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ， --------------------------------5分 代入圆F 的方程，可得21r =,
所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=. ------------------------------6分 （Ⅱ）法1：
假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件， -----------------------------7分
由22(2),
14
3y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪
⎩得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分
设11(,)B x y ，则2
1216243
k x k +=+, ---------------------------------9分
可得中点22
286(,)4343
k k
P k k -++， --------------------------------11分 由点P 在圆F 上可得222
2
286(1)()14343
k k k k --+=++ 化简整理得20k = --------------------------------13分 又因为0k ≠，
所以不存在满足条件的直线l . --------------------------------14分 （Ⅱ）法2：
假设存在直线l 满足题意.
由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径， -----------------------------7分 所以OP AB ⊥. ------------------------------8分 由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==. --------------------------------9分
设点11(,)B x y ，则由题意可得22
11143
x y +=. --------------------------------10分 又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分
所以22
2
2
22111
1
1
||3(1)3444
x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分 这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------14分 20. （本小题共13分）
解：（Ⅰ）只有y =是N 函数. ----------------------------3分 （Ⅱ）函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. 证明如下：
显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N . ---------------------------------------4分
不妨设*[ln ]1,x k k +=∈N ,
由[ln ]1x k +=可得1ln k x k -≤<， 即11e e k k x -≤≤<.
因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立， 所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -≤<， 所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N 满足[ln ]1x k +=，
所以函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. ---------------------------------------8分 （Ⅲ）（1）当0b ≤时，有2(2)[]0f b a =⋅≤，
所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ---------------------------9分
（2）当0b >时，① 若0a ≤，有(1)[]0f b a =⋅≤，
所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. ------------------10分
② 若01a <≤，由指数函数性质易得 x b a b a ⋅≤⋅，
所以*x ∀∈N ，都有()[][]x f x b a b a =⋅≤⋅
所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数. -----------------11分
③ 若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2
log (1)
a
m b a >⋅-，
所以一定存在正整数k 使得 12k k b a b a +⋅-⋅>， 所以*12,n n ∃∈N ，使得112k k b a n n b a +⋅<<<⋅， 所以12()(1)f k n n f k <<≤+.
又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅,所以()()f x f k ≤； 当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅,所以()(1)f x f k ≥+， 所以*x ∀∈N ，都有*1{()|}n f x x ∉∈N ，
所以函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.------------------13分
综上所述，对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =⋅都不是N 函数.。